Все выпуски

В параметрическом семействе подпространств пространства прерывистых функций вводится понятие присоединенного интеграла (в каждом подпространстве применяется собственный интеграл). В подпространстве, представляющем их пересечение, также определено понятие присоединенного интеграла. Это подпространство содержит в себе пространство функций ограниченной вариации. В каждом подпространстве на основе присоединенного интеграла определяется понятие обобщенной прерывистой функции и ее присоединенной обобщенной производной. Доказана разрешимость линейных импульсных систем, заданных в терминах присоединенных обобщенных функций.

In parametrical family of subspaces of space of regulated functions the concept of the adjoint integral (in everyone subspace own integral is applied) is defined. In subspace, representing their crossing, the concept of the adjoint integral also is defined. This subspace includes the space of functions of the bounded variation. In any subspace on the basis of the adjoint integral the concept of the generalized regulated function and its adjoint generalized derivative is defined. Solvability of linear impulse systems in terms of adjoint generalized functions is proved.

Данная работа посвящена постановке и исследованию однозначной разрешимости краевых задач (типа задачи Дарбу, задачи Трикоми) для нагруженного интегро-дифференциального уравнения третьего порядка с гиперболическим и параболо-гиперболическим оператором. Существование и единственность решения краевой задачи доказана методом интегральных уравнений. Задачи эквивалентным образом сводятся к интегральным уравнениям Вольтерра со сдвигом. При достаточных условиях на заданные функции и коэффициенты доказывается однозначная разрешимость полученных интегральных уравнений.

In this paper, the unique solvability of the boundary value problems (of a type similar to the Darboux problem and the Tricomi problem) of a loaded third order integro-differential equation with hyperbolic and parabolic-hyperbolic operators is proved by method of integral equations. The problem is similarly reduced to a Volterra integral equation with a shift. Under sufficient conditions for given functions and coefficients the unique solvability is proved for the solution of obtained integral equations.

Изучается одна краевая задача для дифференциального уравнения с частными производными четвертого порядка с младшим членом в прямоугольной области. Для решения задачи получена априорная оценка решения, из которой следует единственность решения задачи. Для доказательства существования решения задачи применяется метод разделения переменных. Разрешимость задачи сводится к интегральному уравнению Фредгольма второго рода относительно искомой функции, которое решается методом последовательных приближений. Найдены достаточные условия, обеспечивающие абсолютную и равномерную сходимость ряда, представляющего решение задачи, и рядов, полученных из него дифференцированием четыре раза по x и два раза по t.

In this paper we study a boundary value problem for the fourth order partial differential equation with the lowest term in a rectangular domain. For the solution of the problem a priori estimate is obtained. From a priori estimate the uniqueness of the solution of the problem follows. For the proof of the solvability of this problem we use the method of separation of variables. The solvability of this problem is reduced to the Fredholm integral equation of the second kind with respect to unknown function. Integral equation is solved by the method of successive approximations. We find the sufficient conditions for the absolute and uniform convergence of series representing the solution of the problem and the series obtained by differentiation four times with respect x and two times with respect to t.

Работа посвящена вопросу об абсолютной непрерывности спектра двумерного обобщенного периодического оператора Шрёдингера $H_g+V=-\nabla g\nabla+V$, где непрерывная положительная функция $g$ и скалярный потенциал $V$ имеют общую решетку периодов $Λ$. Решения уравнения $(H_g+V)\varphi=0$ определяют, в частности, электрическое и магнитное поля для электромагнитных волн, распространяющихся в двумерных фотонных кристаллах. При этом функция $g$ и скалярный потенциал $V$ выражаются через диэлектрическую проницаемость $\varepsilon$ и магнитную проницаемость $\mu$ ($V$ также зависит от частоты электромагнитной волны). Диэлектрическая проницаемость $\varepsilon$ может быть разрывной функцией (и обычно выбирается кусочно-постоянной), поэтому возникает задача об ослаблении известных условий гладкости для функции $g$, обеспечивающих абсолютную непрерывность спектра оператора $H_g+V$. В настоящей работе предполагается, что коэффициенты Фурье функций $g^{\pm\frac12}$ при некотором $q\in[1, \frac43)$ удовлетворяют условию $\sum\left(|N|^\frac12\left|\left(g^{\pm\frac12}\right)_N\right|\right)^q<+\infty$ и скалярный потенциал $V$ имеет нулевую грань относительно оператора $-Δ$ в смысле квадратичных форм. Пусть $K$ - элементарная ячейка решетки $Λ$, $K^*$ - элементарная ячейка обратной решетки $\Lambda^*$. Оператор $H_g+V$ унитарно эквивалентен прямому интегралу операторов $H_g(k)+V$, где $k$ - квазиимпульс из $2\pi K^*$, действующих в $L^2(K)$. Последние операторы можно также рассматривать при комплексных векторах $k+ik'\in \mathbb{C}^2$. В статье используется метод Томаса. Доказательство абсолютной непрерывности спектра оператора $H_g+V$ сводится к доказательству обратимости операторов $H_g(k+ik')+V-\lambda$, $\lambda\in \mathbb{R}$, при определенным образом выбираемых комплексных векторах $k+ik'\in \mathbb{C}^2$ (зависящих от $g$, $V$ и числа $\lambda$) с достаточно большой мнимой частью $k'$.

