Все выпуски

Алгоритм понижения порядка обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) с использованием оператора инвариантного дифференцирования (ОИД) допускаемой алгебры Ли модифицирован для систем ОДУ с малым параметром, допускающих приближенные алгебры Ли операторов. Приведены инвариантные представления ОДУ второго порядка и систем двух ОДУ второго порядка. Введен ОИД приближенной алгебры Ли. Показано, что можно построить ОИД специального вида, позволяющий получать первый интеграл рассматриваемой системы. Приведены примеры использования алгоритма для случаев полного и неполного наследования алгебры Ли.

The algorithm for the order reduction of ordinary differential equations (ODEs) by using the operator of invariant differentiation (OID) of admitted Lie algebra is modified for systems of ODEs with a small parameter that admit approximate Lie algebras of operators. Invariant representations of second-order ODEs and systems of two second-order ODEs are presented. The OID of approximate Lie algebra is introduced. It is shown that it is possible to construct a special type of OID, which is used for obtaining the first integral of the system considered. Examples of using the algorithm for cases of complete and incomplete inheritance of a Lie algebra are given.

Построен характеристический многочлен спектральной задачи дифференциального уравнения первого порядка на отрезке со спектральным параметром в краевом условии с интегральным возмущением, которое является целой аналитической функцией от спектрального параметра. На основе формулы характеристического многочлена доказаны выводы об асимптотике спектра возмущенной спектральной задачи.

This work is devoted to the construction of a characteristic polynomial of the spectral problem of a first-order differential equation on an interval with a spectral parameter in a boundary value condition with integral perturbation which is an entire analytic function of the spectral parameter. Based on the characteristic polynomial formula, conclusions about the asymptotics of the spectrum of the perturbed spectral problem are established.

Работа посвящена исследованию разрешимости обратной краевой задачи с неизвестным коэффициентом и правой частью, зависящей от времени, для линеаризованного уравнения Бенни-Люка с несамосопряженными краевыми и с дополнительными интегральными условиями. Задача рассматривается в прямоугольной области. Дается определение классического решения поставленной задачи. Сначала рассматривается вспомогательная обратная краевая задача и доказывается ее эквивалентность (в определенном смысле) исходной задаче. Для исследования вспомогательной обратной краевой задачи сначала используется метод разделения переменных. После применения формальной схемы метода разделения переменных решение прямой краевой задачи (при заданной неизвестной функции) сводится к решению задачи с неизвестными коэффициентами. После этого решение задачи сводится к решению некоторой счетной системы интегро-дифференциальных уравнений относительно неизвестных коэффициентов. В свою очередь, последняя система относительно неизвестных коэффициентов записывается в виде одного интегро-дифференциального уравнения относительно искомого решения. Затем, используя соответствующие дополнительные условия обратной вспомогательной краевой задачи, для определения неизвестных функций получаем систему двух нелинейных интегральных уравнений. Таким образом, решение вспомогательной обратной краевой задачи сводится к системе из трех нелинейных интегро-дифференциальных уравнений относительно неизвестных функций. Строится конкретное банахово пространство. Далее, в шаре из построенного банахова пространства с помощью сжатых отображений доказывается разрешимость системы нелинейных интегро-дифференциальных уравнений, которая также является единственным решением вспомогательной обратной краевой задачи. С использованием эквивалентности задач доказывается существование и единственность классического решения исходной задачи.

The paper investigates the solvability of an inverse boundary-value problem with an unknown coefficient and the right-hand side, depending on the time variable, for the linearized Benney-Luke equation with non-self-adjoint boundary and additional integral conditions. The problem is considered in a rectangular domain. A definition of the classical solution of the problem is given. First, we consider an auxiliary inverse boundary-value problem and prove its equivalence (in a certain sense) to the original problem. To investigate the auxiliary inverse boundary-value problem, the method of separation of variables is used. By applying the formal scheme of the variable separation method, the solution of the direct boundary problem (for a given unknown function) is reduced to solving the problem with unknown coefficients. Then, the solution of the problem is reduced to solving a certain countable system of integro-differential equations for the unknown coefficients. In turn, the latter system of relatively unknown coefficients is written as a single integro-differential equation for the desired solution. Next, using the corresponding additional conditions of the inverse auxiliary boundary-value problem, to determine the unknown functions, we obtain a system of two nonlinear integral equations. Thus, the solution of an auxiliary inverse boundary-value problem is reduced to a system of three nonlinear integro-differential equations with respect to unknown functions. A special type of Banach space is constructed. Further, in a ball from a constructed Banach space, with the help of contracted mappings, we prove the solvability of a system of nonlinear integro-differential equations, which is also the unique solution to the auxiliary inverse boundary-value problem. Finally, using the equivalence of these problems the existence and uniqueness of the classical solution of the original problem are proved.

