Все выпуски

В работе рассматривается дифференциальное уравнение типа Эмдена-Фаулера второго порядка с отрицательными потенциалом $y'' - p(x, y, y') |y|^k \text{ sgn } y=0$ в случае регулярной нелинейности $k>1$. Предполагается, что функция $p(x, u, v)$ положительна, непрерывна по $x$ и удовлетворяет условию Липшица по последним двум аргументам. Исследуется асимптотическое поведение максимально продолженных решений рассматриваемого уравнения. Изучается случай неограниченной сверху и отделенной от нуля снизу функции $p(x, u, v)$. Получены условия существования вертикальной асимптоты у всех нетривиальных максимально продолженных решений уравнения. Кроме того, получены достаточные условия, при которых все нетривиальные максимально продолженные решения уравнения обладают свойством $\displaystyle \lim_{x \to a} |y'(x)| = +\infty$, $\displaystyle \lim_{x \to a} |y(x)| < + \infty$, где $a$ - граничная точка области определения.

Автономные нелинейные дифференциальные уравнения представляют собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений, которые часто применяются в различных областях механики, квантовой физики, химического машиностроения, физики и прикладной математики. Здесь рассматриваются автономные нелинейные дифференциальные уравнения второго порядка ${u}''({x}) - {u}'({x}) = {f}[{u}({x})]$ и ${u}''({x}) + {f}[{u}({x})]{u}'({x}) + {u}({x}) = 0$ на промежутке $[-1, 1]$ с заданными граничными значениями ${u}[-1]$ и ${u}[1]$. Для решения этих задач используется псевдоспектральный метод, основанный на матрице дифференцирования Чебышева с точками Чебышева-Гаусса-Лобатто. Для нахождения приближенных решений построены две новые итерационные процедуры. В этой статье был использован язык программирования Mathematica версии 10.4 для представления алгоритмов, численных результатов и рисунков. В качестве примера численного моделирования исследовано известное уравнение Ван дер Поля и получены хорошие результаты. Впоследствии возможно применение полученных результатов к другим нелинейным системам, таким как уравнения Рэлея, уравнения Льенара и уравнения Эмдена-Фаулера.

В работе рассматриваются нелинейные дифференциальные уравнения $n$-го порядка с младшей производной. При помощи принципа сжимающих отображений исследуется асимптотическая эквивалентность решений этих уравнений в случае экспоненциальной эквивалентности их правых частей. Полученные достаточные условия асимптотической эквивалентности решений являются продолжением и обобщением результатов, изложенных в предыдущих работах автора. Приводится результат, описывающий асимптотическое поведение всех стремящихся к нулю на бесконечности решений дифференциального уравнения второго порядка с регулярной нелинейностью типа Эмдена-Фаулера и нулевой правой частью, возникающего при исследовании квазилинейных эллиптических уравнений. На его основе описывается асимптотическое поведение решений соответствующего уравнения с ненулевой правой частью.

Рассматриваются дифференциальные уравнения типа Эмдена-Фаулера второго порядка с регулярной нелинейностью и ограниченным отрицательным потенциалом, зависящим от независимой переменной, решения и его производной. Приведены результаты о существовании асимптот у нетривиальных решений и оценки расстояний до асимптот решений справа и слева от начальной точки, показана непрерывная зависимость положений асимптот нетривиальных решений от начальных данных. Также доказано существование решений уравнения с произвольной наперед заданной областью определения.