Все выпуски

В полубесконечном цилиндре рассматривается поведение решений уравнения Лапласа, удовлетворяющих на боковой поверхности Γ цилиндра третьему краевому условию

(∂u/∂v+β(x)u)|_Γ=0,

где β(x)≥0. Показано, что любое ограниченное решение на бесконечности стабилизируется к некоторой постоянной, обладая при этом конечным интегралом Дирихле.  Получены условия убывания в бесконечности коэффициента β(x) при u в граничном условии, при которых поведение решений близко к поведению решений задачи Дирихле (дихотомия решений, стремление ограниченного решения к 0) либо задачи Неймана (трихотомия решений, стремление ограниченных решений к постоянной, вообще говоря отличной от 0). Основное условие, определяющее близость третьей краевой задачи к задаче Дирихле либо Неймана, получено в терминах соответственно бесконечности или конечности  интеграла ∫_Γx₁β(x)dS, где переменная x₁ соответствует направлению оси цилиндра.

Рассматриваются задачи управления на бесконечном промежутке времени со свободным правым концом. Получены необходимые условия сильной оптимальности. Сам метод доказательства фактически следует классической работе Халкина, а построенное в работе краевое условие на бесконечности является усилением условия, предложенного Сейерстадом. Построенная в работе полная система соотношений принципа максимума позволяет выписать для сопряженной переменной выражение в виде несобственного интеграла, зависящего лишь от разворачивающейся траектории. С.М. Асеев, А.В. Кряжимский, В.М. Вельев получали такое выражение в качестве необходимого условия в некоторых классах задач управления. Сильная оптимальность в ряде случаев позволяет создать переопределенную систему соотношений; в работе получены условия, достаточные для этого. Разобран пример.