Все выпуски

Работа посвящена методу решения стационарных задач фильтрации несжимаемой жидкости, следующей нелинейному анизотропному многозначному закону фильтрации с предельным градиентом. Задача фильтрации сформулирована в виде вариационного неравенства второго рода с обратно сильно монотонным оператором в гильбертовом пространстве. Функционал, входящий в это вариационное неравенство, является суммой нескольких полунепрерывных снизу выпуклых собственных функционалов. Для решения вариационного неравенства предлагается использовать итерационный метод расщепления.

The paper is devoted to a method of solving of stationary filtration problems of non-compressible fluid which follows the nonlinear multi-valued anisotropic law of filtration with limiting gradient. This problem mathematically is formulated in the form of variational inequality of the second kind in Hilbert space with inversely strongly monotone operator. The functional occurring in this variational inequality is a sum of several lower semi-continuous convex proper functionals. For solving the considered variational inequality the splitting method is offered.

Пусть n,m, ℓ, s ∈ N – заданные числа, П ⊂ Rⁿ – измеримое по Лебегу множество, X, Z – банаховы идеальные пространства измеримых на П функций. Рассматривается нелинейное операторное уравнение:

x = θ + AF[x], x ∈ X^ℓ, (1)

где A : Z^m → X^ℓ – линейный ограниченный оператор, F : X^ℓ → Z^m – некоторый оператор. Уравнение (1) является естественной формой описания широкого класса сосредоточенных и распределенных систем. Ранее В.П. Политюковым был предложен метод монотонизации для обоснования разрешимости уравнения вида (1) и получения поточечных оценок решения. Суть его состояла в том, что разрешимость уравнения (1) доказывалась (помимо прочих условий) для случая, когда I) оператор F допускал поправку вида G = λI до монотонного оператора F[x] = F[θ+x]+G[x] такую, что II) (I +AG)⁻¹A > 0 (λ > 0, I  тождественный оператор). Как видно из примеров, приведенных в данной статье, условия I) и II) могут противоречить друг другу, что сужает сферу применения метода. Основной результат статьи в том, что в случае оператора A, обладающего свойством вольтерровости, естественным для эволюционных уравнений, требование монотонизируемости I) можно заменить требованием оценки оператора F на некотором конусном отрезке сверху и снизу через линейный оператор G плюс фиксированный элемент. Доказывается, что для глобальной разрешимости начально-краевой задачи, связанной с полулинейным эволюционным уравнением, достаточно, чтобы аналогичная начально-краевая задача, связанная с линейным уравнением, полученным путем оценки правой части исходного полулинейного уравнения на некотором конусном отрезке, имела положительное решение. В качестве иллюстрации рассматривается применение указанных результатов к системе Гурса–Дарбу, задаче Коши для волнового уравнения и первой краевой задаче для уравнения диффузии.

Let  n,m, ℓ, s ∈ N be given numbers, П ⊂ Rⁿ be a set measurable by Lebesgue and  X, Z  be some Banach ideal spaces of functions measurable on . We consider a nonlinear operator equation of the form as follows:

x = θ + AF[x], x ∈ X^ℓ, (1)

where A : Z^m → X^ℓ is bounded linear operator, F : F : X^ℓ → Z^m is some operator. Equation (1) is a natural form of lumped and distributed parameter systems from a wide enough class. Formerly, by V.P. Polityukov it was suggested monotonization method for justification of solvability of equation (1) and obtaining pointwise estimations for solutions. The matter of this method consisted in that solvability of equation (1) was proved (besides other conditions) under following: I) operator F allows some correction of the form G = λI to monotone operator F[x] = F[θ+x]+G[x] such that II) (I +AG)⁻¹A > 0 (λ > 0, I is identity operator). As our examples show, conditions I) and II) may be contradictory to each other, that narrows a sphere of application of the method. The main result of the paper is that for the case of operator A, possessing the Volterra property, which is natural for evolutionary equations, the requirement I) of ability to be monotonized can be replaced by the requirement of some upper and lower estimates for operator F on some cone segment through linear operator G and additional fixed element. We prove that for global solvability of a boundary value problem associated with a semilinear evolutionary equation it is sufficient that analogous boundary value problem associated with linear equation, derived from the original equation by estimating of a right-hand side on some cone segment, have a positive solution. The application of results obtained is illustrated by Goursat–Darboux system, Cauchy problem associated with wave equation and first boundary value problem associated with diffusion equation.

Рассматриваются постановка и алгоритм решения сопряженной задачи взаимодействия сверхзвукового потока и деформируемой панели. Течение газа описывается системой уравнений сохранения в приближении совершенного газа. Численное интегрирование выполняется на основе метода конечных объемов. Для вычисления конвективных потоков применялась монотонизированная схема, обеспечивающая второй порядок аппроксимации по пространству в областях гладкости. Задача динамики деформирования панели аппроксимировалась по пространству методом конечных элементов, а по времени  по схеме Ньюмарка. При решении задач использовались несогласованные неструктурированные сетки, отвечающие разным схемам дискретизации и требованиям аппроксимации. Условия сопряжения на границе раздела удовлетворялись при помощи алгоритма двустороннего слабого связывания. Численные результаты сопоставляются с известными экспериментальными данными. Проводится анализ различных факторов, влияющих на картину течения и форму колебаний пластины.

This paper presents an algorithm for solving the FSI problem of gas-structure interaction between a supersonic flow and a deformable panel. Gas flows are modelled by the system of conservation equations for a perfect gas. Numerical integration is based on the finite volume method. To approximate convective flows in space, a monotonic scheme is used, providing a second-order approximation in the smooth parts of the domain. For dynamic panel deformation, the finite element method is used to discretize the spatial variables and the Newmark method is used to discretize the time variable. Numerical solution of the FSI problem is obtained on nonmatching unstructured meshes providing different discretization and approximation schemes. Boundary interactions are modelled by the algorithm of bidirectional weak binding. Obtained numerical results are compared with available experimental data. A number of different factors affecting the gas flow and the panel shape are analyzed.