Все выпуски

Данная статья является продолжением работ Л.И. Родиной и Е.Л. Тонкова, в которых введено расширение понятия инвариантности множеств относительно управляемых систем и дифференциальных включений. Это расширение состоит в исследовании множеств, которые не являются инвариантными в «классическом» смысле, но обладают свойством статистической инвариантности, а также в изучении статистических характеристик множества достижимости управляемой системы.

В данной работе рассматриваются характеристики, связанные с инвариантностью заданного множества M(σ) относительно управляемой системы, которые отражают свойство равномерности пребывания множества достижимости системы в множестве M(σ) на конечном промежутке времени. Для управляемой системы со случайными коэффициентами получены оценки этих характеристик, выраженные в терминах функций Ляпунова, производной в силу дифференциального включения и динамической системы сдвигов. В частности, получены оценки, выполненные с вероятностью единица, для характеристик управляемой системы, которую будем называть системой с переключениями. Данную систему можно отождествить со стационарным случайным процессом, множество состояний которого конечно; для него заданы начальное вероятностное распределение и вероятности нахождения в каждом состоянии; длины промежутков между моментами переключения системы с одного состояния на другое являются случайными величинами с заданной функцией распределения. Рассматривается пример оценки исследуемых характеристик для линейной управляемой системы с переключениями.

Данная работа посвящена исследованию инвариантных множеств управляемых систем с импульсными воздействиями, параметризованных метрической динамической системой. Такими системами описываются различные стохастические модели популяционной динамики, экономики, квантовой электроники и механики. Получены условия существования инвариантных множеств для множества достижимости системы и условия асимптотического приближения решений системы к заданному множеству. Результаты работы проиллюстрированы на примерах развития популяции, подверженной промыслу, когда моменты и размеры промысловых заготовок являются случайными величинами. Для данных моделей исследованы различные динамические режимы развития, которые существенно отличаются от режимов детерминированных моделей и более полно отображают процессы, происходящие в реальных экологических системах. Получены условия, при которых размер популяции находится в заданном множестве, и условия асимптотического вырождения популяции с вероятностью единица, также приведены оценки для математического ожидания и дисперсии времени вырождения популяции.

Разработана новая вероятностная модель, которая применяется для описания динамики роста изолированной популяции. Найдены условия асимптотического вырождения с вероятностью единица для популяции, развитие которой задано управляемой системой со случайными коэффициентами, получены также условия существования управления, приводящего популяцию к вырождению. Исследуется динамический режим развития популяции, находящейся на грани исчезновения; это означает, что с вероятностью единица размер данной популяции окажется меньше минимального критического значения, после которого биологическое восстановление популяции невозможно. Результаты работы проиллюстрированы на примере развития двуполой популяции.