Все выпуски

Для задачи оптимального управления системой обыкновенных дифференциальных уравнений с поточечным фазовым ограничением типа равенства и конечным числом функциональных ограничений типа равенства и неравенства формулируется устойчивый секвенциальный, или, другими словами, регуляризованный, принцип максимума Понтрягина в итерационной форме. Его главное отличие от классического принципа максимума Понтрягина заключается в том, что он, во-первых, формулируется в терминах минимизирующих последовательностей, во-вторых, имеет форму итерационного процесса в пространстве двойственных переменных и, наконец, в-третьих, устойчиво к ошибкам исходных данных оптимизационной задачи порождает в ней минимизирующее приближенное решение в смысле Дж. Варги, т.е. представляет собою регуляризирующий алгоритм. Доказательство регуляризованного принципа максимума Понтрягина в итерационной форме опирается на методы двойственной регуляризации и итеративной двойственной регуляризации.

The stable sequential Pontryagin maximum principle or, in other words, the regularized Pontryagin maximum principle in iterative form is formulated for the optimal control problem of a system of ordinary differential equations with pointwise phase equality constraint and a finite number of functional equality and inequality constraints. The main difference between it and the classical Pontryagin maximum principle is that, firstly, it is formulated in terms of minimizing sequences, secondly, the iterative process occurs in dual space and, thirdly, it is resistant to errors of raw data and gives a minimizing approximate solution in the sense of J. Warga. So it is a regularizing algorithm. The proof of the regularized Pontryagin maximum principle in iterative form is based on the methods of dual regularization and iterative dual regularization.

Для задачи оптимального управления линейным параболическим уравнением с распределенным, начальным и граничным управлениями и с операторным полуфазовым ограничением типа равенства формулируется устойчивый секвенциальный, или, другими словами, регуляризованный, принцип максимума Понтрягина в итерационной форме. Его главное отличие от классического принципа максимума Понтрягина заключается в том, что он, во-первых, формулируется в терминах минимизирующих последовательностей, во-вторых, имеет форму итерационного процесса в пространстве двойственных переменных и, наконец, в-третьих, устойчиво к ошибкам исходных данных оптимизационной задачи порождает в ней минимизирующее приближенное решение в смысле Дж. Варги, т.е. представляет собой регуляризирующий алгоритм. Доказательство регуляризованного принципа максимума Понтрягина в итерационной форме опирается на методы двойственной регуляризации и итеративной двойственной регуляризации. Приводятся результаты модельных расчетов при решении конкретной задачи оптимального управления, иллюстрирующих работу алгоритма, основанного на регляризованном итерационном принципе максимума Понтрягина. В качестве конкретной оптимизационной задачи рассмотрена задача поиска минимальной по норме тройки управлений при операторном ограничении-равенстве в финальный момент времени, или, другими словами, обратная задача финального наблюдения по поиску ее нормального решения.

The stable sequential Pontryagin maximum principle or, in other words, the regularized Pontryagin maximum principle in iterative form is formulated for the optimal control problem of a linear parabolic equation with distributed, initial and boundary controls and operator semiphase equality constraint. The main difference between it and the classical Pontryagin maximum principle is that, firstly, it is formulated in terms of minimizing sequences, secondly, the iterative process occurs in dual space, and thirdly, it is resistant to error of raw data and gives a minimizing approximate solution in the sense of J. Warga. So it is a regularizing algorithm. The proof of the regularized Pontryagin maximum principle in iterative form is based on the dual regularization methods and iterative dual regularization. The results of model calculations of the concrete optimal control problem illustrating the work of the algorithm based on the regularized iterative Pontryagin maximum principle are presented. The problem of finding a control triple with minimal norm under a given equality constraint at the final instant of time or, in other words, the inverse final observation problem of finding a normal solution is used as a concrete model optimal control problem.

