Все выпуски

Рассматривается вопрос о существовании рекуррентных и почти рекуррентных сечений многозначных отображений R ∋ t → F(t) ∈ compU с непустыми компактными образами F(t) в полном метрическом пространстве U. На множестве compU вводится метрика Хаусдорфа dist. Рекуррентные и почти рекуррентные многозначные отображения определяются как функции со значениями в метрическом пространстве (compU, dist). Доказано существование рекуррентных (почти рекуррентных) сечений многозначных рекуррентных (соответственно, почти рекуррентных) равномерно абсолютно непрерывных отображений. Рассматриваются также отображения R ∋ t → F(t), образы которых состоят из конечного числа точек (зависящего от t). Доказано, что если такое отображение почти рекуррентно, то у него существует почти рекуррентное сечение. Многозначное рекуррентное отображение, образы F(t) которого для всех t ∈ R состоят не более чем из n точек (где n ∈ N), имеет рекуррентное сечение. Если образы многозначного рекуррентного (почти рекуррентного) отображения t → F(t) при всех t ∈ R состоят из n точек, то все n непрерывных сечений отображения F рекуррентны (почти рекуррентны).

Работа посвящена изучению наилучших равномерных рациональных приближений (НРРП) непрерывных функций на компактных, в том числе конечных, подмножествах числовой оси $\mathbb{R}$. Показано, что НРРП на конечном множестве существует не всегда. Более подробно изучен алгоритм Гельмута Вернера поиска НРРП вида $P_m/Q_n = \sum\limits_{i=0}^m a_i x^i \big/ \sum\limits_{j=0}^n b_j x^j$ для функций на множестве из $N=m+n+2$ точек $x_1<\ldots<x_N$. Этот алгоритм может использоваться в алгоритме Ремеза поиска НРРП на отрезке. При работе алгоритма Вернера вычисляется $(n+1)$ вещественное собственное значение $h_1,\ldots,h_{n+1}$ для пучка матриц $A-hB$, где $A$ и $B$ - некоторые симметричные матрицы. Каждому собственному значению сопоставляется своя рациональная дробь вида $P_m/Q_n$, являющаяся кандидатом на наилучшее приближение. Поскольку не более одной из этих дробей свободны от полюсов на отрезке $[x_1, x_N]$, то возникает задача отыскания того собственного значения, которому соответствует рациональная дробь без полюсов. В работе показано, что если $m=0$, все значения $f(x_1),-f(x_2),\ldots,(-1)^{n+2} f(x_{n+2})$ различны и НРРП положительно (отрицательно) во всех точках $x_1,\ldots,x_{n+2}$, то это собственное значение занимает $[(n+2)/2]$-е ($[(n+3)/2]$-е) место по величине. Приведены три численных примера, иллюстрирующих это утверждение.

Новизна в том, что лицо, принимающее решение (ЛПР) в многокритериальной задаче при неопределенности, стремится не только по возможности увеличить гарантированные значения каждого из своих критериев, но и одновременно уменьшить гарантированные риски, сопровождающие такое увеличение. Предлагаемое исследование выполнено на стыке теории многокритериальных задач (МЗ) и принципа минимаксного сожаления (риска) (ПМС) Сэвиджа-Ниханса: из теории МЗ использованы понятие слабо эффективной оценки и сопровождающая теорема Ю.Б. Гермейера, а из ПМС - оценка значения функции сожаления в качестве риска по Сэвиджу-Нихансу. Рассмотрение ограничено интервальными неопределенностями: о них ЛПР известны лишь границы изменения, а какие-либо вероятностные характеристики отсутствуют (по тем или иным причинам). Введено новое понятие - сильно гарантированного по исходам и рискам решения (СГИР), максимального по Слейтеру; установлено его существование при «привычных» для математического программирования ограничениях (непрерывность критериев, компактность множеств стратегий и неопределенностей). В качестве приложения найден явный вид СГИР в задаче диверсификации вклада по рублевому и валютному депозитам.

В работе рассматриваются вопросы, связанные со сходящимися последовательностями в $T_1$-пространствах. Свойства $T_1$-пространств, в том числе и сходимость последовательностей в них, отличаются от аналогичных свойств хаусдорфовых пространств, в частности, предел сходящейся последовательности может быть не единствен. Наиболее ярко эти особенности демонстрирует минимальное $T_1$-пространство. В работе рассматриваются вопросы, порожденные свойствами минимального $T_1$-пространства. Рассматриваются свойства пространств, в которых всякая последовательность является сходящейся (теоремы 1 и 2 и пример 1). Одной из основных является проблема связи между сходимостью последовательностей и свойствами подпространств. Хорошо известно, что компактность, счетная компактность и секвенциальная компактность не эквивалентны в общем случае. Однако, доказано (теорема 7), что наследственные секвенциальная компактность, счетная компактность и компактность эквивалентны.