The paper is concerned with the problem of absolute continuity of the spectrum of the two-dimensional generalized periodic Schrodinger operator $H_g+V=-\nabla g\nabla+V$ where the continuous positive function $g$ and the scalar potential $V$ have a common period lattice $\Lambda$. The solutions of the equation $(H_g+V)\varphi=0$ determine, in particular, the electric field and the magnetic field of electromagnetic waves propagating in two-dimensional photonic crystals. The function $g$ and the scalar potential $V$ are expressed in terms of the electric permittivity $\varepsilon$ and the magnetic permeability $\mu$ ($V$ also depends on the frequency of the electromagnetic wave). The electric permittivity $\varepsilon$ may be a discontinuous function (and usually it is chosen to be piecewise constant) so the problem to relax the known smoothness conditions on the function $g$ that provide absolute continuity of the spectrum of the operator $H_g+V$ arises. In the present paper we assume that the Fourier coefficients of the functions $g^{\pm\frac12}$ for some $q\in[1, \frac43)$ satisfy the condition $\sum\left(|N|^\frac12\left|\left(g^{\pm\frac12}\right)_N\right|\right)^q<+\infty$, and the scalar potential $V$ has relative bound zero with respect to the operator $-\Delta$ in the sense of quadratic forms. Let $K$ be the fundamental domain of the lattice $\Lambda$, and assume that $K^*$ is the fundamental domain of the reciprocal lattice $\Lambda^*$. The operator $H_g+V$ is unitarily equivalent to the direct integral of operators $H_g(k)+V$, with quasimomenta $k\in 2\pi K^*$, acting on the space $L^2(K)$. The last operators can be also considered for complex vectors $k+ik'\in \mathbb{C}^2$. We use the Thomas method. The proof of absolute continuity of the spectrum of the operator $H_g+V$ amounts to showing that the operators $H_g(k+ik')+V-\lambda$, $\lambda\in \mathbb{R}$, are invertible for some appropriately chosen complex vectors $k+ik'\in \mathbb{C}^2$ (depending on $g$, $V$, and the number $\lambda$) with sufficiently large imaginary parts $k'$.

Работа посвящена исследованию свойства интегральной разделенности линейных систем с дискретным временем. Согласно определению система $x(m+1)=A(m)x(m),$ $m\in\mathbb N,$ $x\in\mathbb R^n,$ называется системой с интегральной разделенностью, если она имеет фундаментальную систему решений $x^1(\cdot),\ldots,x^n(\cdot)$ такую, что при некоторых $\gamma>0$, $a>1$ и всех натуральных $m>s$, $i\leqslant n-1$ выполнены неравенства $$ \dfrac{\|x^{i+1}(m)\|}{\|x^{i+1}(s)\|}\geqslant\gamma a^{m-s}\dfrac{\|x^{i}(m)\|}{\|x^{i}(s)\|}. $$ Понятие интегральной разделенности систем с непрерывным временем было введено Б.Ф. Быловым в 1965 году. Доказаны критерии интегральной разделенности систем с дискретным временем: приводимость к диагональному виду с интегрально разделенной диагональю; устойчивость и некратность показателей Ляпунова. Подробно исследовано также свойство диагонализируемости систем с дискретным временем. Доказательства учитывают специфику этих систем.

This paper is devoted to the study of the property of an integral separation of discrete time-varying linear systems. By definition, the system $x(m+1)=A(m)x(m),$ $m\in\mathbb N,$ $x\in\mathbb R^n,$ is called a system with integral separation if it has a basis of solutions $x^1(\cdot),\ldots,x^n(\cdot)$ such that for some $\gamma>0$, $a>1$ and all natural $m>s$, $i\leqslant n-1$ the inequalities $$ \dfrac{\|x^{i+1}(m)\|}{\|x^{i+1}(s)\|}\geqslant\gamma a^{m-s}\dfrac{\|x^{i}(m)\|}{\|x^{i}(s)\|}. $$ are satisfied. The concept of integral separation of systems with continuous time was introduced by B.F. Bylov in 1965. The criteria for the integral separation of systems with discrete time are proved: reducibility to diagonal form with an integrally separated diagonal; stability and nonmultiplicity of Lyapunov exponents. The property of diagonalizability of discrete-time systems is also studied in detail. The evidence takes into account the specifics of these systems.

