Все выпуски

Работа посвящена дифференциальным включениям (д.в.) на конечном промежутке времени. Обсуждаются вопросы, касающиеся вычисления множеств достижимости д.в. Как правило, множества достижимости не поддаются эффективному аналитическому описанию. В то же время часто возникает потребность в их вычислении. Довольно часто она появляется, например, в теории управления, стимулируя развитие методов и алгоритмов приближенного вычисления множеств достижимости.

The paper is devoted to differential inclusions (DI) on finite time intervals. We consider some questions of computation of attainable sets for DI. The above sets are rarely describable analytically in an effective way though, often, there is a necessity for their computation, for example, in control theory, in which the above computation is a stimulus to develop methods and algorithms used to approximately compute attainable sets.

Рассматривается стационарная управляемая система в конечномерном эвклидовом пространстве и на конечном промежутке времени. Изучается задача о сближении управляемой системы с компактным целевым множеством на заданном промежутке времени. Один из подходов к решению рассматриваемой задачи о сближении основан на выделении в пространстве позиций множества разрешимости, т.е. множества всех позиций системы, из которых, как из начальных, разрешима задача о сближении. Конструирование множества разрешимости - самостоятельная сложная и трудоемкая задача, которую удается точно решить лишь в редких случаях. В настоящей работе рассматриваются вопросы приближенного конструирования множества разрешимости в задаче о сближении нелинейной стационарной управляемой системы. Эта задача, как известно, тесно сопряжена с задачей конструирования интегральных воронок и трубок траекторий управляемых систем. Интегральные воронки управляемых систем можно приближенно конструировать по (временным) шагам как наборы соответствующих множеств достижимости, поэтому одним из основных элементов разрешающей конструкции в настоящей работе являются множества достижимости. В работе предлагается схема приближенного вычисления множества разрешимости задачи о сближении управляемой стационарной системы на конечном промежутке времени. В основе этой схемы лежит сведение к приближенному вычислению множеств разрешимости конечного числа более простых задач - задач о сближении с целевым множеством в фиксированные моменты времени из заданного временного промежутка. При этом моменты времени должны выбираться достаточно плотно в упомянутом промежутке времени. В работе проведено математическое моделирование задачи о сближении механической системы «Трансляционный осциллятор с ротационным актуатором». Представлено графическое сопровождение решения задачи.

A time-invariant control system on a finite time interval in the finite-dimensional Euclidean space is considered. We discuss a problem of guidance with a compact target set for a control system on a given time interval. One way to solve the considered guidance problem is based on finding a solvability set in the phase space, namely, a set of all system positions from which, as from the initial ones, the guidance problem is solvable. The construction of the solvability set is an independent time-consuming problem which rarely has an exact solution. In this paper we discuss the approximate construction of a solvability set in the guidance problem for a time-invariant nonlinear control system. It is well-known that this problem is closely connected with the problem of constructing integral funnels and trajectory tubes of control systems. Integral funnels of control systems can be approximately constructed step-by-step as sets of corresponding attainability sets, therefore, attainability sets are considered to be the basic elements of the solving construction in this paper. Here, we propose a scheme of the solvability set approximate construction in a guidance problem for a time-invariant control system on a finite time interval. The basis of this scheme is reduction to the solvability sets approximate calculation of a finite number of simpler problems, namely, problems of guidance with the target set at fixed time moments from the given time interval. Wherein, the moments of time have to be chosen quite tightly in the mentioned time interval. As an example, we provide mathematical modeling of the guidance problem of the control system named “Translational Oscillator with Rotating Actuator” as well as the graphical support of the problem solution.

Рассматривается нелинейная управляемая система в конечномерном евклидовом пространстве, заданная на конечном промежутке времени. Изучается одна из основных задач математической теории управления - задача о сближении фазового вектора управляемой системы с компактным целевым множеством в фазовом пространстве в фиксированный момент времени. В этой работе в качестве целевого множества выбрано множество Лебега скалярной липшицевой функции, определенной на фазовом пространстве. Упомянутая задача о сближении тесно связана с многими важными и ключевыми задачами теории управления, в частности с задачей об оптимальном по быстродействию приведении управляемой системы на целевое множество. Из-за сложности задачи о сближении для нетривиальных управляемых систем аналитическое представление решений невозможно даже для относительно простых управляемых систем. Поэтому в настоящей работе мы изучаем прежде всего вопросы, связанные с конструированием приближенного решения задачи о сближении. Конструирование приближенного решения тем методом, который изложен в работе, связано прежде всего с конструированием интегральной воронки управляемой системы, представленной в так называемом «обратном» времени. К настоящему времени известно несколько алгоритмов конструирования разрешающего программного управления в задаче о сближении. Здесь представлен алгоритм построения управления, основанный на максимальном притяжении движения системы к множеству разрешимости задачи о сближении. В работе приведены примеры.