Рассматриваются пространства, всякие подпространства которых компактны. Будем называть такие пространства наследственно компактными. В работе рассматриваются вопросы о существовании и способах построения наследственно компактных T₁-топологий. Доказано существование 2^τ попарно несравнимых наследственно компактных T₁-топологий на бесконечном множестве X мощности τ. Получены характеристики наследственно компактных пространств. Доказано, что тихоновское произведение конечного числа наследственно компактных T₁-пространств является наследственно компактным T₁-пространством. Доказано, что тихоновское произведение бесконечного числа неодноточечных наследственно компактных T₁-пространств не является наследственно компактным.

Рассматриваются кардинально-значные характеристики $T_1$-пространств и их взаимосвязи. Доказано, что для самосопряженных $T_1$-пространств, то есть пространств, в которых множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно компактно, выполняется неравенство $t(X)\leqslant\psi(X)$, где $t(X)$ - теснота, $\psi(X)$ - псевдохарактер пространства $X$. Показано, что в общем случае в компактных $T_1$-пространствах связь между теснотой и псевдохарактером не существует. Приведен пример компактного $T_1$-пространства $X$ такого, что $t(X)>\omega$ и $\psi(X) =\omega$, и приведен пример $T_1$-пространства $X$ такого, что $t(X)=\omega$ и $\psi(X) >\omega$.

В данной статье исследуются специфические особенности соотношений между топологической и алгебраической структурами квазигрупп и луп. Исследуется измеримость подмножеств топологических квазигрупп и луп относительно инвариантных мер. Изучается семейство неизмеримых подмножеств в локально компактных недискретных лупах. Выясняется существование локально $\mu$-нулевых подмножеств, не являющихся $\mu$-нулевыми, в локально компактной левой квазигруппе, не являющейся $\sigma$-компактной. Исследуются факторпространства измеримых пространств на квазигруппах. Более того, изучаются однородные пространства квазигрупп, а также счетная отделимость подмножеств в них.

Рассматривается динамическая система сдвигов в пространстве ℜ непрерывных функций, принимающих значения в полном метрическом пространстве (clos(Rⁿ), ρ_cl)
непустых замкнутых подмножеств в Rⁿ. Расстояние между функциями в этом пространстве определяется с помощью аналога метрики Бебутова в пространстве вещественных функций, определенных и непрерывных на всей числовой оси. Показано, что для компактности замыкания траектории точки в ℜ достаточно, чтобы исходная функция была ограничена и равномерно непрерывна в метрике ρ_cl. Как следствие, доказано, что замыкание траектории рекуррентного движения или траектории почти периодического движения в ℜ компактно.

Рассматриваются структурные, аппроксимативные и спектральные свойства нётеровых операторов индекса n и (−n), действующих между банаховыми пространствами B и D, где D изоморфно прямой сумме пространства B и конечномерного пространства E размерности n. Раскрыта роль теоремы С.М. Никольского о фредгольмовом операторе в изучении указанных свойств, а также в вопросе разрешимости уравнений с краевыми неравенствами. В случае сепарабельного гильбертова пространства B для однозначно разрешимых краевых задач предлагается основанная на разложении Э. Шмидта компактного оператора схема дискретизации, которая позволяет применить абстрактный вариант теоремы Рябенького–Филиппова о связи аппроксимации, устойчивости и сходимости.

В работе рассматривается задача Коши для системы квазилинейных уравнений первого порядка специального вида. Система представлена в симметричном виде, фазовая переменная n-мерная. Рассматриваемая задача Коши получается из задачи Коши для одного уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана с помощью операции дифференцирования этого уравнения и краевого условия по переменной x_i. Предполагается, что гамильтониан и начальное условие принадлежат классу непрерывно дифференцируемых функций. Гамильтониан является выпуклым по сопряженной переменной.

В работе предложен новый подход к определению обобщенного решения системы квазилинейных уравнений первого порядка. Обобщенное решение рассматривается в классе многозначных функций с выпуклыми компактными значениями. Доказаны теоремы существования, единственности и устойчивости решения по начальным данным. Получено полугрупповое свойство для введенного обобщенного решения. Показано, что потенциал для обобщенного решения системы квазилинейных уравнений совпадает с единственным минимаксным/вязкостным решением соответствующей задачи Коши для уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана, а в точках дифференцируемости минимаксного решения его градиент совпадает с обобщенным решением исходной задачи Коши. На основе этой связи получены свойства обобщенного решения задачи Коши для системы квазилинейных уравнений. В частности, показано, что введенное обобщенное решение совпадает с супердифференциалом минимаксного решения соответствующей задачи Коши и однозначно почти всюду.

С помощью характеристик уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана описана структура множества точек, в которых минимаксное решение недифференцируемо.

Показано, что свойство обобщенного решения для одного квазилинейного уравнения со скалярной фазовой переменной, введенное О.А. Олейник, может быть распространено на случай рассматриваемой системы квазилинейных уравнений.