Все выпуски

Настоящая работа посвящена теореме Шимоды о голоморфности функции $f(z,w)$, которая является голоморфной по $w\in V$ при фиксированном $z\in U$ и голоморфна по $z\in U$ при фиксированном $w\in E$, где $E\subset V$ - счетное множество, по крайней мере, с одной предельной точкой в $V$. Шимода доказывает, что в этом случае $f(z,w)$ голоморфно в $U\times V$, за исключением нигде не плотного замкнутого подмножества $U\times V.$ Рассматривается обратная задача и доказывается, что для любого заранее заданного нигде не плотного замкнутого подмножества $S\subset U$ существует голоморфная функция, удовлетворяющая теореме Шимоды на $U\times V\subset {\mathbb C}^{2}$, не голоморфная на $S\times V$. Кроме того, исследованы дополнительные условия, которые влекут за собой пустые множества особенностей в теореме Шимоды. Доказывается обобщение в случае, когда функция имеет переменный радиус голоморфности по одному из направлений.

The present work is devoted to Shimoda's Theorem on the holomorphicity of a function $f(z,w)$ which is holomorphic by $w\in V$ for each fixed $z\in U$ and is holomorphic by $z\in U$ for each fixed $w\in E$, where $E\subset V$ is a countable set with at least one limit point in $V$. Shimoda proves that in this case $f(z,w)$ is holomorphic in $U\times V$ except for a nowhere dense closed subset of $U\times V$. We prove the converse of this result, that is for an arbitrary given nowhere dense closed subset of $U$, $S\subset U$, there exists a holomorphic function, satisfying Shimoda's Theorem on $U\times V\subset {\mathbb C}^{2}$, that is not holomorphic on $S\times V$. Moreover, we observe conditions which imply empty exception sets on Shimoda's Theorem and prove generalizations of Shimoda's Theorem.