Все выпуски

В работе изучается влияние цветного шума на равновесные режимы нелинейных динамических систем. Для исследования реакции системы на малые возмущения используется асимптотический подход, развивающий технику функций стохастической чувствительности. Стохастическая чувствительность равновесия в общей многомерной динамической системе задается некоторой матрицей. Для этой матрицы стохастической чувствительности в работе получено матричное алгебраическое уравнений. Точное решение этого уравнения дается для важного класса нелинейных осцилляторов с возмущениями в форме цветных шумов. Эта теория применяется к параметрическому исследованию отклика электронного генератора с жестким возбуждением на цветные шумы с различным временем корреляции. В работе исследована зависимость дисперсии случайных состояний от характерного времени корреляции. Показано, что эта зависимость может быть немонотонной и иметь максимумы, соответствующие резонансам. В работе обсуждается вероятностный механизм стохастической генерации колебаний больших амплитуд, вызванной цветным шумом.

The influence of colored noise on the equilibrium regimes of nonlinear dynamical systems is investigated. To study the response of the system to small perturbations, we use an asymptotic approach that develops the stochastic sensitivity function technique. The stochastic sensitivity of equilibrium in a general multidimensional dynamical system is defined by some matrix. For this stochastic sensitivity matrix, we obtain a matrix algebraic equation. An exact solution of this equation is given for an important class of nonlinear oscillators with perturbations in the form of colored noises. This theory is applied to the parametric study of the response of the electronic generator with hard excitation to colored noises with various correlation times. The dependence of the dispersion of random states on the characteristic correlation time is investigated. It is shown that this dependence can be nonmonotonic and have maxima corresponding to the resonances. The paper discusses the probabilistic mechanism of the stochastic generation of large-amplitude oscillations caused by color noise.

Рассматривается обобщенное уравнение Курамото-Сивашинского в случае, когда неизвестная функция зависит от двух пространственных переменных. Такой вариант данного уравнения используется в качестве математической модели формирования неоднородного рельефа на поверхности полупроводников под воздействием потока ионов. В работе данное уравнение изучается вместе с однородными краевыми условиями Неймана в трех областях: прямоугольнике, квадрате и равнобедренном треугольнике. Изучен вопрос о локальных бифуркациях при смене устойчивости пространственно однородными состояниями равновесия. Показано, что в данных трех краевых задачах реализуются послекритические бифуркации и в их результате в каждой из трех изучаемых краевых задач бифурцируют пространственно неоднородные решения. Для них получены асимптотические формулы. Выявлена зависимость характера бифуркаций от выбора, геометрии области. В частности, определен вид зависимости от пространственных переменных. Изучен вопрос об устойчивости, в смысле определения А.М. Ляпунова, найденных пространственно неоднородных решений. Анализ бифуркационных задач использовал известные методы теории динамических систем с бесконечномерным фазовым пространством: интегральных (инвариантных) многообразий, нормальных форм Пуанкаре-Дюлака в сочетании с асимптотическими методами.

The generalized Kuramoto-Sivashinsky equation in the case when the unknown function depends on two spatial variables is considered. This version of the equation is used as a mathematical model of formation of nonhomogeneous relief on a surface of semiconductors under ion beam. This equation is studied along with homogeneous Neumann boundary conditions in three regions: a rectangle, a square, and an isosceles triangle. The problem of local bifurcations in the case when spatially homogeneous equilibrium states change stability is studied. It is shown that for these three boundary value problems post-critical bifurcations occur and, as a result, spatially nonhomogeneous solutions bifurcate in each of these boundary value problems. For them asymptotic formulas are obtained. The dependence of the nature of bifurcations on the choice and geometry of the region is revealed. In particular, the type of dependence on spatial variables is determined. The problem of Lyapunov stability of spatially nonhomogeneous solutions is studied. Well-known methods from dynamical systems theory with an infinite-dimensional phase space: integral (invariant) manifolds, normal Poincare-Dulac forms in combination with asymptotic methods are used to analyze the bifurcation problems.

В работе рассматривается краевая задача для нелинейного эволюционного уравнения в частных производных, приведенная в перенормированном виде. Данная краевая задача возникает в механике роторных систем и описывает поперечные колебания вращающегося ротора постоянного сечения из вязкоупругого материала, концы которого шарнирно закреплены. Изучен вопрос об устойчивости нулевого состояния равновесия, найдено критическое значение скорости вращения ротора, при превышении которого возникают незатухающие колебания. Найдены точные решения изучаемой краевой задачи в виде одномодовых по пространственной переменной и периодической по времени функций. Выведены условия устойчивости таких решений, а также в ряде случаев дан анализ условий устойчивости. В работе показано отсутствие многомодовых периодических по времени решений. Проанализированы базовые, но важные с прикладной точки зрения частные случаи данной нелинейной краевой задачи. Все результаты анализа нелинейной краевой задачи носят аналитический характер. Их вывод опирается на качественную теорию бесконечномерных динамических систем.

