Все выпуски

Получены достаточные условия асимптотической устойчивости и слабой асимптотической устойчивости заданного множества $\mathfrak M\doteq\bigl\{(t,x)\in [t_0,+\infty)\times\mathbb{R}^n: x\in M(t)\bigr\}$ относительно управляемой системы с импульсным воздействием в предположении, что функция $t\mapsto M(t)$ непрерывна в метрике Хаусдорфа и для каждого $t \in [t_0,+\infty)$ множество $M(t)$ непусто и замкнуто. Также получены условия, при которых для каждого решения $x(t,x_0)$ управляемой системы, выходящего из достаточно малой окрестности множества $M(t_0),$ найдется момент времени $t^*$ такой, что точка $(t,x(t,x_0))$ принадлежит $\mathfrak M$ при всех $t\in [t^*,+\infty).$ Некоторые из представленных здесь утверждений являются аналогами результатов Е.А. Панасенко и Е.Л. Тонкова для систем с импульсами, в других утверждениях существенно используется специфика импульсного воздействия. Результаты работы проиллюстрированы на примере модели «вредитель-биоагент» с импульсным управлением в предположении, что вбросы биоагентов (природных врагов данных вредителей) происходят в фиксированные моменты времени и количество вредителей, потребляемых в среднем одним биоагентом за единицу времени, задается трофической функцией Холлинга. Получены условия асимптотической устойчивости множества $\mathfrak M=\bigl\{(t,x)\in \mathbb R^3_+: x_1\leqslant C_1\bigr\},$ где $x_1={y_1}/{K},$ $y_1$ - размер популяции вредителей, $K$ - емкость среды.

We get sufficient conditions for asymptotic stability and weak asymptotic stability of a given set $\mathfrak M\doteq\bigl\{(t,x)\in [t_0,+\infty)\times\mathbb{R}^n: x\in M(t)\bigr\}$ with respect to the control system with impulse actions. We assume that the function $t\mapsto M(t)$ is continuous in the Hausdorff metric and for each $t \in [t_0,+\infty)$ the set $M(t)$ is nonempty and closed. Also, we obtain conditions under which for every solution $x(t,x_0)$ of the control system that leaves a sufficiently small neighborhood of the set $M(t_0)$ there exists an instant $t^*$ such that point $(t,x(t,x_0))$ belongs to $\mathfrak M$ for all $t\in[t^*,+\infty).$ Some of the statements presented here are analogues of the results obtained by E.A. Panasenko and E.L.Tonkov for systems with impulses, and in other statements the specificity of impulse actions is essentially used. The results of this paper are illustrated by the “pest-bioagents” model with impulse control and we assume that the addition of bioagents (natural enemies of the given pests) occur at fixed instants of time and the number of pests consumed on average by one biological agent per unit time is given by the trophic Holling function. We obtain conditions for asymptotic stability of the set $\mathfrak M=\bigl\{(t,x)\in \mathbb R^3_+: x_1\leqslant C_1\bigr\},$ where $x_1=y_1/K,$ $y_1$ is the size of the population of pests and $K$ is the capacity of environment.

Результаты исследований Е.Л. Тонкова и Е.А. Панасенко распространяются на дифференциальные уравнения и управляемые системы с импульсным воздействием. В терминах функций Ляпунова и производной Кларка получены теоремы сравнения для систем с импульсным воздействием. Рассматривается множество $\mathfrak M\doteq\bigl\{(t,x)\in[t_0,+\infty)\times\mathbb{R}^n: x\in M(t)\bigr\},$ заданное непрерывной функцией $t\rightarrow M(t)$, где для каждого $t \in [t_0,+\infty)$ множество $M(t)$ непусто и компактно. Получены условия положительной инвариантности данного множества, равномерной устойчивости по Ляпунову и равномерной асимптотической устойчивости. Проведено сравнение с исследованиями других авторов, которые рассматривали вопросы устойчивости нулевого решения для аналогичных систем.

We extend the results of E.L. Tonkov and E.A. Panasenko to differential equations and control systems with impulsive actions. In terms of Lyapunov functions and the Clarke derivative we obtain comparison theorems for systems with impulsive effect. We consider the set $\mathfrak M\doteq\bigl\{(t,x)\in[t_0,+\infty)\times\mathbb{R}^n: x\in M(t)\bigr\},$ defined by continuous function $t\rightarrow M(t)$, where for every $t \in \mathbb R$ the set $M(t)$ is nonempty and compact. We obtain conditions for the positive invariance of this set, the uniform Lyapunov stability and the uniform asymptotic stability. We make a comparison with the researches of other authors who have considered the zero solution stability for similar systems.

