Все выпуски

Рассматривается задача уклонения убегающего от группы преследователей в конечномерном евклидовом пространстве. Движение описывается линейной системой дробного порядка вида $$\left({}^C D^{\alpha}_{0+}z_i\right)=A z_i+u_i-v,$$ где ${}^C D^{\alpha}_{0+}f$ - производная по Капуто порядка $\alpha\in(0,1)$ функции $f$, $A$ - простая матрица. В начальный момент времени заданы начальные условия. Управления игроков ограничены одним и тем же выпуклым компактом. Убегающий дополнительно стеснен фазовыми ограничениями - выпуклым многогранным множеством c непустой внутренностью. В терминах начальных позиций и параметров игры получены достаточные условия разрешимости задачи уклонения.

The paper deals with the problem of avoiding a group of pursuers in the finite-dimensional Euclidean space. The motion is described by the linear system of fractional order $$\left({}^C D^{\alpha}_{0+}z_i\right)=A z_i+u_i-v,$$ where ${}^C D^{\alpha}_{0+}f$ is the Caputo derivative of order $\alpha\in(0,1)$ of the function $f$ and $A$ is a simple matrix. The initial positions are given at the initial time. The set of admissible controls of all players is a convex compact. It is further assumed that the evader does not leave the convex polyhedron with nonempty interior. In terms of the initial positions and the parameters of the game, sufficient conditions for the solvability of the evasion problem are obtained.

В работе рассмотрена интегрируемая гамильтонова система на алгебре Ли $so(4)$ с дополнительным интегралом четвертой степени - интегрируемый случай Адлера-ван Мёрбеке. Рассмотрены классические работы, посвященные, с одной стороны, динамике твердого тела, содержащего полости, полностью заполненные идеальной жидкостью, совершающей однородное вихревое движение, а с другой стороны, изучению геодезических потоков левоинвариантных метрик на группах Ли. Приведены уравнения движения, функция Гамильтона, скобки Ли-Пуассона, функции Казимира и фазовое пространство рассматриваемого случая. В предыдущих работах начато исследование фазовой топологии интегрируемого случая Адлера-ван Мёрбеке: приводятся в явном виде спектральная кривая, дискриминантное множество, бифуркационная диаграмма отображения момента, предъявлены характеристические показатели для определения типа критических точек ранга 0 и 1 отображения момента. В данной работе излагается алгоритм построения торов Лиувилля. Рассмотрены примеры перестроек лиувиллиевых торов при пересечении бифуркационных кривых для перестроек одного тора в два и двух торов в два.

In this paper we consider an integrable Hamiltonian system on the Lie algebra $so(4)$ with an additional integral of the fourth degree - the Adler-van Moerbeke integrable case. We discuss classical works which explore, on the one hand, the dynamics of a rigid body with cavities completely filled with an ideal fluid performing a homogeneous vortex motion and, on the other hand, are devoted to the study of geodesic flows of left-invariant metrics on Lie groups. The equations of motion, the Hamiltonian function, Lie-Poisson brackets, Casimir functions and the phase space of the case under consideration are given. In previous papers, the investigation of the phase topology of the integrable Adler-van Moerbeke case was started: a spectral curve, a discriminant set and a bifurcation diagram of the moment map are explicitly shown, and characteristic exponents for determining the type of critical points of rank 0 and 1 of the moment map are presented. In this paper we present an algorithm for constructing Liouville tori. Examples are given of bifurcations of Liouville tori at the intersection of bifurcation curves for reconstructions of one torus into two tori and of two tori into two tori.

Рассматривается задача простого преследования группой преследователей одного убегающего при условии, что среди преследователей имеются как участники, максимальные скорости которых совпадают с максимальной скоростью убегающего, так и участники, у которых максимальные скорости строго меньше максимальной скорости убегающего, и при этом убегающий не покидает пределы выпуклого многогранного множества. Получены условия, при которых преследователи с меньшими возможностями не влияют на разрешимость задачи уклонения.

The problem of simple pursuit of one evader by the group of pursuers is studied, provided that among the pursuers there are both members, the maximum speeds of which coincide with the maximum speed of the evader, and participants whose maximum speeds are strictly less than the maximum speed of the evader, while the evader does not leave a convex polyhedral set. The conditions under which the pursuers with fewer capabilities do not affect the solvability of problem of evasion are obtained.