Рассматривается регуляризация принципа Лагранжа (ПЛ) в выпуклой задаче условной оптимизации с операторным ограничением-равенством в гильбертовом пространстве и конечным числом функциональных ограничений-неравенств. Целевой функционал задачи не является, вообще говоря, сильно выпуклым, а на множество ее допустимых элементов, которое также принадлежит гильбертову пространству, не накладывается условие ограниченности. Получение регуляризованного ПЛ основано на методе двойственной регуляризации и предполагает использование двух параметров регуляризации и двух соответствующих условий согласования одновременно. Один из регуляризирующих параметров «отвечает» за регуляризацию двойственной задачи, другой же содержится в сильно выпуклом регуляризирующем добавке к целевому функционалу исходной задачи. Основное предназначение регуляризованного ПЛ — устойчивое генерирование обобщенных минимизирующих последовательностей, аппроксимирующих точное решение задачи по функции и по ограничениям, для целей ее непосредственного практического устойчивого решения.

We consider the regularization of the Lagrange principle (LP) in the convex constrained optimization problem with operator constraint-equality in a Hilbert space and with a finite number of functional inequality-constraints. The objective functional of the problem is not, generally speaking, strongly convex. The set of admissible elements of the problem is also embedded into a Hilbert space and is not assumed to be bounded. Obtaining a regularized LP is based on the dual regularization method and involves the use of two regularization parameters and two corresponding matching conditions at the same time. One of the regularization parameters is «responsible» for the regularization of the dual problem, while the other is contained in a strongly convex regularizing addition to the objective functional of the original problem. The main purpose of the regularized LP is the stable generation of generalized minimizing sequences that approximate the exact solution of the problem by function and by constraint, for the purpose of its practical stable solving.

Рассматриваются ударные движения плоских твердых дисков над неподвижной горизонтальной плоскостью в однородном поле тяжести. Плоскость является абсолютно гладкой, соударения с плоскостью - абсолютно упругими. Диски движутся в вертикальной плоскости и вращаются вокруг горизонтальной оси, при этом они могут отрываться от плоскости с последующими ударами и прыжками. Приведены двумерные отображения таких движений дисков на фазовой плоскости при различных энергиях. Также определены стационарные точки и проведен полный анализ их линейной устойчивости. Показано, что в плоскости параметров имеется множество зон устойчивости и неустойчивости в первом приближении. Получены явные аналитические условия устойчивости и неустойчивости через параметры задачи.

We consider the motion of a flat rigig disks bouncing off a horizontal plane in the gravity field. The plane is assumed to be absolutely smooth and the impact absolutely elastic. The disks move in vertical plane and rotate around horizontal axis, while the disks are able to break off from the plane with following impacts and bounces. For different values of the energy, 2D projections of the disk’s trajectories onto the phase plane are given. The stationary points are determined and their linear stability is studied in detail. It is shown, there are alternating domains of linear stability and instability in the first approximation in the plane parameters. The stability conditions are expressed analytically in terms of the parameters of the problem.

Классическая система реакции-диффузии — система Шнакенберга — рассматривается в ограниченной области $m$-мерного пространства, на границе которой предполагаются выполненными краевые условия Неймана. Изучается диффузионная неустойчивость стационарного пространственно-однородного решения этой системы, называемая также неустойчивостью Тьюринга, возникающая при изменении коэффициента диффузии $d.$ Путем анализа линеаризованной системы в бездиффузионном и диффузионном приближениях получено аналитическое описание области необходимых и достаточных условий неустойчивости Тьюринга на плоскости параметров системы. Показано, что одна из границ области необходимых условий является огибающей семейства кривых, ограничивающих область достаточных условий. При этом точки пересечения двух соседних кривых лежат на прямой, угловой коэффициент которой зависит от собственных значений оператора Лапласа в рассматриваемой области и не зависит от коэффициента диффузии. Найдено аналитическое выражение критического коэффициента диффузии, при котором происходит потеря устойчивости положения равновесия системы. Указаны условия, в зависимости от которых множество волновых чисел, соответствующих нейтральным модам устойчивости, счетно, конечно или пусто. Показано, что полуось $d>1$ можно представить в виде счетного объединения полуинтервалов, каждому из которых соответствует минимальное волновое число, при котором происходит потеря устойчивости, причем точки разбиения полуоси выражаются через собственные значения оператора Лапласа в рассматриваемой области.