We consider a boundary-value problem for the nonlinear evolution partial differential equation, given in renormalized form. This problem appears in rotary system mechanics and describes the transverse vibrations of the rotating rotor of a constant cross-section from a viscoelastic material whose ends are pivotally fixed. The question of the stability of the zero equilibrium state is studied, the critical value of the rotor speed is found, above which continuous oscillations occur. Exact solutions of the boundary-value problem are found in the form of single-mode functions with respect to the spatial variable and functions periodic in time. The stability conditions for such solutions are derived, and in some cases an analysis of the stability conditions is given. The paper shows the absence of multimode time-periodic solutions. The basic and important (from an applied point of view) particular cases of this nonlinear boundary-value problem are analyzed. All the results of the analysis of a nonlinear boundary-value problem are analytical. Their conclusion is based on the qualitative theory of infinite-dimensional dynamical systems.

Рассматривается одна из версий обобщенного вариационного уравнения Гинзбурга-Ландау, дополненная периодическими краевыми условиями. Для такой краевой задачи изучен вопрос о существовании, устойчивости и локальных бифуркациях одномодовых состояний равновесия. Показано, что в случае близком к критическому трехкратного нулевого собственного значения в задаче об устойчивости одномодовых пространственно неоднородных состояний равновесия реализуются докритические бифуркации двумерных инвариантных торов, заполненных пространственно неоднородными состояниями равновесия. Анализ поставленной задачи опирается на такие методы теории бесконечномерных динамических систем как теория инвариантных многообразий и аппарат нормальных форм. Для решений, формирующих инвариантные торы, получены асимптотические формулы.

One of the versions of the generalized variational Ginzburg-Landau equation is considered, supplemented by periodic boundary conditions. For such a boundary value problem, the question of existence, stability, and local bifurcations of single-mode equilibrium states is studied. It is shown that in the case of a nearly critical threefold zero eigenvalue, in the problem of stability of single-mode spatially inhomogeneous equilibrium states, subcritical bifurcations of two-dimensional invariant tori filled with spatially inhomogeneous equilibrium states are realized. The analysis of the stated problem is based on such methods of the theory of infinite-dimensional dynamical systems as the theory of invariant manifolds and the apparatus of normal forms. Asymptotic formulas are obtained for the solutions that form invariant tori.

В работе исследуется стохастическая динамика двумерной модели Хиндмарш-Розе. В детерминированной модели Хиндмарш-Розе возможны параметрические зоны сосуществования различных устойчивых аттракторов - равновесий и предельных циклов. Появление колебаний больших амплитуд при воздействии случайных возмущений на систему в этих зонах объясняется наличием предельного цикла. Однако стохастическая генерация осцилляций больших амплитуд возможна и в параметрической зоне, где имеется лишь одно устойчивое равновесие. В данной статье рассматривается этот случай. При малых шумах случайные состояния концентрируются вблизи устойчивого равновесия. При увеличении интенсивности шума траектории уходят далеко от равновесия, совершая колебательные движения больших амплитуд в окрестности неустойчивого равновесия. Это явление подтверждается изменением плотности распределения случайных траекторий. Проводится анализ этого эффекта с помощью техники функций стохастической чувствительности. Предлагается метод оценки критических значений интенсивности шума.

We study the stochastic dynamics of the two-dimensional Hindmarsh-Rose model. In the deterministic Hindmarsh-Rose model the parametric zones of coexistence of different stable attractors (equilibria and limit cycles) are possible. The emergence of high amplitude oscillations under the influence of random disturbances on the system in these zones is due to the presence of a limit cycle. However, the stochastic generation of high amplitude oscillations is possible in a parametric zone where the deterministic system has the only stable equilibrium. This article discusses this case. For a sufficiently low noise intensity values, random states concentrate near the stable equilibrium. With the increasing of the noise intensity, trajectories go far from the equilibrium making high amplitude oscillations in the neighborhood of the unstable equilibrium. This phenomenon is confirmed by changing of the probability distribution of random trajectories. This effect is analyzed using the stochastic sensitivity function technique. A method of estimation of critical values for noise intensity is proposed.

Метод малого параметра Пуанкаре активно применяется в небесной механике, а также в теории дифференциальных уравнений и в ее важном разделе — оптимальном управлении. В предлагаемой статье данный метод используется для построения явного вида равновесия по Нэшу и Бержу в дифференциальной позиционной игре с малым влиянием одного из игроков на скорость изменения фазового вектора.