Продолжено исследование условий положительной инвариантности и асимптотической устойчивости заданного множества относительно управляемой системы с импульсным воздействием. Рассматривается множество $\mathfrak M \doteq \bigl\{ (t,x) \in [t_0,+\infty) \times \mathbb{R}^n: x\in M(t)\bigr\}$, где функция $t\rightarrow M(t)$ непрерывна в метрике Хаусдорфа и для каждого $t \in [t_0,+\infty)$ множество $M(t)$ непусто и компактно. В терминах функций Ляпунова и производной Кларка получены условия слабой положительной инвариантности данного множества, слабой равномерной устойчивости по Ляпунову и слабой асимптотической устойчивости. Также доказана теорема сравнения для решений систем и уравнений с импульсами, следствием которой являются условия существования решений системы, асимптотически стремящихся к нулю. Полученные результаты проиллюстрированы на примере модели конкуренции двух видов, подверженных импульсному управлению в фиксированные моменты времени.

We continue investigating the conditions of positive invariance and asymptotic stability of a given set relative to a control system with impulsive actions. We consider the set $\mathfrak M \doteq \bigl\{ (t,x) \in[t_0,+\infty) \times \mathbb{R}^n: x\in M(t)\bigr\}$, given by a function $t\rightarrow M(t)$ that is continuous in the Hausdorff metric, where the set $M(t)$ is nonempty and compact for each $t \in \mathbb R$. In terms of the Lyapunov functions and the Clarke derivative, we obtain conditions for weak positive invariance, weak uniform Lyapunov stability and weak asymptotic stability of the set $\mathfrak M$. Also we prove a comparison theorem for solutions of systems and equations with impulses the consequence of which is the conditions for existence of solutions of the system that asymptotically tends to zero. The obtained results are illustrated by the example of model for competition of two species exposed to impulse control at given times.

Рассматривается абстрактная задача о достижимости с ограничениями асимптотического характера. Ограничения такого типа могут возникать при ослаблении стандартных (в теории управления) ограничений, таких как фазовые ограничения, краевые и промежуточные условия, которым должны удовлетворять траектории системы. Однако ограничения асимптотического характера могут возникать и изначально, характеризуя тенденции в части реализации желаемого поведения. Так, например, можно говорить о реализации достаточно мощных импульсов управления исчезающе малой длительности. В этом последнем случае трудно говорить об ослаблении каких-либо стандартных ограничений. Так или иначе, мы сталкиваемся с набором ужесточающихся требований, каждому из которых можно сопоставить некоторый аналог области достижимости в теории управления, а точнее образ подмножества пространства обычных решений (управлений) при действии заданного оператора. В работе исследуются вопросы структуры возникающего (как аналог области достижимости) множества притяжения. Схема исследования базируется на применении специального варианта расширения пространства решений, допускающего естественную аналогию с расширением Волмэна, используемого в общей топологии. В этой ситуации естественно полагать, что пространство обычных решений оснащено некоторой топологией (обычно в этом случае исследуется $T_1$-пространство). В этой связи обсуждаются вопросы, связанные с заменой множеств, формирующих ограничения асимптотического характера, замыканиями и внутренностями, а также (частично) вопросы, связанные с представлением внутренности множества допустимых обобщенных элементов, образующего вспомогательное множество притяжения.

The attainability problem with asymptotic constraints is considered. Such constraints can arise under weakening of constraints that are standard in control theory: phase constraints, boundary and intermediate conditions; trajectories of a system must satisfy these constraints. But asymptotic constraints can arise from the beginning as a characterization of trends in the implementation of desired behavior. For example, one can speak of implementation of powerful control impulses with vanishingly small duration. In this case, it is hard to tell whether any standard constraints are weakened. So, we have a set of complicating conditions with each of which we can juxtapose some analog of the attainability domain in control theory and (more precisely) the image of a subset of the usual solution space under the action of a given operator. In this paper, we investigate questions concerning the structure of an attraction set arising as an analog of the attainability domain. The investigation scheme is based on the application of a special way of extending solution space which admits a natural analogy with Wallman extension used in general topology. Then it is natural to suppose that the space of usual solutions is endowed with a topology (usually, it is a $T_1$-space that is explored in this case). In this connection, questions concerning the replacement of sets forming asymptotic constraints by closures and interiors are addressed. Partially, questions associated with representation of the interior of the set of admissible generalized elements that form an auxiliary attraction set are discussed.