Для современной геометрии важное значение имеет изучение геометрий максимальной подвижности. Максимальная подвижность для $n$-мерной геометрии, задаваемой функцией $f$ пары точек означает существование $n(n+1)/2$-мерной группы преобразований, оставляющей эту функцию инвариантной. Известно много геометрий максимальной подвижности (геометрия Евклида, симплектическая, Лобачевского и т.д.), но полной классификации таких геометрий нет. В данной статье методом вложения решается одна из таких классификационных задач. Суть этого метода состоит в следующем: по известной функции пары точек $g$ трехмерной геометрии находим все невырожденные функции $f$ пары точек четырехмерных геометрий, являющиеся инвариантами группы Ли преобразований размерности 10. В этой статье $g$ - это невырожденные функции пары точек двух гельмгольцевых трехмерных геометрий: $$g = 2\ln(x_i-x_j) + \dfrac{y_i-y_j}{x_i-x_j}+2z_i+2z_j,$$ $$\ln[(x_i-x_j)^2+(y_i-y_j)^2]+ 2\gamma\,\text{arctg}\dfrac{y_i-y_j}{x_i-x_j}+2z_i+2z_j.$$ Данные геометрии локально максимально подвижны, то есть их группы движений шестимерны. Задача, решаемая в этой работе, сводится к решению аналитическими методами специальных функциональных уравнений, решения которых ищутся в виде рядов Тейлора. Для перебора различных вариантов применяется пакет математических программ Maple 15. В результате получаются только вырожденные функции пары точек.

For modern geometry, the study of maximum mobility geometries is important. The maximum mobility for $n$-dimensional geometry given by the function $f$ of a pair of points means the existence of an $n(n+1)/2$-dimensional transformation group, which leaves this function invariant. Many geometries of maximum mobility are known (Euclidean, symplectic, Lobachevsky, etc.), but there is no complete classification of such geometries. In this article, the method of embedding solves one of these classification problems. The essence of this method is as follows: from the function of a pair of points $ g $ of three-dimensional geometry, we find all non-degenerate functions $f$ of a pair of points of four-dimensional geometries that are invariants of the Lie group of transformations of dimension 10. In this article, $g$ are non-degenerate functions of a pair of points of two Helmholtz three-dimensional geometries: $$g = 2\ln(x_i-x_j) + \dfrac{y_i-y_j}{x_i-x_j} + 2z_i + 2z_j, $$ $$\ln [(x_i-x_j)^2 + (y_i-y_j)^2] + 2\gamma\,\text{arctg}\dfrac{y_i-y_j}{x_i-x_j} + 2z_i + 2z_j. $$ These geometries are locally maximally mobile, that is, their groups of motions are six-dimensional. The problem solved in this work is reduced to solving special functional equations by analytical methods, the solutions of which are sought in the form of Taylor series. For searching various options, the math software package Maple 15 is used. As a result, only degenerate functions of a pair of points are obtained.

Рассматриваются две задачи простого преследования группой преследователей группы убегающих. Первая задача посвящена преследованию группой преследователей группы жестко скоординированных убегающих при равных возможностях всех участников. Предполагается, что убегающие не покидают пределы выпуклого многогранного множества, терминальные множества - выпуклые компакты и целью группы преследователей является поимка хотя бы одного убегающего. В терминах начальных позиций и параметров игры получены условия разрешимости задачи преследования и задачи уклонения.

Вторая задача посвящена преследованию группой преследователей группы убегающих в предположении, что убегающие используют программные стратегии, а каждый преследователь может поймать не более одного убегающего. Целью группы преследователей является поимка заданного числа убегающих. Терминальные множества  выпуклые компакты, множество допустимых управлений  произвольный выпуклый компакт. Получены необходимые и достаточные условия разрешимости задачи преследования.

Two differential games of the simple pursuit of a group of evaders by a group of pursuers are considered. The first problem is devoted to the pursuit of a group of rigidly co-ordinated evaders by a group of pursuers with equal possibilities for all participants. It is supposed that the evaders remain in the bounds of the convex polyhedral set, terminal sets are convex compacts and the aim of the group of pursuers is to capture at least one evader. The solvability conditions of the problem of pursuit and the problem of evasion are obtained in the terms of initial positions and parameters of the game.

The second problem is devoted to the pursuit of a group of evaders by a group of pursuers under condition that the evaders use program strategies and one pursuer can catch only one evader. The aim of a group of pursuers is to capture a specified number of evaders. Terminal sets are convex compacts, the set of possible controls is an arbitrary convex compact. Necessary and sufficient solvability conditions of the problem of pursuit are obtained.

Рассматривается конфликтное взаимодействие групп управляемых объектов. Цель группы преследователей - поймать, а группы убегающих - избежать поимки. Все игроки обладают равными динамическими возможностями. Движение игроков задается дифференциальным уравнением третьего порядка. Все убегающие используют одинаковое управление, поэтому о них можно говорить как о жестко скоординированных инерционных объектах. Доказано, что если выпуклые оболочки, натянутые на начальные ускорения группы преследователей и группы убегающих, не пересекаются, то происходит уклонение от встречи.

