Все выпуски

Рассматривается линейная нестационарная управляемая система с наблюдателем с локально интегрируемыми и интегрально ограниченными коэффициентами $$\dot x =A(t)x+ B(t)u, \quad x\in\mathbb{R}^n,\quad u\in\mathbb{R}^m,\quad t\geqslant 0, \qquad (1)$$ $$y =C^*(t)x, \quad y\in\mathbb{R}^p.\qquad (2)$$ Исследуется задача управления асимптотическими инвариантами системы, замкнутой посредством линейной нестационарной динамической обратной связи по выходу. Метод исследования, представленный в работе, базируется на построении системы асимптотической оценки состояния системы (1), (2), введенной Р. Калманом. Для решения задачи используется обобщение понятия равномерной полной управляемости по Калману, предложенное Е.Л. Тонковым для систем с коэффициентами из более широких функциональных классов. Дано определение равномерной полной наблюдаемости (в смысле Тонкова) для системы (1), (2). Для $n=2$ доказано, что свойство равномерной полной управляемости и равномерной полной наблюдаемости системы (1), (2) (в смысле Тонкова) с локально интегрируемыми и интегрально ограниченными коэффициентами является достаточным условием глобальной управляемости верхнего особого показателя Боля, а также характеристических показателей Ляпунова системы, замкнутой посредством линейной динамической обратной связи по выходу. Для доказательства используются установленные ранее результаты о равномерной глобальной достижимости двумерной системы (1), замкнутой линейной нестационарной статической обратной связью по состоянию, при условии равномерной полной управляемости (в смысле Тонкова) открытой системы (1).

Рассматривается линейная нестационарная управляемая система с локально интегрируемыми и интегрально ограниченными коэффициентами $$ \dot x =A(t)x+ B(t)u, \quad x\in\mathbb{R}^n,\quad u\in\mathbb{R}^m,\quad t\geqslant 0. \qquad\qquad (1)$$ Управление в системе $(1)$ строится по принципу линейной обратной связи $u=U(t)x$ с измеримой и ограниченной матричной функцией $U(t),$ $t\geqslant 0.$ Для замкнутой системы $$\dot x =(A(t)+B(t)U(t))x, \quad x\in\mathbb{R}^n, \quad t\geqslant 0, \qquad\qquad (2)$$ исследуется вопрос об условиях ее равномерной глобальной достижимости. Наличие последнего свойства у системы $(2)$ означает существование такой матричной функции $U(t),$ $t\geqslant 0,$ которая обеспечивает для матрицы Коши $X_U(t,s)$ этой системы выполнение равенств $X_U((k+1)T,kT)=H_k$ при фиксированном $T>0$ и произвольных $k\in\mathbb N,$ $\det H_k>0.$ Представленная задача решается в предположении равномерной полной управляемости системы $(1),$ соответствующей замкнутой системе $(2),$ т.е. при условии существования таких $\sigma>0$ и $\gamma>0,$ что при любых начальном моменте времени $t_0\geqslant 0$ и начальном состоянии $x(t_0)=x_0\in \mathbb{R}^n$ системы (1) на отрезке $[t_0,t_0+\sigma]$ найдется измеримое и ограниченное векторное управление $u=u(t),$ $\|u(t)\|\leqslant\gamma\|x_0\|,$ $t\in[t_0,t_0+\sigma],$ переводящее вектор начального состояния этой системы в ноль на данном отрезке. Доказано, что в двумерном случае, т.е. при $n=2,$ свойство равномерной полной управляемости системы $(1)$ является достаточным условием равномерной глобальной достижимости соответствующей системы $(2).$

Исследуются условия, при которых управляемая система ẋ = f(t, x, u), u ∈ U(t, x), вместе с замыканием множества сдвигов (относительно времени t) управляемой системы обладает свойством равномерной локальной или равномерной глобальной достижимости на заданном отрезке времени. Не предполагается, что функция (t, x) → U(t, x), задающая геометрические ограничения на допустимые управления u(t, x) ∈ U(t, x), имеет выпуклые компактные образы и не предполагается, что соответствующее управляемой системе дифференциальное включение имеет выпуклые образы.

