Все выпуски

Получены необходимые и достаточные условия разрешимости периодической краевой задачи для всех линейных функционально-дифференциальных уравнений второго порядка с заданной нормой функционального оператора.

Получены необходимые и достаточные условия однозначной разрешимости периодической краевой задачи для функционально-дифференциального уравнения с монотонными операторами.

Для общей краевой задачи функционально-дифференциального уравнения получены условия непрерывной зависимости решения от параметров. Результаты применены к исследованию корректности линейной общей краевой задачи для нелинейного дифференциального уравнения с отклоняющимся аргументом и непрерывной зависимости периодических решений управляемых систем от значений управления и отклонения аргумента.

Для данного уравнения рассмотрена периодическая краевая задача. У задачи существует счетное число периодических по временной переменной плоских волн. Исследован вопрос об их устойчивости и бифуркациях. Все результаты получены аналитически и основаны на асимптотических методах нелинейной динамики.

В работе рассматривается краевая задача для нелинейного эволюционного уравнения в частных производных, приведенная в перенормированном виде. Данная краевая задача возникает в механике роторных систем и описывает поперечные колебания вращающегося ротора постоянного сечения из вязкоупругого материала, концы которого шарнирно закреплены. Изучен вопрос об устойчивости нулевого состояния равновесия, найдено критическое значение скорости вращения ротора, при превышении которого возникают незатухающие колебания. Найдены точные решения изучаемой краевой задачи в виде одномодовых по пространственной переменной и периодической по времени функций. Выведены условия устойчивости таких решений, а также в ряде случаев дан анализ условий устойчивости. В работе показано отсутствие многомодовых периодических по времени решений. Проанализированы базовые, но важные с прикладной точки зрения частные случаи данной нелинейной краевой задачи. Все результаты анализа нелинейной краевой задачи носят аналитический характер. Их вывод опирается на качественную теорию бесконечномерных динамических систем.

Рассматривается одна из версий обобщенного вариационного уравнения Гинзбурга-Ландау, дополненная периодическими краевыми условиями. Для такой краевой задачи изучен вопрос о существовании, устойчивости и локальных бифуркациях одномодовых состояний равновесия. Показано, что в случае близком к критическому трехкратного нулевого собственного значения в задаче об устойчивости одномодовых пространственно неоднородных состояний равновесия реализуются докритические бифуркации двумерных инвариантных торов, заполненных пространственно неоднородными состояниями равновесия. Анализ поставленной задачи опирается на такие методы теории бесконечномерных динамических систем как теория инвариантных многообразий и аппарат нормальных форм. Для решений, формирующих инвариантные торы, получены асимптотические формулы.

Для обобщенного уравнения Гинзбурга–Ландау, содержащего как кубическую нелинейность, так и нелинейность более высокой степени, рассмотрена периодическая краевая задача. Показано, что для такого обобщения уравнения Гинзбурга–Ландау может быть реализован вариант докритической жесткой бифуркации двумерных инвариантных торов бегущих волн.

Рассматриваются процессы образования периодических структур при ионной бомбардировке. В качестве математической модели выбрано двумерное обобщение уравнения Курамото–Сивашинского. Аналогичное уравнение было получено и в работе Бредли–Харпера. С математической точки зрения изрезанный рельеф в результате ионной бомбардировки может быть объясним как локальные бифуркации плоского профиля при смене устойчивости.

Для описания такого рельефа получены асимптотические формулы. Для исследования нелинейной краевой задачи использован метод теории бифуркаций для задач с бесконечномерным фазовым пространством. В частности, использован метод построения нормальных форм, ведущий свое начало от алгоритма Крылова–Боголюбова.

В настоящей работе с помощью отображений типа инволюции вводится нелокальный аналог оператора Лапласа. Для соответствующего нелокального аналога уравнения Пуассона в единичном шаре изучены новые классы краевых задач. В рассматриваемых задачах граничные условия заданы в виде связи значения искомой функции в верхней полусфере со значением в нижней полусфере. Исследуемые задачи обобщают известные периодические и антипериодические краевые задачи для круговых областей. Задачи решаются сведением их к двум вспомогательным задачам с краевыми условиями Дирихле и Неймана для нелокального аналога уравнения Пуассона. Используя известные утверждения для полученных вспомогательных задач, мы доказываем теоремы о существовании и единственности решения основных задач. Найдены точные условия разрешимости исследуемых задач, а также получены интегральные представления решений. Изучены также спектральные вопросы, связанные с периодическими задачами. Найдены собственные функции и собственные значения этих задач. Доказаны теоремы о полноте системы собственных функций в пространстве $L_2$.

Рассматривается нестационарное движение жидкой бинарной смеси в узком протяженном горизонтальном канале с твердыми стенками, нагревающимися по определенному закону. Используется возможность применения решения Остроумова-Бириха к описанию исследуемого течения, что сводит задачу к решению смешанной краевой задачи для системы параболических уравнений. Особенностью задачи является дополнительное к граничным интегральное условие на расход жидкости, позволяющее вместе с функциями скорости, температуры и концентрации находить горизонтальный градиент давления. Посредством построенной численной процедуры решения поставленной задачи проводится анализ полученных характеристик движения при использовании в качестве смеси водного спиртового раствора. Показаны возможности стабилизации нестационарного течения и управления движением посредством периодически меняющейся тепловой нагрузки на стенке канала.