The Poincaré small parameter method is actively used in celestial mechanics, as well as in the theory of differential equations and in its important section called optimal control. In this paper, the mentioned method is used to construct an explicit form of Nash and Berge equilibrium in a differential positional game with a small influence of one of the players on the rate of change of the state vector.

Предложен вариационный принцип, основанный на методах неравновесной термодинамики, с помощью которого исследуется задача о расчете стационарной скорости распространения пламени по перемешанной газовой смеси. Основная цель исследования заключается в формулировке вариационного принципа для минимизации искомого функционала в стационарном состоянии термодинамической системы, которое отождествляется со стационарным режимом распространения пламени. При различных формах представления потенциала рассмотрена возможность получения соотношения для расчета скорости распространения пламени, выступающей в качестве зависимой переменной.

The problem of stationary flame propagation is studied by the variational method based on the non-equilibrium thermodynamic approach. The analysis has been carried out for the case of one-dimensional propagation of premixed gaseous flame. The primary aim of the analysis is formulation of the variational principle for minimization of the functional at the stationary state of the system, which is identified as a steady-state regime of flame propagation. The possibility to obtain a relationship for the prediction of flame propagation velocity as a dependent variable has been investigated through the different representations of potential.

Говорят, что в математической модели нелинейной распределенной автоколебательной системы наблюдается феномен буферности, если подходящим выбором параметров этой системы можно обеспечить существование конечного заранее заданного числа различных устойчивых циклов. В статье исследованы некоторые математические модели естествознания, демонстрирующие феномен буферности.

We say that in mathematical model of nonlinear distributed self-oscillatory system the buffer phenomenon is observed if in this model there is any predetermined finite numbers of attractors of the same type (stable equilibrium states, stable periodic solutions, etc.) for an appropriate choice of its parameters. We investigate some mathematical models of natural sciences, which exhibit the buffer phenomenon.

Исследуется асимптотическое поведение решений разностных уравнений, правая часть каждого из которых в данный момент времени зависит не только от значения в предыдущий момент, но и от случайного параметра, принимающего значения в заданном множестве $\Omega.$ Получены условия устойчивости по Ляпунову и асимптотической устойчивости положения равновесия, выполненные для всех значений случайных параметров и выполненные с вероятностью единица. Показано, что задача о сосуществовании стохастических циклов различных периодов имеет решение, которое существенно отличается от известного результата А.Н. Шарковского для детерминированного разностного уравнения, а именно - при определенных условиях из существования стохастического цикла длины $k$ следует существование цикла любой длины $\ell>k$.

We investigate the asymptotic behavior of solutions of difference equations. Their right-hand sides at given time depend not only on the value of state at the previous moment, but also on a random value from a given set $\Omega$. We obtain conditions of Lyapunov stability and asymptotic stability of the equilibrium for all values of random parameters and with probability one. We show that the problem of coexistence of stochastic cycles of different periods has a solution, which strongly differs from a known Sharkovsky result for a determined difference equation. Under some conditions, the existence of a stochastic cycle of length $k$ implies the existence of a cycle of any length $\ell>k$.

Представлены результаты теоретического исследования процесса образования газогидрата диоксида серы при инжекции жидкой двуокиси серы в пласт, насыщенный водой и метаном. Построены автомодельные решения прямолинейно-параллельной задачи. Исследованы зависимости температуры и координаты фронта образования газогидрата диоксида серы от проницаемости пласта. Установлено, что с увеличением проницаемости пласта происходит рост температуры на поверхности фазового перехода. Вследствие этого при достаточно больших значениях проницаемости пласта температура на границе гидратообразования может превысить равновесную температуру разложения газогидрата диоксида серы, что будет соответствовать возникновению промежуточной области, насыщенной смесью воды, диоксида серы и его газогидрата, находящихся в состоянии термодинамического равновесия. Установлено, что при достаточно высоких значениях давления инжекции и проницаемости образование газогидрата диоксида серы будет происходить в протяженной области.

This paper presents the results of a theoretical study for the gas hydrate formation of sulfur dioxide by injecting liquid sulfur dioxide into a layer saturated with water and methane. Self-similar solutions of a straight-line parallel problem are constructed. The dependences of the temperature and the coordinates of the formation front of sulfur dioxide gas hydrate on the layer permeability are explored. It is established that, as the layer permeability increases, the temperature of the phase transition increases on the surface. As a result, at sufficiently large values of layer permeability, the temperature at the hydrate formation border may exceed the equilibrium decomposition temperature of sulfur dioxide gas hydrate, which will correspond to the appearance of an intermediate region saturated with a mixture of water, sulfur dioxide and its gas hydrate in a state of thermodynamic equilibrium. It is established that at sufficiently high values of injection pressure and permeability, the gas hydrate formation of sulfur dioxide will occur in the extended region.