Исследуются свойства правильных функций, а также ограниченных функций, имеющих не более чем счетное множество точек разрыва (названных $\sigma$-непрерывными). Доказана теорема об интегрируемости по Риману-Стилтьесу $\sigma$-непрерывных функций по непрерывным функциям ограниченной вариации, а также предельная теорема Хелли для таких интегрируемых и интегрирующих функций. Процесс интегрирования по Риману-Стилтьесу расширяется на случай интегрирования $\sigma$-непрерывных функций по произвольным функциям ограниченной вариации: вводится $(*)$-интеграл как сумма классического интеграла Римана-Стилтьеса по непрерывной части функции ограниченной вариации и суммы произведений значений интегрируемой функции на скачки интегрирующей. Таким образом, $(*)$-интеграл позволяет интегрировать разрывные функции по разрывным. Все свойства $(*)$-интеграла выводятся непосредственно из этого определения. Так, для $(*)$-интеграла доказывается формула интегрирования по частям, теорема о перемене порядка интегрирования, а также все необходимые для дальнейшегоприменения предельные теоремы, в том числе предельная теорема типа теоремы Хелли.

In this paper, the properties of the regular functions and the so-called $\sigma$-continuous functions (i.e., the bounded functions for which the set of discontinuity points is at most countable) are studied. It is shown that the $\sigma$-continuous functions are Riemann-Stieltjes integrable with respect to continuous functions of bounded variation. Helly's limit theorem for such functions is also proved. Moreover, Riemann-Stieltjes integration of $\sigma$-continuous functions with respect to arbitrary functions of bounded variation is considered. To this end, a $(*)$-integral is introduced. This integral consists of two terms: (i) the classical Riemann-Stieltjes integral with respect to the continuous part of a function of bounded variation, and (ii) the sum of the products of an integrand by the jumps of an integrator. In other words, the $(*)$-integral makes it possible to consider a Riemann-Stieltjes integral with a discontinuous function as an integrand or an integrator. The properties of the (*)-integral are studied. In particular, a formula for integration by parts, an inversion of the order of the integration theorem, and all limit theorems necessary in applications, including a limit theorem of Helly's type, are proved.

Рассматривается задача с данными на характеристиках для нагруженной системы гиперболических уравнений второго порядка в прямоугольной области. Исследуются вопросы существования и единственности классического решения рассматриваемой задачи, а также непрерывной зависимости решения от исходных данных. Предлагается новый подход к решению задачи с данными на характеристиках для нагруженной системы гиперболических уравнений второго порядка на основе введения новых функций. Путем введения новых неизвестных функций задача сводится к эквивалентному семейству задач Коши для нагруженной системы дифференциальных уравнений с параметрами и интегральным соотношениям. Предложен алгоритм нахождения приближенного решения эквивалентной задачи и доказана его сходимость. Установлены условия однозначной разрешимости задачи с данными на характеристиках для нагруженной системы гиперболических уравнений второго порядка в терминах коэффициентов системы.

We consider a problem with data on the characteristics for a loaded system of hyperbolic equations of the second order on a rectangular domain. The questions of the existence and uniqueness of the classical solution of the considered problem, as well as the continuity dependence of the solution on the initial data, are investigated. We propose a new approach to solving the problem with data on the characteristics for the loaded system of hyperbolic equations second order based on the introduction new functions. By introducing new unknown functions the problem is reduced to an equivalent family of Cauchy problems for a loaded system of differential with a parameters and integral relations. An algorithm for finding an approximate solution to the equivalent problem is proposed and its convergence is proved. Conditions for the unique solvability of the problem with data on the characteristics for the loaded system of hyperbolic equations of the second order are established in the terms of coefficient's system.

Классическим свойством периодической функции на вещественной оси является возможность ее представления тригонометрическим рядом Фурье. Естественным аналогом условия периодичности в евклидовом пространстве $\mathbb{R}^m$ является постоянство интегралов от функции по всем шарам (или сферам) фиксированного радиуса. Функции с указанным свойством можно разложить в ряд Фурье по сферическим гармоникам, коэффициенты которого разлагаются в ряды по функциям Бесселя. Этот факт допускает обобщение на векторные поля в $\mathbb{R}^m$, имеющие нулевой поток через сферы фиксированного радиуса. В данной работе изучаются векторные поля с нулевым потоком через окружности фиксированного радиуса на плоскости Лобачевского $\mathbb{H}^2$. Получено описание таких полей в виде рядов по гипергеометрическим функциям. Результаты, полученные в работе, можно использовать при решении задач, связанных с гармоническим анализом векторных полей на областях в $\mathbb{H}^2$.