Рассматривается линейная нестационарная управляемая система $$\dot x =A(t)x+ B(t)u, \quad x\in\mathbb{R}^n,\quad u\in\mathbb{R}^m,\quad t\in \mathbb{R}, \qquad \qquad (1)$$ с кусочно-непрерывными и ограниченными $\omega$-периодическими матрицами коэффициентов $A(\cdot)$ и $B(\cdot)$. Управление в системе (1) строится по принципу линейной обратной связи $u=U(t)x$ с кусочно-непрерывной и ограниченной матричной функцией $U(t)$, $t\in \mathbb{R}$. Для замкнутой системы $$\dot x =(A(t)+B(t)U(t))x, \quad x\in\mathbb{R}^n, \quad t\in \mathbb{R}, \qquad \qquad (2)$$ исследуется вопрос об условиях ее равномерной глобальной достижимости. Наличие последнего свойства у системы (2) означает существование такой матричной функции $U(t)$, $t\in \mathbb{R}$, которая обеспечивает для матрицы Коши $X_U(t,s)$ этой системы выполнение равенств $X_U((k+1)T,kT)=H_k$ при фиксированном $T>0$ и произвольных $k\in\mathbb{Z}$, $\det H_k>0$. Представленная задача решается в предположении равномерной полной управляемости (в смысле Калмана) системы (1), соответствующей замкнутой системе (2), т.е. при условии существования для системы (1) таких чисел $\sigma>0$ и $\alpha_i>0$, $i=\overline{1,4}$, что при всяких числе $t_0\in\mathbb{R}$ и векторе $\xi\in \mathbb{R}^n$ справедливы неравенства $$\alpha_1\|\xi\|^2\leqslant\xi^*\int\nolimits_{t_0}^{t_0+\sigma}X(t_0,s)B(s)B^*(s)X^*(t_0,s)\,ds\,\xi\leqslant\alpha_2\|\xi\|^2,$$ $$\alpha_3\|\xi\|^2\leqslant\xi^*\int\nolimits_{t_0}^{t_0+\sigma}X(t_0+\sigma,s)B(s)B^*(s)X^*(t_0+\sigma,s)\,ds\,\xi\leqslant\alpha_4 \|\xi\|^2,$$ в которых $X(t,s)$ - матрица Коши линейной системы (1) при $u(t)\equiv0.$ Доказано, что свойство равномерной полной управляемости (в смысле Калмана) периодической системы (1) является необходимым и достаточным условием равномерной глобальной достижимости соответствующей системы (2).

Рассматривается линейная нестационарная управляемая система с локально интегрируемыми и интегрально ограниченными коэффициентами

$$\dot x =A(t)x+ B(t)u, \quad x\in\mathbb{R}^n,\quad u\in\mathbb{R}^m,\quad t\geqslant 0. \qquad(1) $$

Управление в системе $(1)$ строится в виде линейной обратной связи $u=U(t)x$ с измеримой и ограниченной матричной функцией $U(t)$, $t\geqslant 0$. Для замкнутой системы

$$\dot x =(A(t)+B(t)U(t))x, \quad x\in\mathbb{R}^n, \quad t\geqslant 0, \qquad(2)$$

введено понятие равномерной глобальной квазидостижимости, которое является ослаблением равномерной глобальной достижимости - свойства системы $(2)$, позволяющего за счет выбора функции $U(t)$, $t\geqslant 0$, для матрицы Коши $X_U(t,s)$ этой системы обеспечить выполнение равенств $X_U((k+1)T,kT)=H_k$ при фиксированном $T>0$ и произвольных $k\in\mathbb N$, $\det H_k>0$. Доказано, что из равномерной глобальной квазидостижимости системы $(2)$ следует глобальная скаляризуемость этой системы, то есть существование для произвольной наперед заданной локально интегрируемой и интегрально ограниченной скалярной функции $p=p(t)$, $t\geqslant0$, такой измеримой и ограниченной матричной функции $U=U(t)$, $t\geqslant0$, при которой система $(2)$ асимптотически эквивалентна системе скалярного типа $\dot z=p(t)z$, $z\in\mathbb{R}^n,\ t\geqslant0$.