Все выпуски

Изучаются свойства дискретной вариационной задачи динамической аппроксимации в комплексном евклидовом (L + 1)-мерном пространстве E. Она обобщает известные задачи среднеквадратической полиномиальной аппроксимации функций, заданных своими отсчетами в конечном интервале. В рассматриваемой задаче аппроксимация последовательности y = {y_i}_L⁰ отсчетов функции y(t) ∈ L²[0, T], T = Lh на сетке I_h осуществляется решениями однородных линейных дифференциальных или разностных уравнений заданного порядка n с постоянными, но, возможно, неизвестными коэффициентами. Тем самым показано, что в последнем случае задача аппроксимации включает в себя и задачу идентификации. Анализ ее особенностей - основная тема статьи. Ставится задача нахождения вектора коэффициентов  разностного уравнения Σ_n⁰ ŷ_i+k α_i = 0, где k = 0,L − n. Оптимизируются коэффициенты  и начальные условия переходного процесса y этого уравнения. Цель оптимизации - наилучшая аппроксимация исследуемого динамического процесса y ∈ E. Критерий аппроксимации  минимум величины ||y − ŷ||²_E. Показано, что изучаемая вариационная задача сводится к задачам проектирования в E вектора y на ядра разностных операторов с неизвестными коэффициентами α ∈ ω ⊂ S ⊂ Eⁿ⁺¹. Здесь α - направление, S - сфера или гиперплоскость. Показана связь изучаемой задачи с задачами дискретизации и идентифицируемости. Тогда координаты вектора y ∈ E есть точное решение дифференциального уравнения на сетке I_h и y = ŷ. Дано сравнение изучаемой задачи вариационной идентификации с алгебраическими методами идентификации. Показано, что ортогональные дополнения к ядрам разностных операторов всегда имеют теплицев базис. Это приводит к быстрым проекционным алгоритмам вычислений. Показано, что задача нахождения оптимального вектора α сводится к задаче безусловной минимизации функционала идентификации, зависящего от направления  в Eⁿ⁺¹. Предложена итерационная процедура его минимизации на сфере с широкой областью и высокой скоростью сходимости. Изучаемую вариационную задачу можно применять при математическом моделировании в управлении и научных исследованиях. При этом на конечных интервалах может использоваться, в частности, возможность кусочно-линейной динамической аппроксимации сложных динамических процессов разностными и дифференциальными уравнениями указанного типа.

В работе дан обзор проблем, приводящих к необходимости анализа моделей линейных и нелинейных динамических систем в форме стохастических дифференциальных уравнений со случайными запаздываниями различного типа, а также представлены некоторые известные методы решения этих задач. Далее в статье предлагаются новые подходы к приближенному анализу линейных и нелинейных стохастических динамических систем, изменения запаздываний которых описываются дискретной марковской цепью с непрерывным временем. Используемые подходы базируются на сочетании классического метода шагов, расширения пространства состояния стохастической системы и метода статистического моделирования (Монте-Карло). В рассматриваемом случае такой подход позволил упростить задачу и привести исходные уравнения к системам стохастических дифференциальных уравнений без запаздывания. Более того, для линейных систем получена замкнутая последовательность систем обыкновенных дифференциальных уравнений увеличивающейся размерности относительно функций условных математических ожиданий и ковариаций вектора состояния. Изложенная схема демонстрируется на примере стохастической системы второго порядка, изменения запаздывания которой описываются марковской цепью с пятью состояниями. Все расчеты и построение графиков проводились в среде математического пакета Mathematica с помощью программы, написанной на входном языке этого пакета.

Рассматривается система Ball and Beam с нелинейной геометрической связью. Из полного уравнения этой связи определяются два возможных положения равновесия системы. Проведен сравнительный анализ структур уравнений возмущенного движения в окрестности обоих положений равновесия, исходя из уравнений без множителей связей в форме М.Ф. Шульгина. На этой основе обсуждается вопрос о допустимости линеаризации геометрических связей. Даны решения задач стабилизации для каждого равновесия при двух вариантах выбора избыточной координаты. Стабилизирующее управление (напряжение на якорной обмотке приводного двигателя) определяется решением методом Н.Н. Красовского линейно-квадратичных задач для соответствующих управляемых подсистем. Показано совпадение управлений как функций времени для одного и того же равновесия при разном выборе избыточной координаты, причем стабилизирующие управления являются при этом линейными функциями разных фазовых переменных. Приведены графики переходных процессов в замкнутых найденными управлениями системах. Асимптотическая устойчивость обоих положений равновесия в полной нелинейной замкнутой системе следует из ранее доказанной теоремы об асимптотической устойчивости при наличии нулевых корней характеристического уравнения, соответствующих избыточным координатам.

Рассмотрена модель, описывающая движение водного робота с корпусом в форме симметричного крылового профиля NACA0040. Управление движением осуществляется с помощью периодических колебаний ротора. Численно показано, что при физически допустимых значениях параметров управления в фазовом пространстве системы существует только один предельный цикл. Предельный цикл, возникающий при симметричном управлении, соответствует в среднем направленному продвижению робота. В случае несимметричных управлений реализуется движение вблизи окружности. Предложен алгоритм управления курсом движения робота, использующий обнаруженные предельные циклы и переходные процессы между ними.