Все выпуски

Рассматривается линейная управляемая система с неполной обратной связью с дискретным временем

x(t+1)=A(t)x(t)+B(t)u(t),   y(t)=C*(t)x(t),   u(t)=U(t)y(t),   t∈Z.

Исследуется задача управления асимптотическим поведением замкнутой системы

x(t+1)=(A(t)+B(t)U(t)C*(t))x(t), x∈Kⁿ.                (1)

Здесь K=C или K=R. Для такой системы вводится понятие согласованности. Это понятие является обобщением понятия полной управляемости на системы с неполной обратной связью. Исследовано свойство согласованности системы (1), получены новые необходимые условия и достаточные условия согласованности системы (1), в том числе в стационарном случае. Для стационарной системы вида (1) исследуется задача о глобальном управлении спектром собственных значений, которая заключается в приведении характеристического многочлена матрицы стационарной системы (1) с помощью стационарного управления U к произвольному наперед заданному полиному. Для системы (1) с постоянными коэффициентами специального вида, когда матрица A имеет форму Хессенберга, а в матрицах B и C все строки соответственно до p-й и после p-й (не включая p) равны нулю, свойство согласованности является достаточным условием глобальной управляемости спектра собственных значений. Ранее было доказано, что обратное утверждение верно для n<4 и неверно для n>5. В настоящей работе доказано, что обратное утверждение верно для n=4.

We consider a discrete-time linear control system with an incomplete feedback

x(t+1)=A(t)x(t)+B(t)u(t),   y(t)=C*(t)x(t),   u(t)=U(t)y(t),   t∈Z.

We study the problem of control over the asymptotic behavior of the closed-loop system

x(t+1)=(A(t)+B(t)U(t)C*(t))x(t), x∈Kⁿ.               (1)

where K=C or K=R. For the above system, we introduce the concept of consistency, which is a generalization of the concept of complete controllability onto systems with an incomplete feedback. The focus is on the consistency property of the system (1). We have obtained new necessary conditions and sufficient conditions for the consistency of the above system including the case when the system is time-invariant. For the time-invariant system (1), we study the problem of arbitrary placement of eigenvalue spectrum. The objective is to reduce a characteristic polynomial of a matrix of the stationary system (1) to any prescribed polynomial by means of the time-invariant control U. For the system (1) with constant coefficients of the special form where the matrix A is Hessenberg, the rows of the matrix B before the p-th and the rows of the matrix C after the p-th are equal to zero (not including p), the property of consistency is the sufficient condition for arbitrary placement of eigenvalue spectrum. It has been proved that the converse proposition is true for n<4 and false for n>5. In present paper we prove that the converse proposition is true for n=4.

Для блочных матричных линейных систем управления изучается свойство, обеспечивающее назначение произвольных матричных коэффициентов для характеристического матричного полинома. Это свойство является обобщением свойства назначаемости спектра собственных значений или назначаемости произвольных коэффициентов характеристического полинома, от систем с блочными матрицами со скалярными блоками $(s=1)$ на системы с блочными матрицами с блоками более высоких размерностей $(s>1)$. По сравнению со скалярным случаем $(s=1)$ в блочных случаях более высоких размерностей $(s>1)$ появляются новые особенности, отсутствующие в скалярном случае. Вводятся новые свойства, обеспечивающие назначение произвольных (верхнетреугольных, нижнетреугольных, диагональных) матричных коэффициентов для характеристического матричного полинома. В скалярном случае все описанные свойства эквивалентны друг другу, однако в блочных случаях более высоких размерностей это не так. Устанавливаются импликации между этими свойствами.

For block matrix linear control systems, we study the property of arbitrary matrix coefficient assignability for the characteristic matrix polynomial. This property is a generalization of the property of eigenvalue spectrum assignability or arbitrary coefficient assignability for the characteristic polynomial from system with scalar $(s=1)$ block matrices to systems with block matrices of higher dimensions $(s>1)$. Compared to the scalar case $(s=1)$, new features appear in the block cases of higher dimensions $(s>1)$ that are absent in the scalar case. New properties of arbitrary (upper triangular, lower triangular, diagonal) matrix coefficient assignability for the characteristic matrix polynomial are introduced. In the scalar case, all the described properties are equivalent to each other, but in block matrix cases of higher dimensions this is not the case. Implications between these properties are established.