We consider a nonlinear controlled system in a finite-dimensional Euclidean space defined on a finite time interval. One of the main problems of mathematical control theory is studied: the problem of approaching a phase vector of a controlled system with a compact target set in the phase space at a fixed time instant. In this paper, a Lebesgue set of a scalar Lipschitz function defined on the phase space is a target set. The mentioned approach problem is closely connected with many important and key problems of control theory and, in particular, with the problem of optimally reducing a controlled system to a target set. Due to the complexity of the approach problem for nontrivial controlled systems, an analytical representation of solutions is impossible even for relatively simple controlled systems. Therefore, in the present work, we study first of all the issues related to the construction of an approximate solution of the approach problem. The construction of an approximate solution by the method described in the paper is primarily concerned with the design of the integral funnel of the controlled system, presented in the so-called “reverse” time. To date, there are several algorithms for constructing a resolving program control in the approach problem. This paper presents an algorithm for constructing a control based on the maximum attraction of the system's motion to the solvability set of the approach problem. Examples are provided.

Исследуются условия, при которых управляемая система ẋ = f(t, x, u), u ∈ U(t, x), вместе с замыканием множества сдвигов (относительно времени t) управляемой системы обладает свойством равномерной локальной или равномерной глобальной достижимости на заданном отрезке времени. Не предполагается, что функция (t, x) → U(t, x), задающая геометрические ограничения на допустимые управления u(t, x) ∈ U(t, x), имеет выпуклые компактные образы и не предполагается, что соответствующее управляемой системе дифференциальное включение имеет выпуклые образы.

We investigate the conditions under which the control system ẋ = f(t, x, u), u ∈ U(t, x) together with closure of set of shifts (concerning time t) of control system possesses property of uniform local or uniform global attainability on the given time interval. We do not suppose that function (t, x) → U(t, x), setting geometrical restrictions on admissible controls u(t, x) ∈ U(t, x), has convex compact images and we do not suppose that differential inclusion corresponding to control system has convex images.

Рассматривается нелинейная управляемая система в конечномерном евклидовом пространстве и на конечном промежутке времени, зависящая от параметра. Изучаются множества достижимости и интегральные воронки дифференциального включения, соответствующего управляемой системе, содержащей параметр. При исследовании многочисленных задач теории управления и дифференциальных игр, конструировании их решений и оценивании погрешностей применяются различные теоретические подходы и ассоциированные с ними вычислительные методы. К упомянутым задачам принадлежат, например, различного рода задачи о сближении, разрешающие конструкции которых могут быть описаны достаточно просто в терминах множеств достижимости и интегральных воронок. В настоящей работе изучается зависимость множеств достижимости и интегральных воронок от параметра: оценивается степень этой зависимости от параметра при определенных условиях на управляемую систему. Степень зависимости интегральных воронок исследована на предмет изменения их объема при варьировании параметра. Для оценки этой зависимости вводятся системы множеств в фазовом пространстве, аппроксимирующие множества достижимости и интегральные воронки на заданном промежутке времени, отвечающие конечному разбиению этого промежутка. При этом сначала оценивается степень зависимости аппроксимирующей системы множеств от параметра, и затем эта оценка используется при оценке зависимости объема интегральной воронки дифференциального включения от параметра. Такой подход естественен и особенно полезен при изучении конкретных прикладных задач управления, при решении которых в конечном итоге приходится иметь дело не с идеальными множествами достижимости и интегральными воронками, а с их аппроксимациями, отвечающими дискретному представлению временного промежутка.

