Все выпуски

Рассматривается нелокальная граничная задача для управляемой системы с обратной связью, описываемой полулинейным функционально-дифференциальным включением дробного порядка с бесконечным запаздыванием в сепарабельном банаховом пространстве. Приводится общий принцип существования решений задачи в терминах отличия от нуля топологической степени соответствующего векторного поля. Доказывается конкретный пример (теорема 6) реализации этого общего принципа. Доказывается существование оптимального решения поставленной задачи, минимизирующего заданный полунепрерывный снизу функционал качества.

В данной работе изучаются прямая начально-краевая задача и обратная задача определения коэффициента одномерного уравнения в частных производных со многими дробными производными Римана–Лиувилля. Исследована однозначная разрешимость прямой задачи и получены априорные оценки ее решения в весовых пространствах, которые будут использованы при изучении обратной задачи. Далее обратная задача эквивалентно сводится к нелинейному интегральному уравнению. Для доказательства однозначной разрешимости этого уравнения используется принцип неподвижной точки.

Работа посвящена исследованию разрешимости обратной краевой задачи с неизвестным коэффициентом и правой частью, зависящей от времени, для линеаризованного уравнения Бенни-Люка с несамосопряженными краевыми и с дополнительными интегральными условиями. Задача рассматривается в прямоугольной области. Дается определение классического решения поставленной задачи. Сначала рассматривается вспомогательная обратная краевая задача и доказывается ее эквивалентность (в определенном смысле) исходной задаче. Для исследования вспомогательной обратной краевой задачи сначала используется метод разделения переменных. После применения формальной схемы метода разделения переменных решение прямой краевой задачи (при заданной неизвестной функции) сводится к решению задачи с неизвестными коэффициентами. После этого решение задачи сводится к решению некоторой счетной системы интегро-дифференциальных уравнений относительно неизвестных коэффициентов. В свою очередь, последняя система относительно неизвестных коэффициентов записывается в виде одного интегро-дифференциального уравнения относительно искомого решения. Затем, используя соответствующие дополнительные условия обратной вспомогательной краевой задачи, для определения неизвестных функций получаем систему двух нелинейных интегральных уравнений. Таким образом, решение вспомогательной обратной краевой задачи сводится к системе из трех нелинейных интегро-дифференциальных уравнений относительно неизвестных функций. Строится конкретное банахово пространство. Далее, в шаре из построенного банахова пространства с помощью сжатых отображений доказывается разрешимость системы нелинейных интегро-дифференциальных уравнений, которая также является единственным решением вспомогательной обратной краевой задачи. С использованием эквивалентности задач доказывается существование и единственность классического решения исходной задачи.

В работе исследована одна обратная краевая задача для эллиптического уравнения второго порядка с дополнительным интегральным условием первого рода. Для рассматриваемой обратной краевой задачи вводится определение классического решения. С помощью метода Фурье задача сводится к решению системы интегральных уравнений. С помощью метода сжатых отображений доказывается существование и единственность решения системы интегральных уравнений. Далее доказывается существование и единственность классического решения исходной задачи.

В работе исследована обратная краевая задача с неизвестным коэффициентом, зависящим от времени, для одного уравнения Буссинеска четвертого порядка с нелокальными интегральными по времени условиями второго рода. Дается определение классического решения поставленной задачи. Суть задачи состоит в том, что требуется вместе с решением определить неизвестный коэффициент. Задача рассматривается в прямоугольной области. При решении исходной обратной краевой задачи осуществляется переход от исходной обратной задачи к некоторой вспомогательной обратной задаче. С помощью сжатых отображений доказываются существование и единственность решения вспомогательной задачи. Затем вновь производится переход к исходной обратной задаче, в результате делается вывод о разрешимости исходной обратной задачи.

