Все выпуски

В настоящей работе сформулирована и исследована краевая задача с начальным условием для вырожденного дифференциального уравнения в частных производных чётного высокого порядка в прямоугольной области. С помощью метода разделения переменных получена спектральная задача для обыкновенного дифференциального уравнения. Путем построения функции Грина эта спектральная задача эквивалентно сведена к интегральному уравнению Фредгольма второго рода с симметрическим ядром. На основе теории интегральных уравнений с симметрическим ядром доказано существование собственных значений и системы собственных функций спектральной задачи. Кроме того, с помощью полученного интегрального уравнения и теоремы Мерсера доказана равномерная сходимость некоторых билинейных рядов, зависящих от найденных собственных функций. Решение рассматриваемой задачи представлено в виде суммы ряда Фурье по системе собственных функций спектральной задачи. С помощью метода энергетических интегралов доказана единственность решения задачи. Для демонстрации непрерывной зависимости решения от заданных данных получены соответствующие оценки.

In the present paper, an initial-boundary problem for a degenerate partial differential equation of high even order in a rectangle is formulated and investigated. Using the method of separation of variables, a spectral problem for an ordinary differential equation is obtained. By constructing the Green's function, the spectral problem is equivalently reduced to the second kind Fredholm integral equation with a symmetric kernel. Based on the theory of integral equations with symmetric kernel, the existence of eigenvalues and a system of eigenfunctions of the spectral problem were established. Moreover, with the help of the derived integral equation and Mercer's theorem, the uniform convergence of some bilinear series involving the obtained eigenfunctions has been proved. The solution to the problem under consideration is presented as the sum of a Fourier series with respect to the system of eigenfunctions of the spectral problem. The uniqueness of the solution is proved using the energy integral method. To demonstrate the continuous dependence of the solution on the given data, appropriate estimates are derived.