В этой статье мы предлагаем новый метод численной аппроксимации для решения единственного решения нелинейного интегро-дифференциального уравнения Вольтерра. Нас интересует особая форма этого уравнения, в которой производная искомого решения появляется под знаком интеграла нелинейным образом. Наше видение основано на двух разных подходах: мы используем метод Нистрёма для преобразования интеграла в конечную сумму, используя формулу численного интегрирования, затем мы используем метод численной обратной разностной производной для приближения к производной нашего решения. Такое сопоставление двух разных методов, первого результата численной обработки интегральных уравнений и второго результата численной обработки дифференциальных уравнений, дает новую нелинейную систему для приближения к решению нашего уравнения. Мы показываем, что система имеет единственное решение и что это численное решение идеально сходится к нашему решению. Раздел посвящен численным тестам, в которых мы показываем эффективность нашего нового видения по сравнению с двумя методами, основанными только на численном интегрировании.

In this article, we propose a new numerical approximation method to deal with the unique solution of the nonlinear integro-differential Volterra equation. We are interested in a very particular form of this equation, in which the derivative of the sought solution appears under the integral sign in a nonlinear manner. Our vision is based on two different approaches: We use the Nyström method to transform the integral into a finite sum using a numerical integration formula, then we use the numerical backward difference derivative method to approach the derivative of our solution. This collocation between two different methods, the first outcome of the numerical processing of integral equations and the second outcome of the numerical processing of differential equations, gives a new nonlinear system for approaching the solution of our equation. We show that the system has a unique solution and that this numerical solution converges perfectly to our solution. A section is dedicated to numerical tests, in which we show the effectiveness of our new vision compared to two methods based only on numerical integration.

Рассматриваются две задачи нелинейного гарантированного оценивания фазовых состояний динамических систем. Предполагается, что неизвестные измеримые по $t$ возмущения линейно входят в уравнение движения и аддитивно — в уравнения измерения. Эти возмущения стеснены нелинейными интегральными функционалами, один из которых является аналогом функционала обобщенной работы. Исследуемая задача состоит в построении информационных множеств по данным измерения, содержащих истинное положение траектории. Используется подход динамического программирования. Если для первого функционала требуется решить нелинейное уравнение в частных производных первого порядка, что не всегда возможно, то для функционала обобщенной работы достаточно найти решение линейного уравнения Ляпунова первого порядка, что существенно упрощает задачу. Тем не менее, даже в этом случае приходится налагать дополнительные условия на параметры системы для того, чтобы траектория системы, соответствующая наблюдаемому сигналу, существовала. Если уравнение движения линейно по фазовой переменной, то многие предположения выполняются автоматически. Для этого случая обсуждается вопрос о взаимной оценке сверху и снизу информационных множеств по включению для разных функционалов. В заключение рассмотрен наиболее прозрачный линейно-квадратичный случай. Изложение иллюстрируется примерами.

Two problems of nonlinear guaranteed estimation for states of dynamical systems are considered. It is supposed that unknown measurable in $t$ disturbances are linearly included in the equation of motion and are additive in the measurement equations. These disturbances are constrained by nonlinear integral functionals, one of which is analog of functional of the generalized work. The studied problem consists in creation of the information sets according to measurement data containing the true position of the trajectory. The dynamic programming approach is used. If the first functional requires solving a nonlinear equation in partial derivatives of the first order which is not always possible, then for functional of the generalized work it is enough to find a solution of the linear Lyapunov equation of the first order that significantly simplifies the problem. Nevertheless, even in this case it is necessary to impose additional conditions on the system parameters in order for the system trajectory of the observed signal to exist. If the motion equation is linear in state variable, then many assumptions are carried out automatically. For this case the issue of mutual approximation of information sets via inclusion for different functionals is discussed. In conclusion, the most transparent linear quadratic case is considered. The statement is illustrated by examples.

