Все выпуски

Для динамической системы, управляемой в условиях помех, рассматривается задача оптимизации гарантированного результата. Особенностью задачи является наличие функциональных ограничений на помехи, при которых свойство замкнутости множества допустимых помех относительно операции «склейки» двух его элементов, вообще говоря, отсутствует. Это обстоятельство препятствует непосредственному применению методов теории дифференциальных игр для исследования задачи и тем самым приводит к необходимости их походящей модификации. В работе предложено новое понятие неупреждающей стратегии управления (квазистратегии). Доказано, что соответствующий функционал оптимального гарантированного результата удовлетворяет принципу динамического программирования. Как следствие, установлены так называемые свойства $u$- и $v$-стабильности этого функционала, которые в дальнейшем позволят построить конструктивное решение задачи в позиционных стратегиях.

Для динамической системы, подверженной воздействиям управления и помехи и содержащей последействие в управляющих силах, рассматривается задача об управлении с оптимальным гарантированным результатом для показателя качества, представляющего собой евклидову норму совокупности отклонений движения системы в заданные моменты времени от заданных целей. На основе функциональной трактовки, опирающейся на своеобразный прогноз движений, исходная задача сводится к вспомогательной дифференциальной игре для системы без запаздывания и с терминальной платой. Функция цены этой игры вычисляется на базе конструкции выпуклых сверху оболочек вспомогательных функций из метода стохастического программного синтеза, оптимальные стратегии строятся методом экстремального сдвига на сопутствующие точки. Рассматриваются иллюстрирующие примеры, приводятся результаты численных экспериментов.

В качестве математической модели конфликта рассматривается бескоалиционная игра Γ двух участников при неопределенности. О неопределенности известны лишь границы изменения, а какие-либо вероятностные характеристики отсутствуют. Для оценки риска в Γ привлекается функция риска по Сэвиджу (из принципа минимаксного сожаления). Качество функционирования участников конфликта оценивается по двум критериям - исходам и рискам, при этом каждый из них стремится увеличить исход и одновременно уменьшить риск. На основе синтеза принципов минимаксного сожаления и гарантированного результата, равновесности по Нэшу и оптимальности по Слейтеру, а также решения иерархической двухуровневой игры по Штакельбергу формализуется понятие гарантированного по исходам (выигрышам) и рискам равновесия в Γ. Приведен пример. Затем устанавливается существование такого решения в смешанных стратегиях при обычных ограничениях в математической теории игр.

В настоящей работе рассматривается естественная релаксация игровой задачи наведения. А именно, для двух замкнутых множеств - параметров задачи - решается аналогичная задача о наведении для $\varepsilon$-окрестностей данных множеств. Нас интересует наименьший размер таких окрестностей, для которых игрок I может решить задачу наведения в классе обобщенных квазистратегий. Для построения решения используется модификация метода программных итераций. Вышеупомянутый размер окрестностей находится как функция позиции и в дальнейшем определяется путем применения специальной итерационной процедуры. Также в работе показано, что искомая функция является неподвижной точкой оператора, определяющего данную процедуру.

В статье изучается задача управления в условиях помех, которая формулируется как задача оптимизации гарантированного результата. В отличие от классической постановки таких задач предполагается, что множество допустимых помех конечно и состоит из кусочно-непрерывных функций. С учетом этого дополнительного функционального ограничения на помеху определяется подходящий класс неупреждающих стратегий (квазистратегий) управления и рассматривается соответствующая величина оптимального гарантированного результата. При некотором техническом предположении о свойстве различимости допустимых помех доказывается, что этот результат может быть достигнут путем использования стратегий управления с полной памятью. Как следствие, устанавливается неулучшаемость класса стратегий с полной памятью. Ключевым элементом доказательства является процедура распознавания действующих в системе помех, которая позволяет всякой неупреждающей стратегии поставить в соответствие близкую по гарантированному результату стратегию с полной памятью. В заключение статьи приводится иллюстрирующий пример.

