Все выпуски

Данная работа посвящена постановке и исследованию однозначной разрешимости краевых задач (типа задачи Дарбу, задачи Трикоми) для нагруженного интегро-дифференциального уравнения третьего порядка с гиперболическим и параболо-гиперболическим оператором. Существование и единственность решения краевой задачи доказана методом интегральных уравнений. Задачи эквивалентным образом сводятся к интегральным уравнениям Вольтерра со сдвигом. При достаточных условиях на заданные функции и коэффициенты доказывается однозначная разрешимость полученных интегральных уравнений.

Изучается одна краевая задача для дифференциального уравнения с частными производными четвертого порядка с младшим членом в прямоугольной области. Для решения задачи получена априорная оценка решения, из которой следует единственность решения задачи. Для доказательства существования решения задачи применяется метод разделения переменных. Разрешимость задачи сводится к интегральному уравнению Фредгольма второго рода относительно искомой функции, которое решается методом последовательных приближений. Найдены достаточные условия, обеспечивающие абсолютную и равномерную сходимость ряда, представляющего решение задачи, и рядов, полученных из него дифференцированием четыре раза по x и два раза по t.

Новизна в том, что лицо, принимающее решение (ЛПР) в многокритериальной задаче при неопределенности, стремится не только по возможности увеличить гарантированные значения каждого из своих критериев, но и одновременно уменьшить гарантированные риски, сопровождающие такое увеличение. Предлагаемое исследование выполнено на стыке теории многокритериальных задач (МЗ) и принципа минимаксного сожаления (риска) (ПМС) Сэвиджа-Ниханса: из теории МЗ использованы понятие слабо эффективной оценки и сопровождающая теорема Ю.Б. Гермейера, а из ПМС - оценка значения функции сожаления в качестве риска по Сэвиджу-Нихансу. Рассмотрение ограничено интервальными неопределенностями: о них ЛПР известны лишь границы изменения, а какие-либо вероятностные характеристики отсутствуют (по тем или иным причинам). Введено новое понятие - сильно гарантированного по исходам и рискам решения (СГИР), максимального по Слейтеру; установлено его существование при «привычных» для математического программирования ограничениях (непрерывность критериев, компактность множеств стратегий и неопределенностей). В качестве приложения найден явный вид СГИР в задаче диверсификации вклада по рублевому и валютному депозитам.

Рассмотрено применение барицентрического метода для численного решения задач Дирихле и Неймана для уравнения Гельмгольца в ограниченной односвязной области $\Omega\subset\mathbb{R}^2$. Основное допущение в решении заключается в задании границы $\Omega$ в кусочно-линейном представлении. Отличительная особенность барицентрического метода состоит в порядке формирования глобальной системы векторных базисных функций для $\Omega$ через барицентрические координаты. Установлены существование и единственность решения задач Дирихле и Неймана для уравнения Гельмгольца барицентрическим методом и определена оценка скорости сходимости. Уточнены особенности алгоритмической реализации метода.

Рассматривается нелокальная граничная задача для управляемой системы с обратной связью, описываемой полулинейным функционально-дифференциальным включением дробного порядка с бесконечным запаздыванием в сепарабельном банаховом пространстве. Приводится общий принцип существования решений задачи в терминах отличия от нуля топологической степени соответствующего векторного поля. Доказывается конкретный пример (теорема 6) реализации этого общего принципа. Доказывается существование оптимального решения поставленной задачи, минимизирующего заданный полунепрерывный снизу функционал качества.

Рассматривается задача с данными на характеристиках для нагруженной системы гиперболических уравнений второго порядка в прямоугольной области. Исследуются вопросы существования и единственности классического решения рассматриваемой задачи, а также непрерывной зависимости решения от исходных данных. Предлагается новый подход к решению задачи с данными на характеристиках для нагруженной системы гиперболических уравнений второго порядка на основе введения новых функций. Путем введения новых неизвестных функций задача сводится к эквивалентному семейству задач Коши для нагруженной системы дифференциальных уравнений с параметрами и интегральным соотношениям. Предложен алгоритм нахождения приближенного решения эквивалентной задачи и доказана его сходимость. Установлены условия однозначной разрешимости задачи с данными на характеристиках для нагруженной системы гиперболических уравнений второго порядка в терминах коэффициентов системы.

Дифференциальные включения типа среднего поля возникают в рамках теории управления средним полем при овыпуклении правой части. Мы исследуем случай, когда правая часть дифференциального включения зависит от положения агента и от распределения всех агентов полунепрерывно. Основной результат статьи состоит в доказательстве существования и стабильности решений дифференциальных включений типа среднего поля. Также мы показываем полунепрерывную снизу зависимость функции цены задачи оптимального управления средним полем от начального состояния и параметра.

В статье исследуются прямая и обратная задачи для уравнений субдиффузии с участием дробной производной в смысле Хильфера. В качестве эллиптической части уравнения взят произвольный положительный самосопряженный оператор $A$. В частности, в качестве оператора $A$ можно взять оператор Лапласа с условием Дирихле. Сначала доказано существование и единственность решения прямой задачи. Затем с помощью представления решения прямой задачи доказывается существование и единственность обратной задачи нахождения правой части уравнения, зависящей только от пространственной переменной.

В статье изучается существование положительных решений на отрезке $[0,1]$ двухточечной краевой задачи для одного нелинейного функционально-дифференциального уравнения третьего порядка с интегральным граничным условием на одном из концов отрезка. С помощью теоремы Го–Красносельского о неподвижной точке, с использованием некоторых свойств функции Грина соответствующего дифференциального оператора, получены достаточные условия существования по меньшей мере одного положительного решения рассматриваемой задачи. Приведен пример, иллюстрирующий полученные результаты.

На основе модели Колмогорова «хищник–жертва» предложена система для описания динамики трех видов: жертвы $x(t)$, потребляющего её хищника $y(t)$ и суперхищника $z(t)$, питающегося обоими видами. Учтена нелинейная зависимость от численности жертв коэффициентов роста всех трех видов, правая часть системы дифференциальных уравнений первого порядка содержит 10 вещественных коэффициентов. Аналитически найдены условия на параметры суперхищника, при которых система является косимметричной и возникает однопараметрическое семейство решений дифференциальных уравнений. Мультистабильность реализуется в виде семейств равновесий и периодических решений (предельных циклов). Каждое решение может быть получено из начальных данных, принадлежащих соответствующему бассейну. Наличие нуля в спектре устойчивости равновесий и близких к единице двух мультипликаторов для предельных циклов подтверждает теоретические выводы о существовании континуума решений. При нарушении соотношений на параметры системы происходит разрушение семейств решений и возникает конечное число изолированных равновесий и предельных циклов. В такой ситуации динамический процесс установления равновесия или выхода на изолированный предельный цикл может занимать много времени. При этом динамика происходит в окрестности семейства, исчезнувшего в результате разрушения косимметрии, то есть сохраняется память системы о семействе.