A classical reaction-diffusion system, the Schnakenberg system, is under consideration in a bounded domain $\Omega\subset\mathbb{R}^m$ with Neumann boundary conditions. We study diffusion-driven instability of a stationary spatially homogeneous solution of this system, also called the Turing instability, which arises when the diffusion coefficient $d$ changes. An analytical description of the region of necessary and sufficient conditions for the Turing instability in the parameter plane is obtained by analyzing the linearized system in diffusionless and diffusion approximations. It is shown that one of the boundaries of the region of necessary conditions is an envelope of the family of curves that bound the region of sufficient conditions. Moreover, the intersection points of two consecutive curves of this family lie on a straight line whose slope depends on the eigenvalues of the Laplace operator and does not depend on the diffusion coefficient. We find an analytical expression for the critical diffusion coefficient at which the stability of the equilibrium position of the system is lost. We derive conditions under which the set of wavenumbers corresponding to neutral stability modes is countable, finite, or empty. It is shown that the semiaxis $d>1$ can be represented as a countable union of half-intervals with split points expressed in terms of the eigenvalues of the Laplace operator; each half-interval is characterized by the minimum wavenumber of loss of stability.

Изучаются недавно введенные понятия меры устойчивости и меры неустойчивости разного типа: ляпуновского, перроновского или верхнепредельного. Эти понятия допускают естественную вероятностную интерпретацию, которая показывает зависимость конкретных свойств решений дифференциальной системы, начинающихся близко к ее нулевому решению, от сколь угодно малых возмущений начальных значений задачи Коши с фиксированным начальным моментом. В работе исследуется как раз зависимость самих этих мер от начального момента. Доказано, что эта зависимость полностью отсутствует для одномерных и автономных систем, а также для многих типов устойчивости или неустойчивости линейных систем. Кроме того, доказано, что крайние значения самих мер устойчивости или неустойчивости всегда инвариантны относительно выбора начального момента. Наконец, приведен пример системы, для которой эта зависимость, напротив, проявляется в максимально возможной степени.

The recently introduced concepts of stability measures and instability measures of different types are studied: Lyapunov, Perron or upper-limit. These concepts allow a natural probabilistic interpretation, which shows the dependence of specific properties of solutions of a differential system, starting close to its zero solution, on arbitrarily small perturbations of the initial values of the Cauchy problem with a fixed initial moment. The work examines precisely the dependence of these measures on the initial moment. It has been proved that this dependence is completely absent for one-dimensional and autonomous systems, as well as for many types of stability or instability of linear systems. Moreover, it has been proved that the extreme values of the measures of stability or instability themselves are always invariant with respect to the choice of the initial moment. Finally, an example of a system is given for which this dependence, on the contrary, manifests itself to the maximum possible extent.

Проводится исследование динамической эволюции шести моделей рассеянных звездных скоплений по данным о фазовых координатах звезд, полученных при численном интегрировании уравнений движения звезд. Для этой цели используются фазовые координаты звезд для 100 равноотстоящих моментов времени от начального t=0 до t_m≅5.1τ_vr (τ_vr - начальное время бурной релаксации скопления). На этом интервале времени ошибки, связанные с округлением и экспоненциальным нарастанием возмущений в исходных координатах звезд, существенно не сказываются на статистических выводах о характере движения звезд скопления. Метод исследования основан на вычислениях взаимных корреляционных функций C_1,2=C_1,2(τ,r) (τ - временная задержка, r - расстояние между точками) для флуктуаций фазовой плотности и применении Фурье-преобразования функций C_1,2 для расчета спектра частот и дисперсионных соотношений. Анализ графиков функций C_1,2, спектров частот и дисперсионных кривых подтверждает существование в моделях волн фазовой плотности, позволяет установить полный спектр радиальных колебаний фазовой плотности, отделить устойчивые колебания от неустойчивых, рассчитать периоды колебаний фазовой плотности и инкременты нарастания неустойчивых колебаний фазовой плотности. Подтверждены теоретические оценки периодов известных неустойчивых гомологических колебаний ядер моделей скоплений. Указываются некоторые астрофизические приложения полученных результатов: возникновение иррегулярных структур в рассеянных скоплениях, слабая турбулентность в движениях звезд скоплений.

