Все выпуски

Рассматриваются процессы образования периодических структур при ионной бомбардировке. В качестве математической модели выбрано двумерное обобщение уравнения Курамото–Сивашинского. Аналогичное уравнение было получено и в работе Бредли–Харпера. С математической точки зрения изрезанный рельеф в результате ионной бомбардировки может быть объясним как локальные бифуркации плоского профиля при смене устойчивости.

Для описания такого рельефа получены асимптотические формулы. Для исследования нелинейной краевой задачи использован метод теории бифуркаций для задач с бесконечномерным фазовым пространством. В частности, использован метод построения нормальных форм, ведущий свое начало от алгоритма Крылова–Боголюбова.

We consider ion-bombardment-induced processes for formation of periodic structures. As a mathematical model, we have chosen the generalized two-dimensional Kuramoto–Sivashinsky equation which is equivalent to the equation obtained by Bradley–Harper. The jagged relief obtained due to ionic bombardment can be explained from a mathematical point of view as local bifurcations of flat profile involving an exchange of stabilities.

To describe the above relief asymptotic formulas are obtained. The bifurcation theory method for problems with infinite dimensional phase space is used to study nonlinear boundary value problem. In particular, we use normal form building which springs from Krylov–Bogolyubov method of averaging.

В работе рассматриваются нелинейные дифференциальные уравнения $n$-го порядка с младшей производной. При помощи принципа сжимающих отображений исследуется асимптотическая эквивалентность решений этих уравнений в случае экспоненциальной эквивалентности их правых частей. Полученные достаточные условия асимптотической эквивалентности решений являются продолжением и обобщением результатов, изложенных в предыдущих работах автора. Приводится результат, описывающий асимптотическое поведение всех стремящихся к нулю на бесконечности решений дифференциального уравнения второго порядка с регулярной нелинейностью типа Эмдена-Фаулера и нулевой правой частью, возникающего при исследовании квазилинейных эллиптических уравнений. На его основе описывается асимптотическое поведение решений соответствующего уравнения с ненулевой правой частью.

Nonlinear $n$-th order differential equations with lower term are considered. With the help of the contraction mapping principle an asymptotic equivalence of solutions to these equations is investigated in the case of exponentially equivalent right-hand sides. Obtained sufficient conditions for asymptotic equivalence of solutions extend and generalize results stated in previous author’s papers. The result, describing the asymptotic behaviour of all tending to zero at infinity solutions to second order differential equations with regular Emden-Fowler type nonlinearity and zero right-hand side appearing while investigating quasilinear elliptic equations, is stated. On the basis of this result the asymptotic behaviour of solutions to a corresponding equation with nonzero right-hand side is described.

Рассматривается линейная нестационарная управляемая система с локально интегрируемыми и интегрально ограниченными коэффициентами

$$\dot x =A(t)x+ B(t)u, \quad x\in\mathbb{R}^n,\quad u\in\mathbb{R}^m,\quad t\geqslant 0. \qquad(1) $$

Управление в системе $(1)$ строится в виде линейной обратной связи $u=U(t)x$ с измеримой и ограниченной матричной функцией $U(t)$, $t\geqslant 0$. Для замкнутой системы

$$\dot x =(A(t)+B(t)U(t))x, \quad x\in\mathbb{R}^n, \quad t\geqslant 0, \qquad(2)$$

введено понятие равномерной глобальной квазидостижимости, которое является ослаблением равномерной глобальной достижимости - свойства системы $(2)$, позволяющего за счет выбора функции $U(t)$, $t\geqslant 0$, для матрицы Коши $X_U(t,s)$ этой системы обеспечить выполнение равенств $X_U((k+1)T,kT)=H_k$ при фиксированном $T>0$ и произвольных $k\in\mathbb N$, $\det H_k>0$. Доказано, что из равномерной глобальной квазидостижимости системы $(2)$ следует глобальная скаляризуемость этой системы, то есть существование для произвольной наперед заданной локально интегрируемой и интегрально ограниченной скалярной функции $p=p(t)$, $t\geqslant0$, такой измеримой и ограниченной матричной функции $U=U(t)$, $t\geqslant0$, при которой система $(2)$ асимптотически эквивалентна системе скалярного типа $\dot z=p(t)z$, $z\in\mathbb{R}^n,\ t\geqslant0$.

We consider a linear time-varying control system with locally integrable and integrally bounded coefficients

$$\dot x =A(t)x+ B(t)u, \quad x\in\mathbb{R}^n,\quad u\in\mathbb{R}^m,\quad t\geqslant 0. \qquad (1)$$

We construct control of the system $(1)$ as a linear feedback $u=U(t)x$ with measurable and bounded function $U(t)$, $t\geqslant 0$. For the closed-loop system

$$\dot x =(A(t)+B(t)U(t))x, \quad x\in\mathbb{R}^n, \quad t\geqslant 0, \qquad(2)$$

a definition of uniform global quasi-attainability is introduced. This notion is a weakening of the property of uniform global attainability. The last property means existence of matrix $U(t)$, $t\geqslant 0$, ensuring equalities $X_U((k+1)T,kT)=H_k$ for the state-transition matrix $X_U(t,s)$ of the system $(2)$ with fixed $T>0$ and arbitrary $k\in\mathbb N$, $\det H_k>0$. We prove that uniform global quasi-attainability implies global scalarizability. The last property means that for any given locally integrable and integrally bounded scalar function $p=p(t)$, $t\geqslant0$, there exists a measurable and bounded function $U=U(t)$, $t\geqslant 0$, which ensures asymptotic equivalence of the system $(2)$ and the system of scalar type $\dot z=p(t)z$, $z\in\mathbb{R}^n$, $t\geqslant0$.