В ограниченной по переменной $z$ области, имеющей слабо горизонтальную неоднородность, исследуется задача определения сверточного ядра $k(t,x)$, $t>0$, $x\in {\Bbb R}$, входящего в гиперболическое интегро-дифференциальное уравнение второго порядка. Предполагается, что это ядро слабо зависит от переменной $x$ и разлагается в степенной ряд по степеням малого параметра $\varepsilon$. Построен метод нахождения первых двух коэффициентов $k_{0}(t)$, $k_{1}(t)$ этого разложения по заданным первым двум моментам по переменной $x$ решения прямой задачи при $z=0$.

The problem of determining the convolutional kernel $k(t,x)$, $t>0$, $x \in {\Bbb R}$, included in a hyperbolic integro-differential equation of the second order, is investigated in a domain bounded by a variable $z$ and having weakly horizontal heterogeneity. It is assumed that this kernel weakly depends on the variable $x$ and decomposes into a power series by degrees of a small parameter $\varepsilon$. A method for finding the first two coefficients $k_{0}(t)$, $k_{1}(t)$ of this expansion is constructed according to the given first two moments in the variable $x$ of the solution of the direct problem at $z=0$.

В работе исследована одна обратная краевая задача для эллиптического уравнения второго порядка с дополнительным интегральным условием первого рода. Для рассматриваемой обратной краевой задачи вводится определение классического решения. С помощью метода Фурье задача сводится к решению системы интегральных уравнений. С помощью метода сжатых отображений доказывается существование и единственность решения системы интегральных уравнений. Далее доказывается существование и единственность классического решения исходной задачи.

An inverse boundary value problem for the second order elliptic equation with an additional integral condition of the first kind is investigated. We introduce the definition of a classical solution for the considered inverse boundary value problem reduced to solving of the system of integral equations by the use of the Fourier method. First, the existence and uniqueness of solutions of the system of integral equations are proved by using the method of contraction mappings; and then the existence and uniqueness of classical solutions of the original problem are proved.

В работе изучена следующая задача: для линейной автономной дифференциально-разностной системы нейтрального типа с запаздыванием в состоянии требуется обеспечить ее полное успокоение с помощью обратной связью. Для решения указанной задачи предложен линейный автономный динамический дифференциально-разностный регулятор типа обратной связи по состоянию, не выводящий замкнутую систему из исходного класса линейных автономных систем нейтрального типа. Достаточное условие существования такого регулятора совпадает с критерием полной управляемости. Кроме того, замкнутая система будет иметь конечный спектр, что существенно упрощает задачу вычисления текущего состояния в ходе технической реализации регулятора. Основная идея исследования заключается в выборе параметров регулятора так, чтобы замкнутая система стала точечно вырожденной в направлениях, отвечающих фазовым компонентам исходной (разомкнутой) системы. Для этого на начальном этапе исходная система обратной связью приводится к системе запаздывающего типа с одним входом. Далее для полученного объекта строится динамический регулятор, обеспечивающий вырождение соответствующих фазовых компонент.

Предложенная процедура построения управляющего воздействия базируется на алгебраических свойствах оператора сдвига и не предполагает вычисления корней характеристического квазиполинома исходной системы. Возможно ее использование для обеспечения замкнутой системе не только полного успокоения, но и экспоненциальной устойчивости. Однако в последнем случае возникает необходимость использовать динамические регуляторы с обратной связью по состоянию интегрального типа.

This paper examines the following problem: a linear autonomous differential-difference system of neutral type with delay in state requires ensuring its complete calming by feedback. To solve this problem linear autonomous dynamic differential-difference controller with state feedback is proposed; this controller does not exclude a closed system from the original class of linear autonomous systems of neutral type. Sufficient condition for the existence of such a controller coincides with the criterion of complete controllability. In addition, the closed system has a finite spectrum, which simplifies greatly the problem of calculating the current state during the technical implementation of the controller. The basic idea of research is to select parameters for the controller so that the closed system becomes point-degenerated in directions corresponding to phase components of the original (open) system. To do this, the original system is first converted via feedback to the single-input system of retarded type. Further, for the resulting object the dynamic controller that provides the degeneracy of the corresponding phase components is constructed.

