Текущий выпуск Выпуск 4, 2024 Том 34

О сохранении глобальной разрешимости и оценке решений некоторых управляемых нелинейных уравнений в частных производных второго порядка

 pdf (293K)

Пусть $U$ — множество допустимых управлений, $T>0$ и задана шкала банаховых пространств $W[0;\tau]$, $\tau\in(0;T]$, такая, что множество сужений функций из $W=W[0;T]$ на $[0;\tau]$ совпадает с $W[0;\tau]$; $F[.;u]\colon W\to W$ — управляемый вольтерров оператор, $u\in U$. Ранее для операторного уравнения $x=F[x;u]$, $x\in W$, автором была введена система сравнения в форме функционально-интегрального уравнения в пространстве $\mathbf{C}[0;T]$. Было установлено, что для сохранения (относительно малых вариаций правой части) глобальной разрешимости операторного уравнения достаточно сохранения глобальной разрешимости указанной системы сравнения, а также установлены соответствующие достаточные условия. В данной статье рассматриваются дальнейшие примеры приложения этой теории: нелинейное волновое уравнение, сильно нелинейное волновое уравнение, нелинейное уравнение теплопроводности, сильно нелинейное параболическое уравнение.

Ключевые слова: эволюционное вольтеррово уравнение второго рода общего вида, функционально-интегральное уравнение, система сравнения, сохранение глобальной разрешимости, единственность решения, нелинейное волновое уравнение, нелинейное параболическое уравнение
Цитата: Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки, 2024, т. 34, вып. 4, с. 541-562
DOI: 10.35634/vm240405

Preservation of global solvability and estimation of solutions of some controlled nonlinear partial differential equations of the second order

Let $U$ be the set of admissible controls, $T>0$, and let $W[0;\tau]$, $\tau\in(0;T]$, be a scale of Banach spaces such that the set of restrictions of functions from $W=W[0;T]$ to $[0;\tau]$ coincides with $W[0;\tau]$; let $F[.;u]\colon W\to W$ be a controlled Volterra operator, $u\in U$. Earlier, for the operator equation $x=F[x;u]$, $x\in W$, the author introduced a comparison system in the form of a functional integral equation in the space $\mathbf{C}[0;T]$. It was established that to preserve (under small perturbations of the right-hand side) the global solvability of the operator equation, it is sufficient to preserve the global solvability of the specified comparison system, and the corresponding sufficient conditions were established. In this paper, further examples of application of this theory are considered: nonlinear wave equation, strongly nonlinear wave equation, nonlinear heat equation, strongly nonlinear parabolic equation.

Keywords: second kind evolutionary Volterra equation of general form, functional integral equation, comparison system, preservation of global solvability, uniqueness of solution, nonlinear wave equation, nonlinear parabolic equation
Citation in English: Vestnik Udmurtskogo Universiteta. Matematika. Mekhanika. Komp'yuternye Nauki, 2024, vol. 34, issue 4, pp. 541-562

Журнал индексируется в Web of Science (Emerging Sources Citation Index)

Журнал индексируется в Scopus

Журнал входит в базы данных zbMATH, MathSciNet

Журнал включен в базу данных Russian Science Citation Index (RSCI) на платформе Web of Science

Журнал включен в перечень ВАК.

Электронная версия журнала на Общероссийском математическом портале Math-Net.Ru.

Журнал включен в Crossref