Все выпуски

Получены необходимые и достаточные условия выживаемости дифференциальной системы с последействием и дифференциального включения с последействием. Получены достаточные условия положительной инвариантности множества для системы (включения) с последействием.

Пусть $T\in C^{2+\varepsilon}(S^{1}\setminus \{x_{b}\})$, $\varepsilon>0$, — гомеоморфизм окружности с одной точкой излома $x_{b}$, в которой $T'(x)$ имеет разрыв первого рода и обе односторонние производные в точке $x_{b}$ строго положительные, и иррациональным числом вращения $\rho _{T}$. Предположим, что разложение числа вращения $\rho _{T}$ в непрерывную дробь, начиная с некоторого номера, совпадает с золотым сечением, т.е. $\rho _{T}=[m_{1},m_{2},\dots,m_{l},\,m_{l+1},\ldots],…,m_{s}=1$, $s> l>0$. Поскольку число вращения иррациональное, отображение $T$ является строго эргодическим, т.е. обладает единственной вероятностной инвариантной мерой $\mu_{T}$. В работе А.А. Джалилова и К.М. Ханина доказано, что вероятностная инвариантная мера $\mu_{G}$ любого гомеоморфизма окружности $G\in C^{2+\varepsilon}(S^{1}\setminus \{x_{b}\})$, $\varepsilon>0$, с одной точкой излома $ x_{b}$ и иррациональным числом вращения $\rho _{G}$ является сингулярной относительно меры Лебега $\lambda$ на окружности, т.е. существует измеримое подмножество $A \subset S^{1}$ такое, что $\mu_{G}(A)=1$ и $\lambda(A)=0$. Мы построим термодинамический формализм для гомеоморфизмов $T_{b}\in C^{2+\varepsilon}(S^{1}\setminus \{x_{b}\})$, $\varepsilon>0$, с одним изломом в точке $x_{b}$ и числом вращения, равным золотому сечению, т.е. $\rho _{T}:=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$. Существенно используя построенный термодинамический формализм, мы изучили показатели сингулярности инвариантной меры $\mu_{T}$ гомеоморфизма $T$.

Определена конформная связность со скалярной кривизной как обобщение псевдориманова пространства постоянной кривизны. Вычислена матрица кривизны такой связности. Доказано, что на многообразии конформной связности со скалярной кривизной имеется конформная связность с нулевой матрицей кривизны. Дано определение перенормируемого скаляра и доказано существование перенормируемых скаляров на любом многообразии конформной связности, где существует разбиение единицы. Доказано: 1) существование на многообразии конформной связности с нулевой матрицей кривизны конформной связности с положительной, отрицательной и знакопеременной скалярной кривизной; 2) существование на многообразии конформной связности глобальной калибровочно-инвариантной метрики; 3) на гиперповерхности конформного пространства индуцированная конформная связность не может быть с ненулевой скалярной кривизной.

Результаты исследований Е.Л. Тонкова и Е.А. Панасенко распространяются на дифференциальные уравнения и управляемые системы с импульсным воздействием. В терминах функций Ляпунова и производной Кларка получены теоремы сравнения для систем с импульсным воздействием. Рассматривается множество $\mathfrak M\doteq\bigl\{(t,x)\in[t_0,+\infty)\times\mathbb{R}^n: x\in M(t)\bigr\},$ заданное непрерывной функцией $t\rightarrow M(t)$, где для каждого $t \in [t_0,+\infty)$ множество $M(t)$ непусто и компактно. Получены условия положительной инвариантности данного множества, равномерной устойчивости по Ляпунову и равномерной асимптотической устойчивости. Проведено сравнение с исследованиями других авторов, которые рассматривали вопросы устойчивости нулевого решения для аналогичных систем.

Продолжено исследование условий положительной инвариантности и асимптотической устойчивости заданного множества относительно управляемой системы с импульсным воздействием. Рассматривается множество $\mathfrak M \doteq \bigl\{ (t,x) \in [t_0,+\infty) \times \mathbb{R}^n: x\in M(t)\bigr\}$, где функция $t\rightarrow M(t)$ непрерывна в метрике Хаусдорфа и для каждого $t \in [t_0,+\infty)$ множество $M(t)$ непусто и компактно. В терминах функций Ляпунова и производной Кларка получены условия слабой положительной инвариантности данного множества, слабой равномерной устойчивости по Ляпунову и слабой асимптотической устойчивости. Также доказана теорема сравнения для решений систем и уравнений с импульсами, следствием которой являются условия существования решений системы, асимптотически стремящихся к нулю. Полученные результаты проиллюстрированы на примере модели конкуренции двух видов, подверженных импульсному управлению в фиксированные моменты времени.

Под термином «размыкание предиката» понимается сведение задачи поиска и изучения свойств множества истинности заданного предиката к задаче поиска и изучения свойств неподвижных точек некоторого отображения. Размыкание предиката дает дополнительные возможность анализа его множества истинности, а также позволяет строить элементы этого множества с теми или иными свойствами. Известны примеры размыкания нетривиальных предикатов, таких как предикат «быть стабильным (слабо инвариантным) множеством», предикат «быть неупреждающим селектором», предикат «быть седловой точкой», предикат «быть равновесием Нэша». В упомянутых случаях вопрос об априорной оценке возможности размыкания того или иного интересующего нас предиката и о построении соответствующего размыкающего отображения оставался за рамками рассмотрения: размыкающие отображения предоставлялись как готовые объекты. В предлагаемой заметке мы постараемся отчасти закрыть этот пробел: приводятся формальное определение операции размыкания предиката, способы построения и исчисления размыкающих отображений и их основные свойства. Описываемый подход примен\'им во всех упомянутых выше положительных примерах. В качестве иллюстрации проведено следующее этому способу построение размыкающего отображения для предиката «быть нэшевским равновесием».