We consider a nonlinear control system in a finite-dimensional Euclidean space and on a finite time interval, which depends on a parameter. Reachable sets and integral funnels of a differential inclusion corresponding to a control system containing a parameter are studied. When studying numerous problems of control theory and differential games, constructing their solutions and estimating errors, various theoretical approaches and associated computational methods are used. The problems mentioned above include, for example, various types of approach problems, the resolving constructions of which can be described quite simply in terms of reachable sets and integral funnels. In this paper, we study the dependence of reachable sets and integral funnels on a parameter: the degree of this dependence on a parameter is estimated under certain conditions on the control system. The degree of dependence of the integral funnels is investigated for the change in their volume with a change in the parameter. To estimate this dependence, systems of sets in the phase space are introduced that approximate the reachable sets and integral funnels on a given time interval corresponding to a finite partition of this interval. In this case, the degree of dependence of the approximating system of sets on the parameter is first estimated, and then this estimate is used in estimating the dependence of the volume of the integral funnel of the differential inclusion on the parameter. This approach is natural and especially useful in the study of specific applied control problems, in solving which, in the end, one has to deal not with ideal reachable sets and integral funnels, but with their approximations corresponding to a discrete representation of the time interval.

Рассматривается стационарная управляемая система в евклидовом пространстве, заданная на конечном промежутке времени. Изучается одна из центральных в теории управления задач  задача о сближении управляемой системы с множеством в фазовом пространстве системы в фиксированный (конечный) момент времени. Эта задача тесно связана с многими ключевыми задачами теории управления, например, с задачей об оптимальном быстродействии. В связи с этим представляется важным иметь эффективные алгоритмы построения решений этой задачи. Из-за сложности задачи невозможно аналитическое описание решений даже в относительно простых случаях. Построение приближенных решений задачи связано с конструированием интегральной воронки управляемой системы, но обращенной во времени. В работе приводится один алгоритм приближенного построения интегральной воронки, представляющей собой конечную аппроксимацию множества разрешимости задачи о сближении. В работе также описана процедура приближенного вычисления разрешающего управления, которая включает в себя запоминание локальных управлений. Приводится иллюстрирующий пример механической управляемой системы.

A stationary control system defined on a finite time interval in Euclidean space is considered. We discuss one of the main problems of control theory, which is a problem of approach of a control system and a set in a phase space at a fixed time. This problem is closely connected with key problems in control theory, for example, with a problem of optimal performance. That is why it is necessary to find effective algorithms for solving this task. Due to the complexity of this problem it is impossible to solve it analytically even for simple cases. The construction of approximate solutions considered in this paper is connected with the construction of integral funnel of the control system inverted in time. This work contains the description of one algorithm for the integral funnel construction which is a final approximation of a solvability set for a problem of approach. The procedure of finding solvability control of the approximate solution based on local control saving is described. Illustrating example of a mechanical control system is provided.

Рассматривается нелинейная управляемая система в конечномерном евклидовом пространстве на конечном промежутке времени. Изучается задача о сближении системы с заданным компактом в конечный момент времени. Обсуждается проблема приближенного решения задачи о сближении. Используется подход к построению приближенного решения задачи, основу которого составляют конструкции, базирующиеся на понятии множества разрешимости задачи о сближении. Вводится понятие управления-компенсатора как с дополнительными управляющими воздействиями, так и без них. Предлагается новая схема приближенного попятного построения множества разрешимости, а также схема конструирования программного управления, разрешающего приближенно задачу о сближении. В ней управляющее воздействие разбивается на «основное» и «компенсирующее». Построена оценка отклонения управляемой системы от целевого множества в конечный момент времени и тем самым показано, что использование в процессе управления дополнительного управления-компенсатора может существенно улучшить результат управления системой.

We consider the nonlinear controlled system in a finite-dimensional Euclidean space in a finite time interval. We study the problem of a system approaching a given compact set in finite time. Approximate solution of the approaching problem is discussed. The approach used to construct an approximate solution is based on constructions based on the notion of a set of solvability of the approaching problem. The concept of correcting control with and without additional operating influences is introduced. We propose a scheme of approximate backward construction of the solvability set, as well as the scheme of control software, which allows finding approximately a solution to the approaching problem. In it, the operating influence breaks down into “main” and “correcting”. An estimate of the deviation of the operated system from the target set at the final moment is constructed and it is shown that the use of additional correcting control in the control process can essentially improve the result of control.