The investigation of dynamical evolution of 6 open cluster models is carried out on data about phase coordinates of stars received by numerical integration of stellar motion equations. To attain the aim the phase coordinates of stars for 100 equidistant moments of time from the initial t=0 to t_m≅5.1τ_vr (τ_vr is the initial time of cluster violent relaxation), are used. Over the interval of time the rounding-off errors and errors because of exponential growth of initial coordinates perturbations do not affect statistical conclusions about motion behavior of cluster stars. The investigation method is based on calculations of mutual correlation functions C_1,2=C_1,2(τ,r) (τ  is the time delay, r is the distance between the points) for phase density fluctuations and application of Fourier transformations of functions C_1,2 in order to calculate frequency spectra and dispersion relations. The analysis of graphics C_1,2, frequency spectra and dispersion curves confirms the existence of phase density waves in cluster models, allows to get a complete spectrum of phase density radial oscillations, to separate stable and unstable oscillations, to calculate the periods of phase density oscillations and increments of unstable phase density oscillations. The theoretical estimations of periods of known unstable homological core oscillations of cluster models are confirmed. Pointed out are some astrophysical applications of results received: the origin of irregular structures in open clusters, weak turbulence of cluster star motions.

Предлагается осесимметрическая модель, построенная на основе уравнений Стокса, для исследования образования многокольцевой структуры в ползущем двухслойном течении с переменной толщиной слоев. Каждый слой имеет постоянную плотность и вязкость. Верхний слой имеет меньшую плотность, чем нижний. Течение создается рельефом поверхности и границы раздела слоев. Предполагается, что эффекты поверхностного натяжения пренебрежимо малы. Мы используем асимптотический метод многих масштабов для получения уравнений, описывающих неустойчивость, возникающую в виде волны в этом течении. С помощью преобразований Фурье и Лапласа мы исследуем уравнения главного приближения для этой неустойчивости в предположении малости возмущений. Асимптотическое исследование показывает, что эта неустойчивость проявляется в виде осесимметричной волны, длина которой соизмерима с толщиной слоев, и толщины слоев играют главную роль в пространственном распределении ее экстремумов. Остальные параметры модели влияют в основном на амплитуду волны. Получено уравнение, связывающее толщины слоев с распределением экстремумов, которое применяется для исследования закономерности расположения кольцевых хребтов, наблюдаемой для большинства крупномасштабных кольцевых структур на Луне. Используя параметры некоторых лунных кольцевых структур, мы определили радиусы последовательно расположенных экстремумов неустойчивости и провели сравнение модельных результатов с радиусами концентрических хребтов некоторых многокольцевых структур на Луне.

The axisymmetric model based on the Stokes equations is proposed to investigate the multi-ring pattern formation in two-layer creeping flow with variable thickness of layers. Each layer has uniform density and viscosity. The upper layer is lighter than the lower layer. The flow is generated by both surface and interface geometry. The effect of surface tension is supposed to be negligible. We apply the method of multiple scales to obtain the governing equations describing instability in the form of wave in the flow. Using the Fourier-Laplace method, we analyze the small-amplitude leading behavior of the instability. The asymptotic study reveals that this kind of instability manifests itself as axisymmetric wave which length is comparable with layer thickness; moreover, layer thicknesses play a major role in spatial distribution of wave extrema. The other model parameters alter mostly the wave amplitude. The equation relating extrema distribution to layer thicknesses is derived. We apply the obtained results to study a ring spacing rule observed for most multi-ring basins on the Moon. Using parameters of some lunar multi-ring basins we calculate the consecutive crest radii of the unstable wave and compare the results of simulation with the measured ring radii.

Рассматривается плоское движение твердого тела в однородном поле тяжести. Тело подвешено на невесомой нерастяжимой нити. Предполагается, что во все время движения тела нить остается натянутой. Изучены нелинейные периодические колебания тела в окрестности его устойчивого положения равновесия на вертикали. Эти движения рождаются из малых (линейных) нормальных колебаний тела. Вопрос о существовании таких движений решается при помощи теоремы Ляпунова о голоморфном интеграле. Указан алгоритм построения этих движений при помощи метода канонических преобразований. Соответствующие решения представимы в виде рядов по малому параметру, характеризующему амплитуду порождающих нормальных колебаний. Дано строгое решение нелинейной задачи об орбитальной устойчивости построенных движений. Указаны возможные области параметрического резонанса (области неустойчивости), рассмотрены случаи резонансов третьего и четвертого порядков, а также нерезонансный случай. Исследование опирается на методы Ляпунова и Пуанкаре и КАМ-теорию.