A classic property of a periodic function on the real axis is the possibility of its representation by a trigonometric Fourier series. The natural analogue of the periodicity condition in Euclidean space $\mathbb{R}^m$ is the constancy of integrals of a function over all balls (or spheres) of fixed radius. Functions with the indicated property can be expanded in a Fourier series in terms of spherical harmonics whose coefficients are expanded into series in Bessel functions. This fact can be generalized to vector fields in $\mathbb{R}^m$ with zero flux through spheres of fixed radius. In this paper we study vector fields which have zero flux through every circle of fixed radius on the Lobachevskii plane $\mathbb{H}^2$. A description of such fields in the form of series in terms of hypergeometric functions is obtained. These results can be used to solve problems concerning harmonic analysis of vector fields on domains in $\mathbb{H}^2$.

В данной работе рассматривается система Каупа–Буссинеска с самосогласованным источником. Показано, что система Каупа–Буссинеска с самосогласованным источником может быть проинтегрирована методом обратной задачи рассеяния. Для решения рассматриваемой задачи используются прямая и обратная задачи рассеяния уравнения Штурма–Лиувилля с потенциалом, зависящим от энергии. Определена временная эволюция данных рассеяния для уравнения Штурма–Лиувилля с энергозависимыми потенциалами, связанными с решением системы Каупа–Буссинеска с самосогласованным источником. Полученные равенства полностью определяют данные рассеяния при любом $t$, что позволяет применить метод обратной задачи рассеяния для решения задачи Коши для системы Каупа–Буссинеска с самосогласованным источником.

In this study we consider the Kaup–Boussinesq system with a self-consistent source. We show that the Kaup–Boussinesq system with a self-consistent source can be integrated by the method of inverse scattering theory. For a solving the problem under consideration, we use the direct and inverse scattering problem of the Sturm–Liouville equation with an energy-dependent potential. The time evolution of the scattering data for the Sturm–Liouville equation with an energy-dependent potentials associated with the solution of the Kaup–Boussinesq system with a self-consistent source is determined. The obtained equalities completely determine the scattering data for any $t$, which makes it possible to apply the method of the inverse scattering problem to solve the Cauchy problem for the Kaup–Boussinesq system with a self-consistent source.

В работе вводится понятие правильной функции многих переменных $f\colon X\to\mathbb R$, где $X\subseteq\mathbb R^n$. В основе определения лежит понятие специального разбиения множества $X$ и понятие колебания функции $f$ на элементах разбиения. Показано, что всякая функция, заданная и непрерывная на замыкании $X$ открытого ограниченного множества $X_0\subseteq\mathbb R^n$, является правильной (принадлежит пространству $\langle{\rm G(}X),\|\cdot\|\rangle$). Доказана полнота пространства ${\rm G}(X)$ по $\sup$-норме $\|\cdot\|$. Оно является замыканием пространства ступенчатых функций. Во второй части работы определено и исследовано пространство ${\rm G}^J(X)$, отличающееся от пространства ${\rm G}(X)$ тем, что в его определении вместо разбиений используются $J$-разбиения, элементы которых — измеримые по Жордану открытые множества. Перечисленные выше свойства пространства ${\rm G}(X)$ переносятся на пространство ${\rm G}^J(X)$. В заключительной части работы определено понятие $J$-интегрируемости функций многих переменных. Доказано, что если $X$ — это измеримое по Жордану замыкание открытого ограниченного множества $X_0\subseteq\mathbb R^n$, а функция $f\colon X\to\mathbb R$ интегрируема по Риману, то она $J$-интегрируема. При этом значения интегралов совпадают. Все функции $f\in{\rm G}^J(X)$ являются $J$-интегрируемыми.

The paper introduces the concept of a regulated function of several variables $f\colon X\to\mathbb R$, where $X\subseteq \mathbb R^n$. The definition is based on the concept of a special partition of the set $X$ and the concept of oscillation of the function $f$ on the elements of the partition. It is shown that every function defined and continuous on the closure $X$ of the open bounded set $X_0\subseteq\mathbb R^n$, is regulated (belongs to the space $\langle{\rm G(}X),\|\cdot\ |\rangle$). The completeness of the space ${\rm G}(X)$ in the $\sup$-norm $\|\cdot\|$ is proved. This is the closure of the space of step functions. In the second part of the work, the space ${\rm G}^J(X)$ is defined and studied, which differs from the space ${\rm G}(X)$ in that its definition uses $J$-partitions instead of partitions, whose elements are Jordan measurable open sets. The properties of the space ${\rm G}(X)$ listed above carry over to the space ${\rm G}^J(X)$. In the final part of the paper, the notion of $J$-integrability of functions of several variables is defined. It is proved that if $X$ is a Jordan measurable closure of an open bounded set $X_0\subseteq\mathbb R^n$, and the function $f\colon X\to\mathbb R$ is Riemann integrable, then it is $J$-integrable. In this case, the values of the integrals coincide. All functions $f\in{\rm G}^J(X)$ are $J$-integrable.