Все выпуски

Рассматриваются пространства, всякие подпространства которых компактны. Будем называть такие пространства наследственно компактными. В работе рассматриваются вопросы о существовании и способах построения наследственно компактных T₁-топологий. Доказано существование 2^τ попарно несравнимых наследственно компактных T₁-топологий на бесконечном множестве X мощности τ. Получены характеристики наследственно компактных пространств. Доказано, что тихоновское произведение конечного числа наследственно компактных T₁-пространств является наследственно компактным T₁-пространством. Доказано, что тихоновское произведение бесконечного числа неодноточечных наследственно компактных T₁-пространств не является наследственно компактным.

По теореме Хьюитта–Марчевского–Пондишери тихоновское произведение $2^\omega$ сепарабельных пространств сепарабельно. Мы продолжаем исследовать проблему существования в тихоновском произведении $\prod\limits_{\alpha\in 2^\omega}X_\alpha$ сепарабельных пространств плотного счетного подмножества, не содержащего нетривиальных сходящихся последовательностей. Мы говорим, что последовательность $\lambda=\{x_n\colon n\in\omega\}$ является простой, если для каждого $x_n\in\lambda$ множество $\{n'\in\omega\colon x_{n'}=x_n\}$ конечно. Мы доказываем, что в произведении $\{Z_\alpha\colon\alpha\in 2^\omega\}$ сепарабельных пространств, где всякое $Z_\alpha$ $(\alpha\in\omega)$ содержит простую несходящуюся последовательность, есть счетное плотное множество $Q\subseteq\prod\limits_{\alpha\in 2^\omega}Z_\alpha$, которое не содержит нетривиальных сходящихся в $\prod\limits_{\alpha\in 2^\omega}Z_\alpha$ последовательностей.