The planar motion of a rigid body in a uniform gravity field is considered. The body is suspended on a weightless inextensible thread. The thread is assumed to remain taut during the motion of the body. Nonlinear periodic oscillations of the body in the vicinity of its stable equilibrium position on the vertical are studied. These motions are generated by small (linear) normal body vibrations. The question of the existence of such motions is solved with the Lyapunov theorem on a holomorphic integral. An algorithm for constructing these motions using the canonical transformation method is proposed. The corresponding solutions are represented in the form of series in a small parameter characterizing the amplitude of the generating normal oscillations. A rigorous solution is given to the nonlinear problem of orbital stability of the motions obtained. Possible regions of parametric resonance (instability regions) are indicated. The third and fourth order resonance cases, as well as a nonresonant case, are considered. The study is based on the Lyapunov and Poincaré methods and KAM-theory.

Рассматривается движение математического маятника, установленного на подвижной платформе. Платформа вращается вокруг заданной вертикали с постоянной угловой скоростью $\omega$ и одновременно совершает гармонические колебания с амплитудой $A$ и частотой $\Omega$ вдоль вертикали. Амплитуда колебаний предполагается малой по сравнению с длиной маятника $\ell$ $(A=\varepsilon \ell,\ 0<\varepsilon \ll 1) $. Рассмотрено три типа движений. Для первых двух типов маятник неподвижен относительно платформы и располагается вдоль ее оси вращения (висящий и перевернутый маятники). Для третьего типа движений маятник совершает периодические колебания с периодом, равным периоду вертикальных колебаний платформы. Эти колебания имеют амплитуду порядка $\varepsilon$ и при $\varepsilon = 0$ переходят в положение относительного равновесия, в котором маятник составляет постоянный угол с вертикалью. Третий тип движения существует, если угловая скорость вращения платформы достаточно большая ($\omega^2 \ell>g$, где $g$ - ускорение свободного падения). В статье решается задача об устойчивости этих трех типов движения маятника для малых значений $\varepsilon$. Рассмотрены как нерезонансные случаи, так и случаи, когда в системе реализуются резонансы второго, третьего и четвертого порядка. В пространстве трех безразмерных параметров задачи $g/(\omega^2 \ell)$, $\Omega / \omega$ и $\varepsilon$ выделены области устойчивости по Ляпунову и области неустойчивости. Исследование опирается на классические методы и алгоритмы Ляпунова, Пуанкаре и Биркгофа, а также на современные методы анализа динамических систем при помощи КАМ-теории.

The motion of a mathematical pendulum mounted on a movable platform is considered. The platform rotates around a given vertical with a constant angular velocity $\omega$ and simultaneously executes harmonic oscillations with amplitude $A$ and frequency $\Omega$ along the vertical. The amplitude of oscillations is assumed to be small in comparison with the length $\ell$ of the pendulum $(A=\varepsilon \ell,\ 0<\varepsilon \ll 1) $. Three types of motions are considered. For the first two types, the pendulum is stationary relative to the platform and is located along its axis of rotation (hanging and inverted pendulum). For the third type of motions, the pendulum performs periodic oscillations with a period equal to the period of vertical oscillations of the platform. These oscillations have an amplitude of order $\varepsilon$ and at $\varepsilon = 0$ become relative equilibrium positions, in which the pendulum is a constant angle from the vertical. The motion of the third type exists if the angular velocity of rotation of the platform is large enough ($\omega^2 \ell>g$, $g$ is acceleration of gravity). In this paper, the problem of stability of these three types of pendulum motions for small values of $\varepsilon$ is solved. Both nonresonant cases and cases where resonances of the second, third and fourth orders occur in the system are considered. In the space of three dimensionless parameters of the problem, Lyapunov's stability and instability regions are singled out. The study is based on classical methods and algorithms due to Lyapunov, Poincaré and Birkhoff, as well as on modern methods of dynamical system analysis using Kolmogorov-Arnold-Moser (KAM) theory.