Все выпуски

В работе рассматривается дифференциальное уравнение типа Эмдена-Фаулера второго порядка с отрицательными потенциалом $y'' - p(x, y, y') |y|^k \text{ sgn } y=0$ в случае регулярной нелинейности $k>1$. Предполагается, что функция $p(x, u, v)$ положительна, непрерывна по $x$ и удовлетворяет условию Липшица по последним двум аргументам. Исследуется асимптотическое поведение максимально продолженных решений рассматриваемого уравнения. Изучается случай неограниченной сверху и отделенной от нуля снизу функции $p(x, u, v)$. Получены условия существования вертикальной асимптоты у всех нетривиальных максимально продолженных решений уравнения. Кроме того, получены достаточные условия, при которых все нетривиальные максимально продолженные решения уравнения обладают свойством $\displaystyle \lim_{x \to a} |y'(x)| = +\infty$, $\displaystyle \lim_{x \to a} |y(x)| < + \infty$, где $a$ - граничная точка области определения.

In this paper we consider the second-order Emden-Fowler type differential equation with negative potential $y''-p(x, y, y') |y|^k \text{ sgn } y=0$ in case of regular nonlinearity $k>1$. We assume that the function $p(x, u, v)$ is continuous in $x$ and Lipschitz continuous in two last variables. We investigate asymptotic behaviour of non-extensible solutions to the equation above. We consider the case of a positive function $p(x, u, v)$ unbounded from above and bounded away from 0 from below. The conditions guaranteeing an existence of a vertical asymptote of all nontrivial non-extensible solutions to the equation are obtained. Also the sufficient conditions providing the following solutions' properties $\displaystyle \lim_{x \to a} |y'(x)| = +\infty$, $\displaystyle \lim_{x \to a} |y(x)| <+ \infty$, where $a < \infty$ is a boundary point, are obtained.

В работе рассматриваются нелинейные дифференциальные уравнения $n$-го порядка с младшей производной. При помощи принципа сжимающих отображений исследуется асимптотическая эквивалентность решений этих уравнений в случае экспоненциальной эквивалентности их правых частей. Полученные достаточные условия асимптотической эквивалентности решений являются продолжением и обобщением результатов, изложенных в предыдущих работах автора. Приводится результат, описывающий асимптотическое поведение всех стремящихся к нулю на бесконечности решений дифференциального уравнения второго порядка с регулярной нелинейностью типа Эмдена-Фаулера и нулевой правой частью, возникающего при исследовании квазилинейных эллиптических уравнений. На его основе описывается асимптотическое поведение решений соответствующего уравнения с ненулевой правой частью.

Nonlinear $n$-th order differential equations with lower term are considered. With the help of the contraction mapping principle an asymptotic equivalence of solutions to these equations is investigated in the case of exponentially equivalent right-hand sides. Obtained sufficient conditions for asymptotic equivalence of solutions extend and generalize results stated in previous author’s papers. The result, describing the asymptotic behaviour of all tending to zero at infinity solutions to second order differential equations with regular Emden-Fowler type nonlinearity and zero right-hand side appearing while investigating quasilinear elliptic equations, is stated. On the basis of this result the asymptotic behaviour of solutions to a corresponding equation with nonzero right-hand side is described.

В работе рассмотрены вопросы о гамильтонизации и интегрируемости неголономной задачи Суслова и ее обобщения, предложенного Чаплыгиным. Вопросы важны для понимания качественных особенностей динамики этой системы и, в частности, связаны с нетривиальным асимптотическим поведением (то есть некоторой задачей рассеяния). Статья развивает общий подход авторов, основанный на изучении иерархии динамического поведения неголономных систем.

We consider the problems of Hamiltonian representation and integrability of the nonholonomic Suslov system and its generalization suggested by S.A. Chaplygin. These aspects are very important for understanding the dynamics and qualitative analysis of the system. In particular, they are related to the nontrivial asymptotic behaviour (i.e. to some scattering problem). The paper presents a general approach based on the study of the hierarchy of dynamical behaviour of nonholonomic systems.