Все выпуски

Пусть $f(z)$ — мероморфная функция на комплексной плоскости конечного порядка $\rho>0$, $\rho(r)$ — уточненный порядок в смысле Бутру такой, что $0<\alpha=\liminf\limits_{r\to\infty}\rho(r)\leqslant\limsup\limits_{r\to\infty}\rho(r)=\rho<\infty$. Если $[\alpha]<\alpha\leqslant\rho<[\alpha]+1$, то типы $T(r,f)$ и $|N|(r,f)$ относительно $\rho(r)$ совпадают. Если между $\alpha$ и $\rho$ есть целые числа, то полученный критерий формулируется в терминах верхней плотности нулей и полюсов функции $f$ и их аргументной симметрии.

Let $f(z)$ be a meromorphic function on the complex plane of finite order $\rho>0$. Let $\rho(r)$ be a proximate order in the sense of Boutroux such that $\limsup\limits_{r\to\infty}\rho(r)=\rho$, $\liminf\limits_{r\to\infty}\rho(r)=\alpha>0$. If $[\alpha]<\alpha\leqslant\rho<[\alpha]+1$ then the types of $T(r,f)$ and $|N|(r,f)$ coincide with respect to $\rho(r)$. If there are integers between $\alpha$ and $\rho$, then the resulting criterion is formulated in terms of the upper density of zeros and poles of the function $f$ and their argument symmetry.

В статье рассмотрены задачи, связанные с разложением регулярной кватернион-функции в обобщенные ряды Тейлора и Лорана. Обобщенный ряд Тейлора для регулярной кватернион-функции получен путем разложения ядра Коши в 4-мерном гипершаре в алгебре кватернионов и в системе гиперсферических координат. Обобщенный ряд Лорана для регулярной кватернион-функции получен путем разложения ядра Коши во внешности 4-мерного гипершара в алгебре кватернионов и в системе гиперсферических координат. На основе полученных решений при рассмотрении разложения регулярной кватернион-функции в бесконечно малом шаре, который ограничен 3-сферой, задано правило определения вычета регулярной кватернион-функции в алгебре кватернионов и в системе гиперсферических координат относительно изолированной особой точки. Также найдено разложение мероморфной кватернион-функции в степенной ряд.

This article deals with the tasks associated with the decomposition of a regular quaternion function into generalized Taylor and Laurent series. The generalized Taylor series for a regular quaternion function were obtained by the decomposition of the Cauchy kernel in a 4-dimensional hyperball in the algebra of quaternions and the hyperspherical coordinate system. The generalized Laurent series for a regular quaternion function were obtained by the decomposition of the Cauchy kernel in the exterior of a 4-dimensional hyperball in the algebra of quaternions and the hyperspherical coordinate system. On the basis of the obtained solutions by considering the decomposition of a regular quaternion function in an infinitely small ball that is restricted by the 3-sphere, we set the rule to determine the deduction of a regular quaternion function in the algebra of quaternions and the hyperspherical coordinate system regarding the isolated singular point. In addition, the decomposition of a meromorphic quaternion function into the power series was found.

Строго положительная, непрерывная, неограниченная, возрастающая функция $\gamma(r)$ на полуоси $[0,+\infty)$ называется функцией роста. Пусть функция роста $\gamma(r)$ для некоторого $M>0$ и для всех $r>0$ удовлетворяет условию $\gamma(2r)\leq M\gamma(r)$ . В статье рассматривается пространство $JM(\gamma(r))^o$ мероморфных функций вполне регулярного роста в верхней полуплоскости относительно функции роста $\gamma$. Получен критерий принадлежности мероморфной функции $f$ к пространству $JM(\gamma(r))^o$. Введено определение индикатора функции пространства $JM(\gamma(r))^o$. Доказано, что индикатор принадлежит пространству $\mathbf{L}^p[0,\pi]$ для всех $p>1$.

A strictly positive continuous unbounded increasing function $\gamma(r)$ on the half-axis $[0,+\infty)$ is called growth function. Let the growth function $\gamma(r)$ satisfies the condition $\gamma(2r)\leq M\gamma(r)$ for some $M>0$ and for all $r>0$. In the paper, the class $JM(\gamma(r))^o$ of meromorphic functions of completely regular growth on the upper half-plane with respect to the growth function $\gamma$ is considered. The criterion for the meromorphic function $f$ to belong to the space $JM(\gamma(r))^o$ is obtained. The definition of the indicator of function from the space $JM(\gamma(r))^o$ is introduced. It is proved that the indicator belongs to the space $\mathbf{L}^p[0,\pi]$ for all $p>1$.