Все выпуски

Изучается задача о малых движениях идеальной стратифицированной жидкости со свободной поверхностью, частично покрытой упругим льдом. Упругий лед моделируется упругой пластиной. Задача исследуется на основе подхода, связанного с применением так называемой теории операторных матриц. С этой целью вводятся гильбертовы пространства и некоторые их подпространства, а также вспомогательные краевые задачи. Начальная краевая задача сведена к задаче Коши для дифференциального уравнения второго порядка в некотором гильбертовом пространстве. После подробного изучения свойств операторных коэффициентов, отвечающих возникшей системе уравнений, доказывается теорема о сильной разрешимости полученной задачи Коши на конечном интервале времени. На этой основе доказана также теорема о существовании решения и исходной начально-краевой задачи.

Мы исследуем эволюцию осесимметричного двухслойного медленного течения вязкой жидкости со свободной границей, которое создается начальным рельефом границ слоев и скоростями на нижней границе. Каждый слой имеет постоянную плотность и вязкость. Предполагается, что верхний слой имеет меньшую плотность, чем нижний. На основе уравнений Рейнольдса построена система нелинейных параболических уравнений относительно поверхности и границы раздела слоев для описания этого течения. Принимая безразмерный скачок плотностей между слоями как малый параметр, мы применяем метод асимптотических разложений, чтобы выделить главное приближение для медленной эволюции уравнений движения на больших временах. Получено асимптотическое уравнение, связывающее смещения поверхности и границы раздела слоев со скоростями на нижней границе. На основе этого уравнения разработан алгоритм для расчета полей скоростей в слоях на больших временах. Для наглядного представления течения используются линии тока. Численные результаты показали устойчивость линий тока в верхнем слое при вариации скорости на нижней границе. В качестве геофизических приложений разработанный алгоритм используется для количественной оценки поля скоростей в коре под крупномасштабными кольцевыми структурами на Луне (верхний слой), создаваемого глубинными движениями в подстилающей мантии (нижний слой). Чтобы подтвердить достоверность результатов моделирования, мы сопоставляем рассчитанные поля скоростей с системами хребтов кольцевых структур, полученных из экспериментальных наблюдений. Модельное сравнение показало пространственную близость радиусов кольцевых хребтов и особых точек скорости течения на поверхности.

Разработана осесимметрическая модель на основе упрощенных уравнений вязкой жидкости для исследования двухслойного течения со свободной границей, создаваемого подъемом жесткого блока фундамента. Получено численное решение полной нелинейной системы и выполнен анализ малых возмущений движения границ слоев. Основной результат заключается в том, что кольцевая структура образуется на поверхности жидкости, если плотность нижнего слоя больше, чем у верхнего. Предлагаемая модель может представлять интерес для геофизики при изучении процесса образования крупномасштабных кольцевых структур на поверхности Земли и других планет.

На закруглениях речного русла формируются вторичные поперечные течения. В зависимости от геометрии русла вторичных течений в створе может быть несколько, и они могут иметь различный масштаб. Даже малое вторичное поперечное течение влияет на параметры гидродинамического потока и это влияние необходимо учитывать при моделировании русловых процессов и исследовании береговых деформаций русла. Трехмерное моделирование таких разномасштабных процессов требует больших вычислительных затрат и на текущий момент возможно только для небольших модельных каналов. Поэтому для исследования береговых процессов в данной работе предложена модель пониженной размерности. Выполненная редукция задачи от трехмерной модели движения речного потока к двумерной модели потока в плоскости створа канала предполагает, что рассматриваемый гидродинамический поток является квазистационарным и для него выполнены гипотезы об асимптотическом поведении потока по потоковой координате створа. С учетом данных ограничений в работе сформулирована математическая модель задачи о движении стационарного турбулентного спокойного речного потока в створе канала. Задача сформулирована в смешанной постановке скорости–вихрь–функция тока. В качестве дополнительных условий для редукции задачи требуется задание граничных условий на свободной поверхности потока для поля скорости, определяемого в нормальном и касательном направлении к оси створа. Предполагается, что значения данного поля скорости должно быть определено из решения вспомогательных задач или получено из данных натурных или экспериментальных измерений. Для численного решения сформулированной задачи используется метод конечных элементов в формулировке Петрова–Галеркина. В работе получен дискретный аналог задачи и предложен алгоритм ее решения. Выполненные численные исследования показали в целом хорошую согласованность полученных решений с известными экспериментальными данными. Погрешности численных результатов авторы связывают с необходимостью более точного определения радиальной компоненты поля скорости в створе потока путем подбора и калибровки более подходящей модели вычисления турбулентной вязкости и более точного определения граничных условий на свободной границе створа.

