Все выпуски

Рассматривается система реакции-диффузии с кубической нелинейностью, которая является бесконечномерным аналогом классической системы Рэлея и частным случаем системы Фитцью-Нагумо. Предполагается, что пространственная переменная изменяется на отрезке, на концах которого заданы однородные краевые условия Неймана. Известно, что в данном случае в системе Рэлея с диффузией существует пространственно-однородный автоколебательный режим, совпадающий с предельным циклом классической системы Рэлея. В настоящей работе показано существование счетного множества критических значений управляющего параметра, при которых возникают пространственно-неоднородные автоколебательные и стационарные режимы. Данные режимы устойчивы относительно возмущений, принадлежащих некоторым бесконечномерным инвариантным подпространствам системы, но неустойчивы во всем фазовом пространстве. Это свойство объясняет, почему в результате численных экспериментов при некоторых значениях параметра различным начальным условиям соответствуют нулевое, периодическое по времени или стационарное решение. Асимптотика вторичных решений построена методом Ляпунова-Шмидта. Явно найдены первые члены разложения, проанализированы формулы для общего члена асимптотики. Показано, что на инвариантных подпространствах происходит мягкая потеря устойчивости нулевого равновесия. Эволюция вторичных режимов при увеличении значений надкритичности исследована численно. Установлено, что с ростом значений надкритичности вторичные автоколебательные режимы постепенно сменяются стационарными. Амплитуда стационарных решений растет по мере увеличения надкритичности, а профиль асимптотически стремится к профилю меандра.

Рассматривается обобщенное уравнение Курамото-Сивашинского в случае, когда неизвестная функция зависит от двух пространственных переменных. Такой вариант данного уравнения используется в качестве математической модели формирования неоднородного рельефа на поверхности полупроводников под воздействием потока ионов. В работе данное уравнение изучается вместе с однородными краевыми условиями Неймана в трех областях: прямоугольнике, квадрате и равнобедренном треугольнике. Изучен вопрос о локальных бифуркациях при смене устойчивости пространственно однородными состояниями равновесия. Показано, что в данных трех краевых задачах реализуются послекритические бифуркации и в их результате в каждой из трех изучаемых краевых задач бифурцируют пространственно неоднородные решения. Для них получены асимптотические формулы. Выявлена зависимость характера бифуркаций от выбора, геометрии области. В частности, определен вид зависимости от пространственных переменных. Изучен вопрос об устойчивости, в смысле определения А.М. Ляпунова, найденных пространственно неоднородных решений. Анализ бифуркационных задач использовал известные методы теории динамических систем с бесконечномерным фазовым пространством: интегральных (инвариантных) многообразий, нормальных форм Пуанкаре-Дюлака в сочетании с асимптотическими методами.

В работе рассматриваются динамические биматричные игры с интегральными показателями, дисконтированными на бесконечном интервале времени. Динамика системы задается дифференциальными уравнениями, описывающими изменение поведения игроков в зависимости от поступающих сигналов управления. Рассматривается задача построения равновесных траекторий в рамках минимаксного подхода, предложенного Н.Н. Красовским и А.И. Субботиным в теории дифференциальных игр. Используется конструкция динамического равновесия по Нэшу, которая развита в работах А.Ф. Клейменова. Для синтеза оптимальных стратегий управления применяется принцип максимума Л.С. Понтрягина в сочетании с методом характеристик для уравнений Гамильтона-Якоби. Получены аналитические формулы для кривых переключения оптимальных стратегий управления. Проведен анализ чувствительности равновесных решений в зависимости от параметра дисконтирования в интегральных функционалах выигрыша. Установлена асимптотическая сходимость равновесных траекторий по параметру дисконтирования к решению динамической биматричной игры со среднеинтегральными функционалами выигрыша, которые исследовались в работах В.И. Арнольда. Рассмотрено приложение полученных результатов к динамической модели инвестирования на финансовых рынках.

Рассматривается одна из версий обобщенного вариационного уравнения Гинзбурга-Ландау, дополненная периодическими краевыми условиями. Для такой краевой задачи изучен вопрос о существовании, устойчивости и локальных бифуркациях одномодовых состояний равновесия. Показано, что в случае близком к критическому трехкратного нулевого собственного значения в задаче об устойчивости одномодовых пространственно неоднородных состояний равновесия реализуются докритические бифуркации двумерных инвариантных торов, заполненных пространственно неоднородными состояниями равновесия. Анализ поставленной задачи опирается на такие методы теории бесконечномерных динамических систем как теория инвариантных многообразий и аппарат нормальных форм. Для решений, формирующих инвариантные торы, получены асимптотические формулы.

Для дискретного оператора Шредингера, отвечающего квантовому волноводу, с экспоненциально убывающим потенциалом вида εV доказано, что в окрестности особенностей невозмущенной функции Грина для малых ε существуют квазиуровни (собственные значения или резонансы), для которых найдены асимптотические формулы.

