Все выпуски

Рассматриваются структурные, аппроксимативные и спектральные свойства нётеровых операторов индекса n и (−n), действующих между банаховыми пространствами B и D, где D изоморфно прямой сумме пространства B и конечномерного пространства E размерности n. Раскрыта роль теоремы С.М. Никольского о фредгольмовом операторе в изучении указанных свойств, а также в вопросе разрешимости уравнений с краевыми неравенствами. В случае сепарабельного гильбертова пространства B для однозначно разрешимых краевых задач предлагается основанная на разложении Э. Шмидта компактного оператора схема дискретизации, которая позволяет применить абстрактный вариант теоремы Рябенького–Филиппова о связи аппроксимации, устойчивости и сходимости.

В настоящей работе мы изучаем спектральную задачу для дифференциального оператора второго порядка с инволюцией и с краевыми условиями типа Дирихле. Построена функция Грина изучаемой краевой задачи. Получены равномерные оценки функций Грина рассматриваемых краевых задач. Установлена равносходимость разложений произвольной функции из класса $L_{1}(-1,1)$ по собственным функциям двух дифференциальных операторов второго порядка с инволюцией с краевыми условиями типа Дирихле. Мы используем интегральный метод, основанный на функции Грина дифференциального оператора второго порядка с инволюцией и со спектральным параметром. Как следствие из доказанной теоремы о равносходимости разложений по собственным функциям, мы доказываем базисность в пространстве $L_{2}(-1,1)$ собственных функций спектральной задачи с непрерывным комплекснозначным коэффициентом $q(x).$

В настоящей работе исследуется двумерная краевая задача типа Стеклова для оператора Ламэ в полуполосе, которая является предельной для сингулярно возмущенной краевой задачи в полуполосе с малым отверстием. Доказана теорема о существовании собственных элементов исследуемой краевой задачи. В частности, получены оценки для собственных значений, выраженные через постоянные Ламэ и параметр, определяющий ширину полуполосы, а также уточнена структура соответствующих собственных вектор-функций, определяющая их поведение при удалении от основания полуполосы. Более того, найдены явные выражения собственных значений предельной краевой задачи с точностью до решения системы алгебраических уравнений. Результаты, полученные в данной работе, позволят построить и строго обосновать асимптотическое разложение собственного значения сингулярно возмущенной краевой задачи в полуполосе с малым отверстием с точностью до степени малого параметра, характеризующего размер отверстия.

В данной работе изучены непрерывные случайные процессы с нечеткими состояниями. Установлены свойства их числовых характеристик — нечетких ожиданий, ожиданий и ковариационных функций. Основное внимание уделено классу стационарных нечетко-случайных процессов. Для них обосновано свойство эргодичности и спектральное представление ковариационной функции (обобщенная теорема Винера–Хинчина). Полученные результаты опираются на свойства нечетко-случайных величин и числовых случайных процессов. В качестве примеров рассмотрены треугольные нечетко-случайные процессы.

В данной статье для одного уравнения смешанного типа четвертого порядка, вырождающегося внутри и на границе области, в прямоугольной области сформулирована и исследована нелокальная начально-граничная задача. С помощью применения метода разделения переменных получена спектральная задача для обыкновенного дифференциального уравнения. Построена функция Грина последней задачи, с помощью чего она эквивалентно сведена к интегральному уравнению Фредгольма второго рода с симметричным ядром, откуда следует существование собственных значений и система собственных функций спектральной задачи. Доказана теорема разложения заданной функции в равномерно сходящийся ряд по системе собственных функций. С помощью найденного интегрального уравнения и теоремы Мерсера доказана равномерная сходимость некоторых билинейных рядов, зависящих от найденных собственных функций. Установлен порядок коэффициентов Фурье. Решение изучаемой задачи выписано в виде суммы ряда Фурье по системе собственных функций спектральной задачи. Получена оценка для решения задачи, откуда следует его непрерывная зависимость от заданных функций.