Все выпуски

В работе рассматривается дифференциальное уравнение типа Эмдена-Фаулера второго порядка с отрицательными потенциалом $y'' - p(x, y, y') |y|^k \text{ sgn } y=0$ в случае регулярной нелинейности $k>1$. Предполагается, что функция $p(x, u, v)$ положительна, непрерывна по $x$ и удовлетворяет условию Липшица по последним двум аргументам. Исследуется асимптотическое поведение максимально продолженных решений рассматриваемого уравнения. Изучается случай неограниченной сверху и отделенной от нуля снизу функции $p(x, u, v)$. Получены условия существования вертикальной асимптоты у всех нетривиальных максимально продолженных решений уравнения. Кроме того, получены достаточные условия, при которых все нетривиальные максимально продолженные решения уравнения обладают свойством $\displaystyle \lim_{x \to a} |y'(x)| = +\infty$, $\displaystyle \lim_{x \to a} |y(x)| < + \infty$, где $a$ - граничная точка области определения.

In this paper we consider the second-order Emden-Fowler type differential equation with negative potential $y''-p(x, y, y') |y|^k \text{ sgn } y=0$ in case of regular nonlinearity $k>1$. We assume that the function $p(x, u, v)$ is continuous in $x$ and Lipschitz continuous in two last variables. We investigate asymptotic behaviour of non-extensible solutions to the equation above. We consider the case of a positive function $p(x, u, v)$ unbounded from above and bounded away from 0 from below. The conditions guaranteeing an existence of a vertical asymptote of all nontrivial non-extensible solutions to the equation are obtained. Also the sufficient conditions providing the following solutions' properties $\displaystyle \lim_{x \to a} |y'(x)| = +\infty$, $\displaystyle \lim_{x \to a} |y(x)| <+ \infty$, where $a < \infty$ is a boundary point, are obtained.

Автономные нелинейные дифференциальные уравнения представляют собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений, которые часто применяются в различных областях механики, квантовой физики, химического машиностроения, физики и прикладной математики. Здесь рассматриваются автономные нелинейные дифференциальные уравнения второго порядка ${u}''({x}) - {u}'({x}) = {f}[{u}({x})]$ и ${u}''({x}) + {f}[{u}({x})]{u}'({x}) + {u}({x}) = 0$ на промежутке $[-1, 1]$ с заданными граничными значениями ${u}[-1]$ и ${u}[1]$. Для решения этих задач используется псевдоспектральный метод, основанный на матрице дифференцирования Чебышева с точками Чебышева-Гаусса-Лобатто. Для нахождения приближенных решений построены две новые итерационные процедуры. В этой статье был использован язык программирования Mathematica версии 10.4 для представления алгоритмов, численных результатов и рисунков. В качестве примера численного моделирования исследовано известное уравнение Ван дер Поля и получены хорошие результаты. Впоследствии возможно применение полученных результатов к другим нелинейным системам, таким как уравнения Рэлея, уравнения Льенара и уравнения Эмдена-Фаулера.

Autonomous nonlinear differential equations constituted a system of ordinary differential equations, which often applied in different areas of mechanics, quantum physics, chemical engineering science, physical science, and applied mathematics. It is assumed that the second-order autonomous nonlinear differential equations have the types ${u}''({x}) - {u}'({x}) = {f}[{u}({x})]$ and ${u}''({x}) + {f}[{u}({x})]{u}'({x}) + {u}({x}) = 0$ on the range $[-1, 1]$ with the boundary values ${u}[-1]$ and ${u}[1]$ provided. We use the pseudospectral method based on the Chebyshev differentiation matrix with Chebyshev-Gauss-Lobatto points to solve these problems. Moreover, we build two new iterative procedures to find the approximate solutions. In this paper, we use the programming language Mathematica version 10.4 to represent the algorithms, numerical results and figures. In the numerical results, we apply the well-known Van der Pol oscillator equation and gave good results. Therefore, they will be able to be applied to other nonlinear systems such as the Rayleigh equations, the Lienard equations, and the Emden-Fowler equations.

В работе рассматриваются нелинейные дифференциальные уравнения $n$-го порядка с младшей производной. При помощи принципа сжимающих отображений исследуется асимптотическая эквивалентность решений этих уравнений в случае экспоненциальной эквивалентности их правых частей. Полученные достаточные условия асимптотической эквивалентности решений являются продолжением и обобщением результатов, изложенных в предыдущих работах автора. Приводится результат, описывающий асимптотическое поведение всех стремящихся к нулю на бесконечности решений дифференциального уравнения второго порядка с регулярной нелинейностью типа Эмдена-Фаулера и нулевой правой частью, возникающего при исследовании квазилинейных эллиптических уравнений. На его основе описывается асимптотическое поведение решений соответствующего уравнения с ненулевой правой частью.

Nonlinear $n$-th order differential equations with lower term are considered. With the help of the contraction mapping principle an asymptotic equivalence of solutions to these equations is investigated in the case of exponentially equivalent right-hand sides. Obtained sufficient conditions for asymptotic equivalence of solutions extend and generalize results stated in previous author’s papers. The result, describing the asymptotic behaviour of all tending to zero at infinity solutions to second order differential equations with regular Emden-Fowler type nonlinearity and zero right-hand side appearing while investigating quasilinear elliptic equations, is stated. On the basis of this result the asymptotic behaviour of solutions to a corresponding equation with nonzero right-hand side is described.

Рассматриваются дифференциальные уравнения типа Эмдена-Фаулера второго порядка с регулярной нелинейностью и ограниченным отрицательным потенциалом, зависящим от независимой переменной, решения и его производной. Приведены результаты о существовании асимптот у нетривиальных решений и оценки расстояний до асимптот решений справа и слева от начальной точки, показана непрерывная зависимость положений асимптот нетривиальных решений от начальных данных. Также доказано существование решений уравнения с произвольной наперед заданной областью определения.

Second-order Emden-Fowler type differential equations with regular nonlinearity and bounded negative potential depending on an independent variable, the solution and its first derivative are considered. The results on the existence of asymptotes of nontrivial solutions and estimates of the distance from the initial point to left and right asymptotes positions are given. Continuous dependence of the positions of left and right asymptotes of nontrivial solutions is obtained. The existence of a non-extensible solution with prescribed domain is proved.