Все выпуски

Рассматривается динамическая система сдвигов в пространстве ℜ непрерывных функций, принимающих значения в полном метрическом пространстве (clos(Rⁿ), ρ_cl)
непустых замкнутых подмножеств в Rⁿ. Расстояние между функциями в этом пространстве определяется с помощью аналога метрики Бебутова в пространстве вещественных функций, определенных и непрерывных на всей числовой оси. Показано, что для компактности замыкания траектории точки в ℜ достаточно, чтобы исходная функция была ограничена и равномерно непрерывна в метрике ρ_cl. Как следствие, доказано, что замыкание траектории рекуррентного движения или траектории почти периодического движения в ℜ компактно.

In the work there is considered the dynamical system of translations in the space ℜ of continuous multi-valued functions with images in complete metric space (clos(Rⁿ), ρ_cl)
of nonempty closed subsets of Rⁿ. The distance between such functions is measured by means of the metric analogous to the Bebutov metric constructed for the space of continuous real-valued functions defined on the whole real line. It is shown that for compactness of the trajectory’s closure in ℜ it is sufficient to have initial function bounded and uniformly continuous in the ρ_cl metric. As consequence, it is also proved that the trajectory’s closure of a recurrent or an almost periodic motion is compact in ℜ.

Рассматривается абстрактная задача о достижимости с ограничениями асимптотического характера. Ограничения такого типа могут возникать при ослаблении стандартных (в теории управления) ограничений, таких как фазовые ограничения, краевые и промежуточные условия, которым должны удовлетворять траектории системы. Однако ограничения асимптотического характера могут возникать и изначально, характеризуя тенденции в части реализации желаемого поведения. Так, например, можно говорить о реализации достаточно мощных импульсов управления исчезающе малой длительности. В этом последнем случае трудно говорить об ослаблении каких-либо стандартных ограничений. Так или иначе, мы сталкиваемся с набором ужесточающихся требований, каждому из которых можно сопоставить некоторый аналог области достижимости в теории управления, а точнее образ подмножества пространства обычных решений (управлений) при действии заданного оператора. В работе исследуются вопросы структуры возникающего (как аналог области достижимости) множества притяжения. Схема исследования базируется на применении специального варианта расширения пространства решений, допускающего естественную аналогию с расширением Волмэна, используемого в общей топологии. В этой ситуации естественно полагать, что пространство обычных решений оснащено некоторой топологией (обычно в этом случае исследуется $T_1$-пространство). В этой связи обсуждаются вопросы, связанные с заменой множеств, формирующих ограничения асимптотического характера, замыканиями и внутренностями, а также (частично) вопросы, связанные с представлением внутренности множества допустимых обобщенных элементов, образующего вспомогательное множество притяжения.

The attainability problem with asymptotic constraints is considered. Such constraints can arise under weakening of constraints that are standard in control theory: phase constraints, boundary and intermediate conditions; trajectories of a system must satisfy these constraints. But asymptotic constraints can arise from the beginning as a characterization of trends in the implementation of desired behavior. For example, one can speak of implementation of powerful control impulses with vanishingly small duration. In this case, it is hard to tell whether any standard constraints are weakened. So, we have a set of complicating conditions with each of which we can juxtapose some analog of the attainability domain in control theory and (more precisely) the image of a subset of the usual solution space under the action of a given operator. In this paper, we investigate questions concerning the structure of an attraction set arising as an analog of the attainability domain. The investigation scheme is based on the application of a special way of extending solution space which admits a natural analogy with Wallman extension used in general topology. Then it is natural to suppose that the space of usual solutions is endowed with a topology (usually, it is a $T_1$-space that is explored in this case). In this connection, questions concerning the replacement of sets forming asymptotic constraints by closures and interiors are addressed. Partially, questions associated with representation of the interior of the set of admissible generalized elements that form an auxiliary attraction set are discussed.