На основе упрощенных уравнений Навье-Стокса в длинноволновом приближении построена нелинейная модель двухслойного течения вязкой жидкости со свободной границей, создаваемого начальным рельефом границ слоев. Используя метод малого параметра, исследуется эволюция течения на больших временах и определяется зависимость между движением поверхности и границы раздела жидкости. Полученные результаты применяются для расчета профиля границы кора-мантия под крупномасштабной кольцевой структурой на Луне.

Приводится постановка нелинейной краевой задачи о распространении волн по свободной поверхности слабовязкой жидкости. Решение задачи находится методом переменной во времени частоты, являющимся обобщением метода Стокса для диссипативных волновых процессов. Найдено асимптотическое решение с точностью третьего приближения по волновому параметру. Показано, что частота и декремент затухания нелинейной волны с течением времени стремятся к значениям, соответствующим линейной задаче. Определены нелинейные траектории жидких частиц, а также выражение переносной скорости Стокса в слабовязкой жидкости.

Работа посвящена моделированию ползущего движения вязкоупругой жидкости со свободной поверхностью, реализующейся при входе полимерной жидкости в формующий канал и выходе из него.  Движение жидкости описывается  уравнениями сохранения массы, импульса и энергии, дополненное определяющим реологическим уравнением состояния среды Гиезекуса. На основе метода конечных элементов разработан устойчивый численный алгоритм решения задачи. Проведены численные исследования по определению формы выходной струи для различных режимов течения и формы насадки. Исследована картина распределения скоростей жидкости, давления, напряжений и температуры при увеличении степени нагрева стенки формующего канала. Получены численные результаты зависимости эффекта разбухания полимерной жидкости от параметров реологической модели и температурных факторов.

Рассматривается движение частиц вязкой несжимаемой жидкости, вызванное распространением по свободной поверхности волны малой амплитуды. Получены уравнения движения жидких частиц при наличии бегущей или стоячей волны на поверхности бесконечно глубокого слоя. При распространении бегущей волны траектории имеют вид спирали, центр которой соответствует состоянию покоя. Влияние вязкости проявляется как в уменьшении амплитуды колебаний со временем, так и в отличии формы траекторий частиц, находящихся вблизи свободной поверхности и при заглублении. В случае стоячей волны движение каждой частицы происходит по отрезкам, длина которых с течением времени уменьшается. Направление движения изменяется от вертикального в пучностях до горизонтального в узлах.

Рассматривается плоская задача о движении кругового цилиндра с переменным радиусом в идеальной, несжимаемой, тяжелой жидкости. Предполагается, что начальное возмущение жидкости вызвано вертикальным и безотрывным ударом цилиндра, полупогруженного в жидкость. Особенностью этой задачи является то, что при определенных условиях (например, при быстром торможении цилиндра или при быстром уменьшении его радиуса), происходит отрыв жидкости от тела, в результате которого вблизи его поверхности образуются присоединенные каверны. Формы внутренних свободных границ и конфигурация внешней свободной границы заранее неизвестны и подлежат определению в ходе решения задачи. Формулируется нелинейная задача с односторонними ограничениями, на основе которой определяется связность зоны отрыва, а также формы свободных границ жидкости на малых временах. В случае когда давление на внешней свободной поверхности совпадает с давлением в каверне, строится аналитическое решение задачи. Для определения одной из двух симметричных точек отрыва получено трансцендентное уравнение, содержащее полный эллиптический интеграл первого рода и элементарные функции. При кавитационном торможении недеформируемого цилиндра найдена явная формула для внутренней свободной границы жидкости на малых временах. Показано хорошее согласование аналитических результатов с прямыми численными расчетами.

Рассмотрена нелинейная задача о волнах на свободной поверхности двухфазной среды. Для ее решения предложен асимптотический метод, с помощью которого найдено решение с точностью третьего приближения. Определены траектории частиц несущей и дисперсной фазы, а также нелинейные волновые эффекты.