Все выпуски

В настоящей статье рассматривается краевая задача для дифференциальных уравнений типа Ланжевена с дробной производной Капуто в банаховом пространстве. Предполагается, что нелинейная часть уравнения представляет из себя отображение, подчиняющееся условиям типа Каратеодори. Уравнения такого типа обобщают уравнения движения в различного рода средах, например вязкоупругих, или в средах, где сила сопротивления выражается с помощью дробной производной. Для разрешения поставленной задачи будет использоваться теория дробного математического анализа, свойства функции Миттаг-Леффлера, а также теория мер некомпактности и уплотняющих операторов. Идея решения состоит в следующем: исходная задача сводится к задаче о существовании неподвижных точек соответствующего разрешающего интегрального оператора в пространстве непрерывных функций. Для доказательства существования неподвижных точек разрешающего оператора используется теорема типа Б.Н. Садовского о неподвижной точке. Для этого мы показываем, что разрешающий интегральный оператор является уплотняющим относительно векторной меры некомпактности в пространстве непрерывных функций и преобразует замкнутый шар в этом пространстве в себя.

In this paper, we consider a boundary value problem for differential equations of Langevin type with the Caputo fractional derivative in a Banach space. It is assumed that the nonlinear part of the equation is a Caratheodory type map. Equations of this type generalize equations of motion in various kinds of media, for example, viscoelastic media or in media where a drag force is expressed using a fractional derivative. We will use the theory of fractional mathematical analysis, the properties of the Mittag-Leffler function, as well as the theory of measures of non-compactness and condensing operators to solve the problem. The initial problem is reduced to the problem of the existence of fixed points of the corresponding resolving integral operator in the space of continuous functions. We will use Sadovskii type fixed point theorem to prove the existence of fixed points of the resolving operator. We will show that the resolving integral operator is condensing with respect to the vector measure of non-compactness in the space of continuous functions and transforms a closed ball in this space into itself.