Все выпуски

Для дифференциальной игры многих лиц найдены условия того, что заданное многозначное отображение в каждой точке есть множество выигрышей в ситуациях равновесия по Нэшу. Данное условие выписано в инфинитезимальной форме. Также найдены достаточные условия, при которых набор непрерывных функций обеспечивает равновесие по Нэшу. Данное условие обобщает метод, основанный на системе уравнений типа Гамильтона–Якоби.

В работе построено равновесие по Бержу в модели олигополии Курно. Проведено сравнение равновесий по Бержу и по Нэшу. Выявлены условия, при которых выигрыши игроков в ситуации равновесия по Бержу больше, чем их выигрыши в ситуации равновесия по Нэшу.

Работа посвящена исследованию равновесия по Нэшу в неантагонистической детерминированной дифференциальной игре двух лиц в классе рандомизированных стратегий. Предполагается, что игроки информированы об управлении своего партнера, реализовавшегося к текущему времени. Поэтому игра формализуется в классе рандомизированных квазистратегий. В работе получена характеризация множества выигрышей (пар ожидаемых выигрышей игроков) в ситуациях равновесия по Нэшу с использованием вспомогательных антагонистических игр. Показано, что множество выигрышей в ситуациях рандомизированного равновесия по Нэшу является выпуклой оболочкой множества выигрышей в классе детерминированных стратегий. Приведен пример, показывающий дополнительные возможности, которые возникают при переходе к рандомизированным стратегиям.

В работе изучается влияние шума на модель ферментативной реакции Голдбетера, описывающую механизм колебательного синтеза циклического аденозинмонофосфата в клетке. Показано, что модель отличается высокой чувствительностью к вариациям параметров и начальных условий. Демонстрируется и исследуется явление стохастической возбудимости в зоне устойчивого равновесия. Показано, что воздействие шума приводит к резкому переходу от малоамплитудных стохастических осцилляций к спайковым колебаниям большой амплитуды. Для параметрического анализа этого явления используются техника функций стохастической чувствительности и метод доверительных эллипсов. Изучена зависимость критического значения интенсивности шума, при котором начинается генерация большеамплитудных колебаний, от близости управляющего параметра к точке бифуркации. Для детального анализа частотных свойств стохастических колебаний проведен статистический анализ межспайковых интервалов и обнаружено явление когерентного резонанса.

В работе изучается влияние цветного шума на равновесные режимы нелинейных динамических систем. Для исследования реакции системы на малые возмущения используется асимптотический подход, развивающий технику функций стохастической чувствительности. Стохастическая чувствительность равновесия в общей многомерной динамической системе задается некоторой матрицей. Для этой матрицы стохастической чувствительности в работе получено матричное алгебраическое уравнений. Точное решение этого уравнения дается для важного класса нелинейных осцилляторов с возмущениями в форме цветных шумов. Эта теория применяется к параметрическому исследованию отклика электронного генератора с жестким возбуждением на цветные шумы с различным временем корреляции. В работе исследована зависимость дисперсии случайных состояний от характерного времени корреляции. Показано, что эта зависимость может быть немонотонной и иметь максимумы, соответствующие резонансам. В работе обсуждается вероятностный механизм стохастической генерации колебаний больших амплитуд, вызванной цветным шумом.

В статье рассматриваются приближенные решения неантагонистических дифференциальных игр. Приближенное равновесие по Нэшу может быть построено по заданному решению вспомогательной стохастической игры с непрерывным временем. Мы рассматриваем случай, когда динамика вспомогательной игры задается марковской цепью с непрерывным временем. Для этой игры функция цены определяется решением системы обыкновенных дифференциальных включений. Таким образом, мы получаем конструкцию приближенного равновесия по Нэшу с выигрышами игроков, близкими к решениям системы обыкновенных дифференциальных включений. Также предложен способ построения марковской игры с непрерывным временем, аппроксимирующей исходную игру.