A conflict interaction of groups of controlled objects is considered. The pursuers' goal is to catch, and the evaders' goal is to avoid contact with pursuers. All players have equal dynamic capabilities. Players' motion is defined by a third order differential equation. All evaders have equal control, therefore they can be considered as rigidly coordinated inertial objects. It is proved that if the convex hull spanned by pursuers' initial acceleration vector is not intersected with the convex hull spanned by evaders' initial acceleration vector, then the evasion is possible.

Получены условия разрешимости задач преследования и уклонения в дифференциальной игре со многими участниками, обладающими простым движением.

The solvability conditions of problems of pursuit and evasion in differential game with many persons possessing simple motion have been obtained.

Рассматриваются две задачи простого преследования на плоскости группой преследователей одного убегающего при условии, что все игроки обладают равными возможностями. В первой задаче множеством значений допустимых управлений игроков является невырожденный треугольник. Получены необходимые и достаточные условия на начальные положения игроков для осуществления поимки тремя преследователями. Во второй задаче множеством значений допустимых управлений игроков является выпуклый компакт с непустой внутренностью. В данной задаче получены необходимые и достаточные условия на конструкцию множества значений допустимых управлений игроков, для которого существуют начальные положения трех игроков, убегающего и двух преследователей, из которых происходит поимка.

The paper deals with two simple pursuit problems on a plane with a group of pursuers and one evader. All the participants have equal capabilities. In the first problem the admissible control for every participant takes the value in a non-degenerate triangle. Necessary and sufficient conditions on initial positions of all participants are obtained for capture by three pursuers of one evader. In the second problem the admissible control for every participants takes the value in a compact set with non-empty interior. Within this problem, necessary and sufficient conditions on the structure of this compact set are received for the existence of initial positions of two pursuers and one evader from which the capture occurs.

Рассматривается задача о конфликтном взаимодействии одного убегающего и группы преследователей. Все игроки обладают равными динамическими возможностями. Движение каждого из них описывается дифференциальным уравнением четвертого порядка. Убегающий обладает полной информацией, а преследователи знают только координаты всех игроков. Поимка понимается как совпадение ускорений, скоростей и координат игроков. Предполагается, что начальное положение, скорость и ускорение убегающего принадлежат заданному конусу. Кроме того, предполагается, что третья производная функции, задающей траекторию движения убегающего, в начальный момент времени также принадлежит этому конусу. Доказано, что если число преследователей меньше размерности пространства, то в игре можно избежать «мягкой поимки».

A problem of conflict interaction of one evader with a group of pursuers is considered. All players have equal dynamic capabilities. The motion of each player is defined by a fourth order differential equation. An evader has full information, and pursuers know positions of all players only. A capture is defined as equality of accelerations, velocities and positions of players. It is assumed that initial position, velocity and acceleration of an evader are inside of the given cone. It is also assumed that a third order derivative, defining evader's path, is initially inside of this cone too. It is proved that if the number of pursuers is less than the space dimension, then runaway occurs.

Рассмотрена задача оптимального управления движением космического аппарата при коррекции его положения в инерциальной системе координат за счет управляющих моментов, получаемых от ускорений инерционных маховиков бесплатформенной инерциальной навигационной системы. Полученное оптимальное управление обеспечивает плавное изменение ориентации космического аппарата, которое рассматривается как движение по кратчайшей траектории в конфигурационном пространстве специальной ортогональной группы $SO(3)$. Алгоритм управления реализуется с использованием оригинальной процедуры нелинейной сферической интерполяции кватернионов. Основными исполнительными органами ориентации динамического контура управления бесплатформенной инерциальной навигационной системой при решении задачи оптимального управления были выбраны четыре инерционных маховика (три - по осям космического аппарата, четвертый - по биссектрисе). Результаты моделирования верифицируются путем создания анимации корректирующего движения космического аппарата.

We consider the optimal control problem for spacecraft motion during correction of its position in an inertial coordinate system by means of control torques. Control torques arise from the acceleration of inertial flywheels of a strapdown inertial navigation system. We investigate optimal control, which ensures a smooth change in the spacecraft orientation. This smooth corrective motion is described as the motion along the shortest path in the configuration space of a special orthogonal group $SO(3)$. The shortest path coincides with the large circle arc of the unit hypersphere $S^3$. We also consider a control algorithm using the original procedure of nonlinear spherical interpolation of quaternions. Four inertial flywheels are used as the main executive bodies for orientation of the dynamic control loop of the strapdown inertial navigation system when solving the optimal control problem. Three flywheels are oriented along the axes of the spacecraft. The fourth flywheel is oriented along the bisector. The simulation results are presented. We consider examples for corrective motion in which the spacecraft has zero velocity and acceleration at the beginning and end of the maneuver. We give an animation of the corrective movement of the spacecraft. The proposed formalism can be extended to control the spacecraft motion at an initial angular velocity different from zero, as well as in the orbital coordinate system.