В этой статье рассматриваются обратные задачи для уравнения гиперболического вида четвертого порядка с инволюцией. Существование и единственность решения изучаемых обратных задач устанавливается методом разделения переменных. Для применения метода разделения переменных доказываем базисность Рисса собственных функций дифференциального оператора четвертого порядка с инволюцией в пространстве ${{L}_{2}}(-1,1)$. При доказательстве теорем о существовании и единственности решения широко используем неравенство Бесселя для коэффициентов разложений в ряд Фурье в пространстве ${{L}_{2}}(-1,1)$. Показана существенная зависимость существования решения от коэффициента уравнения $\alpha$. В каждом из случаев $\alpha <-1$, $\alpha >1$, $-1<\alpha <1$ выписаны представления решений в виде рядов Фурье по собственным функциям краевых задач для уравнения четвертого порядка с инволюцией.

В данной работе исследуется обратная задача для одномерного интегро-дифференциального уравнения теплопроводности с нелокальными начально-краевыми и интегральными условиями переопределения. Мы использовали метод Фурье и принцип Шаудера для исследования разрешимости прямой задачи. Далее задача сводится к эквивалентной замкнутой системе интегральных уравнений относительно неизвестных функций. Существование и единственность решения интегральных уравнений доказывается с помощью сжимающего отображения. Наконец, с помощью эквивалентности получается существование и единственность классического решения.

Рассматривается задача идентификации условий закрепления балки по пяти собственным частотам ее колебаний. На основе условий Плюккера, возникающих при восстановлении  матрицы по ее минорам  максимального порядка, построено множество корректности задачи и доказана корректность ее по А.Н. Тихонову. Найдено явное решение задачи идентификации матрицы краевых условий, выписанное в терминах характеристического определителя соответствующей спектральной задачи. Приведены соответствующие примеры.

В пространстве $R^l$, $l\geq 2$, рассматриваются преобразования типа инволюции. Исследуются свойства матриц этих преобразований. Определена структура рассматриваемой матрицы и доказано, что матрица этих преобразований определяется элементами первой строки. Доказана также симметричность исследуемой матрицы. Кроме того, в явном виде найдены собственные векторы и собственные значения рассматриваемой матрицы. Найдена также обратная матрица и доказано, что обратная матрица имеет такую же структуру, как и основная матрица. В качестве приложений рассматриваемых преобразований введены и изучены свойства нелокального аналога оператора Лапласа. Для соответствующего нелокального уравнения Пуассона в единичном шаре исследованы вопросы разрешимости краевых задач Дирихле и Неймана. Доказана теорема об однозначной разрешимости задачи Дирихле, построены явный вид функции Грина и интегральное представление решения, а также найден порядок гладкости решения задачи в классе Гёльдера. Найдены также необходимые и достаточные условия разрешимости задачи Неймана, явный вид функции Грина и интегральное представление.

Решение краевой задачи для простейшего волнового уравнения, заданной в прямоугольнике, допускает представление в виде суммы двух слагаемых. Они являются решениями двух краевых задач: в первом случае граничные функции постоянны, а во втором начальные функции имеют специальный вид. Подобная декомпозиция позволяет применять для численного решения обеих задач двумерные сплайны. Первая задача исследована ранее, получен экономичный алгоритм ее численного решения.
Для решения второй задачи определено конечномерное пространство сплайнов лагранжевого типа, а в качестве решения предложен оптимальный сплайн, дающий наименьшую невязку. Для коэффициентов этого сплайна и для его невязки получены точные формулы. Формула для коэффициентов сплайна представляет собой линейную форму от исходных конечных разностей, заданных на границе.
Формула для невязки представляет собой сумму двух простых слагаемых и двух положительно определенных квадратичных форм от новых конечных разностей, заданных на границе. Элементы матриц форм выражаются через многочлены Чебышёва, обе матрицы обратимы и таковы, что обратные к ним матрицы имеют трехдиагональный вид. Эта особенность позволяет получить для спектра матриц верхние и нижние оценки и показать, что невязка стремится к нулю с ростом размерности численной задачи. Данное обстоятельство обеспечивает корректность предлагаемого алгоритма численного решения второй задачи, обладающего линейной сложностью вычислений.