В последние два десятилетия углеродные нанотрубки активно исследуются в физической литературе, что обусловлено многообещающими перспективами их применения в микроэлектронике; в то же время интересные математические свойства используемых при этом гамильтонианов, к сожалению, часто остаются без должного внимания математиков. В настоящей статье проведено математически строгое исследование спектральных свойств гамильтониана $H_{\varepsilon}=H_0+\varepsilon V$ где гамильтониан электрона в углеродной нанотрубке типа «зигзаг» $H_0$ записан в приближении сильной связи, а оператор $\varepsilon V$ (потенциал) имеет вид

$$(\varepsilon V\psi )(n)=\varepsilon { V_1\psi _1(n)\choose V_2\psi _2(n)}\delta_{n0}$$

здесь $\varepsilon >0$, $V_1,V_2$ - вещественные числа, $\delta_{n0}$ - символ Кронекера. Гамильтониан $H_{\varepsilon}$ отвечает углеродной нанотрубке с примесью, равномерно распределенной в сечении нанотрубки. Данный гамильтониан является разностным оператором, определенным на функциях из $(l^2(\Omega ))^2$, где $\Omega =\mathbb Z\times \{ 0,1,\ldots,N-1\}$, $N\geqslant 2$, удовлетворяющих периодическим граничным условиям. В статье, в частности, доказано, что для каждой подзоны спектра вблизи одной из граничных точек подзоны в случае малых потенциалов существует ровно один квазиуровень, то есть собственное значение или резонанс. Для квазиуровней получены асимптотические формулы вида

$$\lambda _l^{\pm}= \pm \Bigl|2\cos\frac{\pi l}{N}+1\Bigr|\cdot\Bigl(1+\frac{\varepsilon^2(V_1+V_2)^2}{16\cos\frac{\pi l}{N}}\Bigr)
+O(\varepsilon^3),$$

где $l$ - номер подзоны, $N$ - число атомов в сечении нанотрубки, $\pm$ - знак $\lambda$. Также найдено условие того, когда квазиуровень является собственным значением.

Рассматриваются процессы образования периодических структур при ионной бомбардировке. В качестве математической модели выбрано двумерное обобщение уравнения Курамото–Сивашинского. Аналогичное уравнение было получено и в работе Бредли–Харпера. С математической точки зрения изрезанный рельеф в результате ионной бомбардировки может быть объясним как локальные бифуркации плоского профиля при смене устойчивости.

Для описания такого рельефа получены асимптотические формулы. Для исследования нелинейной краевой задачи использован метод теории бифуркаций для задач с бесконечномерным фазовым пространством. В частности, использован метод построения нормальных форм, ведущий свое начало от алгоритма Крылова–Боголюбова.

В статье рассматривается оператор Штурма-Лиувилля с вещественным квадратично интегрируемым потенциалом. Граничные условия являются неразделенными. В одно из этих граничных условий входит квадратичная функция спектрального параметра. Изучены некоторые спектральные свойства оператора. Доказаны вещественность и отличность от нуля собственных значений и отсутствие присоединенных функций к собственным функциям, выведена асимптотическая формула для спектра оператора и получено представление характеристической функции в виде бесконечного произведения. Результаты статьи играют важную роль при решении обратных задач спектрального анализа для дифференциальных операторов.

В статье рассматривается дискретный оператор Шредингера на графе с вершинами на двух пересекающихся прямых, возмущенный убывающим потенциалом. Данный оператор является гамильтонианом электрона вблизи структуры, образованной квантовой точкой и выходящими из нее четырьмя квантовыми проволоками в приближении сильной связи, широко используемом в настоящее время в физической литературе для изучения подобных наноструктур. Доказаны существование и единственность решения соответствующего уравнения Липпмана–Швингера, для решения получена асимптотическая формула. Изучена нестационарная картина рассеяния. Исследуется задача рассеяния для данного оператора в случае малого потенциала, а также в случае, когда малы как потенциал, так и скорость квантовой частицы. Получены асимптотические формулы для вероятностей распространения частицы во всех возможных направлениях.

Топологический изолятор - особый тип материала, который внутри («в объеме») представляет собой изолятор, а на поверхности проводит электрический ток. Простейшим топологическим изолятором является конечная цепочка атомов в полиацетилене. Тематика топологических изоляторов в рамках физики твердого тела очень актуальна в последнее время. Большой интерес в физической литературе к топологическим изоляторам (а также похожим на них в смысле топологии сверхпроводящим системам) в значительной степени вызван наличием связи, «соответствием» между «объемом» и «границей». В данной статье рассматривается дискретная модель SSH (Su-Schrieffer-Heeger) для полиацетилена, описывающая электрон в одномерной цепочке атомов с двумя чередующимися амплитудами перехода на соседний атом. Найдены резольвента и спектр рассматриваемого оператора. Исследованы квазиуровни (собственные значения и резонансы) в случае малого потенциала. Кроме того, найдено решение уравнения Липпмана-Швингера и получены асимптотические формулы для вероятностей прохождения и отражения в случае малого возмущения.