Все выпуски

В настоящей работе мы изучаем спектральную задачу для дифференциального оператора второго порядка с инволюцией и с краевыми условиями типа Дирихле. Построена функция Грина изучаемой краевой задачи. Получены равномерные оценки функций Грина рассматриваемых краевых задач. Установлена равносходимость разложений произвольной функции из класса $L_{1}(-1,1)$ по собственным функциям двух дифференциальных операторов второго порядка с инволюцией с краевыми условиями типа Дирихле. Мы используем интегральный метод, основанный на функции Грина дифференциального оператора второго порядка с инволюцией и со спектральным параметром. Как следствие из доказанной теоремы о равносходимости разложений по собственным функциям, мы доказываем базисность в пространстве $L_{2}(-1,1)$ собственных функций спектральной задачи с непрерывным комплекснозначным коэффициентом $q(x).$

In the present paper we study the spectral problem for the second-order differential operators with involution and boundary conditions of Dirichlet type. The Green's function of this boundary problem is constructed. Uniform estimates of the Green's functions for the boundary value problems considered are obtained. The equiconvergence of eigenfunction expansions of two second-order differential operators with involution and boundary conditions of Dirichlet type for any function in $L_{2}(-1,1)$ is established. We use an integral method based on the application of the Green's function of a differential operator with involution and spectral parameter. As a corollary from the equiconvergence theorem, it is proved that the eigenfunctions of the spectral problem form the basis in $L_{2}(-1,1)$ for any continuous complex-valued coefficient $q(x)$.

В этой статье рассматриваются обратные задачи для уравнения гиперболического вида четвертого порядка с инволюцией. Существование и единственность решения изучаемых обратных задач устанавливается методом разделения переменных. Для применения метода разделения переменных доказываем базисность Рисса собственных функций дифференциального оператора четвертого порядка с инволюцией в пространстве ${{L}_{2}}(-1,1)$. При доказательстве теорем о существовании и единственности решения широко используем неравенство Бесселя для коэффициентов разложений в ряд Фурье в пространстве ${{L}_{2}}(-1,1)$. Показана существенная зависимость существования решения от коэффициента уравнения $\alpha$. В каждом из случаев $\alpha <-1$, $\alpha >1$, $-1<\alpha <1$ выписаны представления решений в виде рядов Фурье по собственным функциям краевых задач для уравнения четвертого порядка с инволюцией.

This article considers inverse problems for a fourth-order hyperbolic equation with involution. The existence and uniqueness of a solution of the studied inverse problems is established by the method of separation of variables. To apply the method of separation of variables, we prove the Riesz basis property of the eigenfunctions for a fourth-order differential operator with involution in the space ${{L}_{2}}(-1,1)$. For proving theorems on the existence and uniqueness of a solution, we widely use the Bessel inequality for the coefficients of expansions into a Fourier series in the space ${{L}_{2}}(-1,1)$. A significant dependence of the existence of a solution on the equation coefficient $\alpha$ is shown. In each of the cases $\alpha <-1$, $\alpha >1$, $-1<\alpha<1$ representations of solutions in the form of Fourier series in terms of eigenfunctions of boundary value problems for a fourth-order equation with involution are written out.