The proposed procedure for constructing the control action is based on the algebraic properties of shift operator and does not involve calculating the roots of characteristic quasipolynomial of the original system. It can be used to provide full calming as well as exponential stability to a closed system. However, in the latter case it is necessary to use dynamic controller with state feedback of integral type.

Рассматривается нелинейная управляемая система в конечномерном евклидовом пространстве, заданная на конечном промежутке времени. Изучается одна из основных задач математической теории управления - задача о сближении фазового вектора управляемой системы с компактным целевым множеством в фазовом пространстве в фиксированный момент времени. В этой работе в качестве целевого множества выбрано множество Лебега скалярной липшицевой функции, определенной на фазовом пространстве. Упомянутая задача о сближении тесно связана с многими важными и ключевыми задачами теории управления, в частности с задачей об оптимальном по быстродействию приведении управляемой системы на целевое множество. Из-за сложности задачи о сближении для нетривиальных управляемых систем аналитическое представление решений невозможно даже для относительно простых управляемых систем. Поэтому в настоящей работе мы изучаем прежде всего вопросы, связанные с конструированием приближенного решения задачи о сближении. Конструирование приближенного решения тем методом, который изложен в работе, связано прежде всего с конструированием интегральной воронки управляемой системы, представленной в так называемом «обратном» времени. К настоящему времени известно несколько алгоритмов конструирования разрешающего программного управления в задаче о сближении. Здесь представлен алгоритм построения управления, основанный на максимальном притяжении движения системы к множеству разрешимости задачи о сближении. В работе приведены примеры.

We consider a nonlinear controlled system in a finite-dimensional Euclidean space defined on a finite time interval. One of the main problems of mathematical control theory is studied: the problem of approaching a phase vector of a controlled system with a compact target set in the phase space at a fixed time instant. In this paper, a Lebesgue set of a scalar Lipschitz function defined on the phase space is a target set. The mentioned approach problem is closely connected with many important and key problems of control theory and, in particular, with the problem of optimally reducing a controlled system to a target set. Due to the complexity of the approach problem for nontrivial controlled systems, an analytical representation of solutions is impossible even for relatively simple controlled systems. Therefore, in the present work, we study first of all the issues related to the construction of an approximate solution of the approach problem. The construction of an approximate solution by the method described in the paper is primarily concerned with the design of the integral funnel of the controlled system, presented in the so-called “reverse” time. To date, there are several algorithms for constructing a resolving program control in the approach problem. This paper presents an algorithm for constructing a control based on the maximum attraction of the system's motion to the solvability set of the approach problem. Examples are provided.

Для конфликтно-управляемой динамической системы, описываемой функционально-дифференциальным уравнением нейтрального типа в форме Дж. Хейла, рассматривается дифференциальная игра с показателем качества, который оценивает историю движения, реализующуюся к терминальному моменту времени, а также включает интегральную оценку реализаций управлений игроков. Игра формализуется в классе чистых позиционных стратегий. На основе понятия коинвариантных производных для функционала цены этой игры выписывается функциональное уравнение Гамильтона-Якоби. Доказывается, во-первых, что решение этого уравнения, удовлетворяющее определенным условиям гладкости, является ценой исходной дифференциальной игры, а во-вторых, что цена в точках дифференцируемости удовлетворяет выписанному уравнению Гамильтона-Якоби. Таким образом, это уравнение можно трактовать как уравнение Гамильтона-Якоби-Айзекса-Беллмана для систем нейтрального типа.

For a conflict-controlled dynamical system described by functional differential equations of neutral type in Hale’s form, we consider a differential game with a quality index that estimates the motion history realized up to the terminal time and includes an integral estimation of realizations of players’ controls. The game is formalized in the class of pure positional strategies. Based on a coinvariant derivatives conception we derive a Hamilton–Jacobi functional equation. It is proved, firstly, that the solution of this equation, satisfying certain conditions of smoothness, is the value of the initial differential game, and secondly, that value at points of differentiability satisfies the considered Hamilton–Jacobi equation. Thus this equation can be interpreted as the Hamilton-Jacobi-Isaacs-Bellman equation for neutral type systems.