В теории игр и теории исследования операций часто появляется минимакс от функции $f(x,y)$, зависящей от двух векторных переменных $x$, $y$. Изучению свойств минимакса (или максимина) посвящено много работ. Минимакс можно трактовать как наименьший гарантированный результат для минимизирующего игрока (минимизирующей оперирующей стороны). При изучении минимаксных задач определенный интерес представляют различные вопросы о корректности. Одному из таких вопросов посвящена настоящая статья. В ней векторы $x$, $y$ принадлежат компактам $P$, $Q$ из соответствующих евклидовых пространств $R^k$, $R^l$, а функция $f(x,y)$ непрерывна на произведении пространств $R^k\times R^l$. В статье рассматривается вопрос о зависимости минимакса от малых изменений компактов $P$, $Q$ в метрике Хаусдорфа. Обосновывается непрерывность зависимости минимакса от малых вариаций множеств $P$, $Q$.

Рассматривается задача оптимизации гарантированного результата для управляемой системы, описываемой обыкновенным дифференциальным уравнением, и функционала качества, непрерывно зависящего от траектории движения системы. Значения управления и помехи ограничены в каждый момент компактными множествами. Предполагается, что помеха порождается некоторой неизвестной заранее функцией типа Каратеодори, то есть функцией непрерывной по пространственной переменной при каждом значении временной переменной и измеримой по временной переменной при каждом значении пространственной. Оптимальное управление ищется в классе стратегий управления с полной памятью о движении системы и о реализовавшемся управлении.

Показано, что для достаточно широкого семейства управляемых систем оптимальный гарантированный результат в классе стратегий с полной памятью совпадает с оптимальным гарантированным результатом в классе квазистратегий. Для этого семейства управляемых систем построена разрешающая стратегия, допускающая численную реализацию. Приводится иллюстрирующий пример для нелинейной управляемой системы.

Рассматривается задача оптимизации гарантированного результата для управляемой системы, описываемой обыкновенным дифференциальным уравнением, и функционала качества, непрерывно зависящего от траектории системы. Значения управления и помехи ограничены в каждый момент компактными множествами. Предполагается также, что помеха стеснена некоторым неизвестным функциональным ограничением из заданного семейства ограничений.

Показано, что в данной задаче оптимальный гарантированный результат совпадает со значением нижней (максиминной) игры. Для получения эффективно реализуемых алгоритмов управления указываются дополнительные условия на правую часть рассматриваемой управляемой системы и подходящие способы построения оптимальной стратегии.

В контексте задач гарантированного управления рассматриваются следующие вопросы: связь возможности пошагового (на заданном разбиении $\Delta$) вычисления селектора мультифункции (м/ф) $\alpha$ для неизвестного, восстанавливаемого по шагам $\Delta$, аргумента с существованием у $\alpha$ мультиселектора (м/с) со специальным свойством (названым здесь $\Delta$-неупреждаемостью или частичной неупреждаемостью); второй вопрос — способы построение такого м/с для произвольной пары $(\alpha, \Delta)$; и последний — поиск эффективно проверяемых условий, обеспечивающих совпадение $\Delta$-неупреждающего м/с с неупреждающим.

Мотивом к рассмотрению этих вопросов послужила схема управления, возникающая, например, в методе альтернированного интеграла, при использовании в управлении контрстратегий, или в некоторых задачах при использовании метода управления с поводырём.

В работе показано, что рассматриваемая пошаговая схема управления реализуема тогда и только тогда, когда м/ф $\alpha$ имеет $\Delta$-неупреждающий и непустозначный м/с. Дана конечношаговая процедура построения такого м/с. Указаны эффективно проверяемые условия, обеспечивающие неупреждаемость частично неупреждающего м/с. Рассмотрены иллюстрирующие примеры.

Рассматривается задача управления при наличии динамических помех. Приводится пример управляемой системы и позиционной стратегии, для которых пучок конструктивных идеальных движений, формирующий гарантированный результат, существенно изменяется при сужении множества допустимых помех до программных помех.