В работе рассматривается игра патрулирования с двумя игроками — патрулирующим и атакующим. Цель первого игрока — охранять объект от злоумышленников, поймать атакующего. Цель второго — причинить урон охраняемому объекту и не стать пойманным. В данной статье охраняемым объектом выступают базовые станции сотовых компаний. Теоретико-игровая модель построена для решения задачи о нахождении начального распределения местоположения игроков по базовым станциям. При известной матрице перехода игроков по станциям в работе находятся оптимальные стратегии игроков и значение игры. Рассмотрена обратная задача — поиск оптимальных матриц перехода при известных начальных распределениях местоположения игроков. В такой постановке найдено равновесие по Нэшу, когда атакующий совершает две атаки.

Рассматривается система реакции-диффузии с кубической нелинейностью, которая является бесконечномерным аналогом классической системы Рэлея и частным случаем системы Фитцью-Нагумо. Предполагается, что пространственная переменная изменяется на отрезке, на концах которого заданы однородные краевые условия Неймана. Известно, что в данном случае в системе Рэлея с диффузией существует пространственно-однородный автоколебательный режим, совпадающий с предельным циклом классической системы Рэлея. В настоящей работе показано существование счетного множества критических значений управляющего параметра, при которых возникают пространственно-неоднородные автоколебательные и стационарные режимы. Данные режимы устойчивы относительно возмущений, принадлежащих некоторым бесконечномерным инвариантным подпространствам системы, но неустойчивы во всем фазовом пространстве. Это свойство объясняет, почему в результате численных экспериментов при некоторых значениях параметра различным начальным условиям соответствуют нулевое, периодическое по времени или стационарное решение. Асимптотика вторичных решений построена методом Ляпунова-Шмидта. Явно найдены первые члены разложения, проанализированы формулы для общего члена асимптотики. Показано, что на инвариантных подпространствах происходит мягкая потеря устойчивости нулевого равновесия. Эволюция вторичных режимов при увеличении значений надкритичности исследована численно. Установлено, что с ростом значений надкритичности вторичные автоколебательные режимы постепенно сменяются стационарными. Амплитуда стационарных решений растет по мере увеличения надкритичности, а профиль асимптотически стремится к профилю меандра.

В качестве математической модели конфликта рассматривается бескоалиционная игра Γ двух участников при неопределенности. О неопределенности известны лишь границы изменения, а какие-либо вероятностные характеристики отсутствуют. Для оценки риска в Γ привлекается функция риска по Сэвиджу (из принципа минимаксного сожаления). Качество функционирования участников конфликта оценивается по двум критериям - исходам и рискам, при этом каждый из них стремится увеличить исход и одновременно уменьшить риск. На основе синтеза принципов минимаксного сожаления и гарантированного результата, равновесности по Нэшу и оптимальности по Слейтеру, а также решения иерархической двухуровневой игры по Штакельбергу формализуется понятие гарантированного по исходам (выигрышам) и рискам равновесия в Γ. Приведен пример. Затем устанавливается существование такого решения в смешанных стратегиях при обычных ограничениях в математической теории игр.

Исследуются задачи о равновесии трансверсально-изотропной пластины с жесткими включениями. Предполагается, что пластина деформируется в рамках гипотез классической теории упругости. Задачи формулируются в виде минимизации функционала энергии пластины на выпуклом и замкнутом подмножестве пространства Соболева. Установлено, что предельный переход по геометрическому параметру в задачах о равновесии пластины с объемным включением приводит к задаче о пластине с тонким жестким включением. Исследован также случай отслоения тонкого жесткого включения - когда трещина в пластине расположена вдоль одного из берегов включения. В задаче о пластине с отслоившимся тонким включением на трещине задается нелинейное условие непроникания. Это условие имеет вид неравенства (типа Синьорини) и описывает взаимное непроникание противоположных берегов трещины. Для задачи с отслоившимся включением, при достаточной гладкости решения, установлена эквивалентность вариационной и дифференциальной формулировок. Также получены соотношения, описывающие контакт противоположных берегов трещины. Относительно каждой из рассмотренных вариационных задач установлена однозначная разрешимость.