Все выпуски

Изучается задача о воздействии двухчастотных квазипериодических возмущений на системы, близкие к произвольным нелинейным двумерным гамильтоновым в случае, когда соответствующие возмущенные автономные системы имеют двойной предельный цикл. Ее решение имеет важное значение как для теории синхронизации колебаний, так и для теории бифуркаций динамических систем. В случае соизмеримости собственной частоты невозмущенной системы с частотами квазипериодического возмущения имеет место резонанс. Выводятся усредненные системы, позволяющие установить структуру резонансной зоны, то есть описать поведение решений в окрестностях индивидуальных резонансных уровней. Исследование этих систем позволяет установить возможные бифуркации, возникающие при отклонении резонансного уровня от уровня невозмущенной системы, порождающего двойной предельный цикл в возмущенной автономной системе. Полученные теоретические результаты применяются при исследовании двухчастотного квазипериодически возмущенного уравнения маятникового типа и иллюстрируются при помощи численных вычислений.

The problem of the effect of two-frequency quasi-periodic perturbations on systems close to arbitrary nonlinear two-dimensional Hamiltonian ones is studied in the case when the corresponding perturbed autonomous systems have a double limit cycle. Its solution is important both for the theory of synchronization of nonlinear oscillations and for the theory of bifurcations of dynamical systems. In the case of commensurability of the natural frequency of the unperturbed system with frequencies of quasi-periodic perturbation, resonance occurs. Averaged systems are derived that make it possible to ascertain the structure of the resonance zone, that is, to describe the behavior of solutions in the neighborhood of individual resonance levels. The study of these systems allows determining possible bifurcations arising when the resonance level deviates from the level of the unperturbed system, which generates a double limit cycle in a perturbed autonomous system. The theoretical results obtained are applied in the study of a two-frequency quasi-periodic perturbed pendulum-type equation and are illustrated by numerical computations.

В работе исследуются движения системы, состоящей из двух шарнирно соединенных тонких однородных стержней, вращающихся вокруг горизонтальных осей. Предполагается, что точка подвеса системы, совпадающая с концом одного из стержней, совершает горизонтальные высокочастотные гармонические колебания малой амплитуды.

Проведено исследование устойчивости четырех положений относительного равновесия на вертикали. Показано, что устойчивым может быть только нижнее ("висящее") положение относительного равновесия. Для системы, состоящей из двух одинаковых стержней, вопрос об устойчивости этого равновесия решен в нелинейной постановке. Также для этой же системы изучен вопрос о существовании, бифуркациях и устойчивости высокочастотных периодических движений малой амплитуды, отличных от положений относительного равновесия на вертикали.

We consider the motion of a system consisting of two hinged thin uniform rods rotating about horizontal axes. It is assumed that the point of suspension of the system coinciding with the point of suspension of one of the rods makes horizontal high-frequency harmonic oscillations of a small amplitude.

Investigation of stability of four relative equilibria in the vertical is carried out. It is proved that only the lower ("hanging") relative equilibrium can be stable if the oscillation frequency of the point of suspension doesn’t exceed the fixed value. For a system consisting of two identical rods the nonlinear problem of stability of this equilibrium is solved. The problem of existence, bifurcations and stability of high-frequency periodic motions of a small amplitude which differ from the relative equilibria in the vertical is also studied for the system.