Все выпуски

Получены достаточные условия асимптотической устойчивости и слабой асимптотической устойчивости заданного множества $\mathfrak M\doteq\bigl\{(t,x)\in [t_0,+\infty)\times\mathbb{R}^n: x\in M(t)\bigr\}$ относительно управляемой системы с импульсным воздействием в предположении, что функция $t\mapsto M(t)$ непрерывна в метрике Хаусдорфа и для каждого $t \in [t_0,+\infty)$ множество $M(t)$ непусто и замкнуто. Также получены условия, при которых для каждого решения $x(t,x_0)$ управляемой системы, выходящего из достаточно малой окрестности множества $M(t_0),$ найдется момент времени $t^*$ такой, что точка $(t,x(t,x_0))$ принадлежит $\mathfrak M$ при всех $t\in [t^*,+\infty).$ Некоторые из представленных здесь утверждений являются аналогами результатов Е.А. Панасенко и Е.Л. Тонкова для систем с импульсами, в других утверждениях существенно используется специфика импульсного воздействия. Результаты работы проиллюстрированы на примере модели «вредитель-биоагент» с импульсным управлением в предположении, что вбросы биоагентов (природных врагов данных вредителей) происходят в фиксированные моменты времени и количество вредителей, потребляемых в среднем одним биоагентом за единицу времени, задается трофической функцией Холлинга. Получены условия асимптотической устойчивости множества $\mathfrak M=\bigl\{(t,x)\in \mathbb R^3_+: x_1\leqslant C_1\bigr\},$ где $x_1={y_1}/{K},$ $y_1$ - размер популяции вредителей, $K$ - емкость среды.

We get sufficient conditions for asymptotic stability and weak asymptotic stability of a given set $\mathfrak M\doteq\bigl\{(t,x)\in [t_0,+\infty)\times\mathbb{R}^n: x\in M(t)\bigr\}$ with respect to the control system with impulse actions. We assume that the function $t\mapsto M(t)$ is continuous in the Hausdorff metric and for each $t \in [t_0,+\infty)$ the set $M(t)$ is nonempty and closed. Also, we obtain conditions under which for every solution $x(t,x_0)$ of the control system that leaves a sufficiently small neighborhood of the set $M(t_0)$ there exists an instant $t^*$ such that point $(t,x(t,x_0))$ belongs to $\mathfrak M$ for all $t\in[t^*,+\infty).$ Some of the statements presented here are analogues of the results obtained by E.A. Panasenko and E.L.Tonkov for systems with impulses, and in other statements the specificity of impulse actions is essentially used. The results of this paper are illustrated by the “pest-bioagents” model with impulse control and we assume that the addition of bioagents (natural enemies of the given pests) occur at fixed instants of time and the number of pests consumed on average by one biological agent per unit time is given by the trophic Holling function. We obtain conditions for asymptotic stability of the set $\mathfrak M=\bigl\{(t,x)\in \mathbb R^3_+: x_1\leqslant C_1\bigr\},$ where $x_1=y_1/K,$ $y_1$ is the size of the population of pests and $K$ is the capacity of environment.