Все выпуски

В работе изучается влияние цветного шума на равновесные режимы нелинейных динамических систем. Для исследования реакции системы на малые возмущения используется асимптотический подход, развивающий технику функций стохастической чувствительности. Стохастическая чувствительность равновесия в общей многомерной динамической системе задается некоторой матрицей. Для этой матрицы стохастической чувствительности в работе получено матричное алгебраическое уравнений. Точное решение этого уравнения дается для важного класса нелинейных осцилляторов с возмущениями в форме цветных шумов. Эта теория применяется к параметрическому исследованию отклика электронного генератора с жестким возбуждением на цветные шумы с различным временем корреляции. В работе исследована зависимость дисперсии случайных состояний от характерного времени корреляции. Показано, что эта зависимость может быть немонотонной и иметь максимумы, соответствующие резонансам. В работе обсуждается вероятностный механизм стохастической генерации колебаний больших амплитуд, вызванной цветным шумом.

The influence of colored noise on the equilibrium regimes of nonlinear dynamical systems is investigated. To study the response of the system to small perturbations, we use an asymptotic approach that develops the stochastic sensitivity function technique. The stochastic sensitivity of equilibrium in a general multidimensional dynamical system is defined by some matrix. For this stochastic sensitivity matrix, we obtain a matrix algebraic equation. An exact solution of this equation is given for an important class of nonlinear oscillators with perturbations in the form of colored noises. This theory is applied to the parametric study of the response of the electronic generator with hard excitation to colored noises with various correlation times. The dependence of the dispersion of random states on the characteristic correlation time is investigated. It is shown that this dependence can be nonmonotonic and have maxima corresponding to the resonances. The paper discusses the probabilistic mechanism of the stochastic generation of large-amplitude oscillations caused by color noise.

В работе рассматривается краевая задача для нелинейного эволюционного уравнения в частных производных, приведенная в перенормированном виде. Данная краевая задача возникает в механике роторных систем и описывает поперечные колебания вращающегося ротора постоянного сечения из вязкоупругого материала, концы которого шарнирно закреплены. Изучен вопрос об устойчивости нулевого состояния равновесия, найдено критическое значение скорости вращения ротора, при превышении которого возникают незатухающие колебания. Найдены точные решения изучаемой краевой задачи в виде одномодовых по пространственной переменной и периодической по времени функций. Выведены условия устойчивости таких решений, а также в ряде случаев дан анализ условий устойчивости. В работе показано отсутствие многомодовых периодических по времени решений. Проанализированы базовые, но важные с прикладной точки зрения частные случаи данной нелинейной краевой задачи. Все результаты анализа нелинейной краевой задачи носят аналитический характер. Их вывод опирается на качественную теорию бесконечномерных динамических систем.

We consider a boundary-value problem for the nonlinear evolution partial differential equation, given in renormalized form. This problem appears in rotary system mechanics and describes the transverse vibrations of the rotating rotor of a constant cross-section from a viscoelastic material whose ends are pivotally fixed. The question of the stability of the zero equilibrium state is studied, the critical value of the rotor speed is found, above which continuous oscillations occur. Exact solutions of the boundary-value problem are found in the form of single-mode functions with respect to the spatial variable and functions periodic in time. The stability conditions for such solutions are derived, and in some cases an analysis of the stability conditions is given. The paper shows the absence of multimode time-periodic solutions. The basic and important (from an applied point of view) particular cases of this nonlinear boundary-value problem are analyzed. All the results of the analysis of a nonlinear boundary-value problem are analytical. Their conclusion is based on the qualitative theory of infinite-dimensional dynamical systems.

Рассматривается нелинейная механическая система, динамика которой описывается векторным дифференциальным уравнением типа Льенара. Предполагается, что коэффициенты данного уравнения могут переключаться с одного набора постоянных значений на другой, причем общее количество этих наборов, вообще говоря, бесконечное. Таким образом, для задания коэффициентов уравнения используются кусочно-постоянные функции с бесконечным числом точек разрыва на всей временной оси. Предлагается способ построения разрывной функции Ляпунова, с помощью которой исследуются достаточные условия асимптотической устойчивости нулевого положения равновесия изучаемого уравнения. Полученные результаты обобщаются на случай нестационарного уравнения Льенара с разрывными коэффициентами более общего вида. В качестве вспомогательного результата работы разрабатываются методы анализа вопроса знакоопределенности и подходы к получению оценок для алгебраических выражений, представляющих собой сумму слагаемых степенного вида с нестационарными коэффициентами. Ключевой особенностью исследования является отсутствие предположений об ограниченности указанных нестационарных коэффициентов или об их отделенности от нуля. Приводятся некоторые примеры, иллюстрирующие установленные результаты.

A nonlinear mechanical system, whose dynamics is described by a vector ordinary differential equation of the Lienard type, is considered. It is assumed that the coefficients of the equation can switch from one set of constant values to another, and the total number of these sets is, in general, infinite. Thus, piecewise constant functions with infinite number of break points on the entire time axis, are used to set the coefficients of the equation. A method for constructing a discontinuous Lyapunov function is proposed, which is applied to obtain sufficient conditions of the asymptotic stability of the zero equilibrium position of the equation studied. The results found are generalized to the case of a nonstationary Lienard equation with discontinuous coefficients of a more general form. As an auxiliary result of the work, some methods for analyzing the question of sign-definiteness and approaches to obtaining estimates for algebraic expressions, that represent the sum of power-type terms with non-stationary coefficients, are developed. The key feature of the study is the absence of assumptions about the boundedness of these non-stationary coefficients or their separateness from zero. Some examples are given to illustrate the established results.

Автономные нелинейные дифференциальные уравнения представляют собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений, которые часто применяются в различных областях механики, квантовой физики, химического машиностроения, физики и прикладной математики. Здесь рассматриваются автономные нелинейные дифференциальные уравнения второго порядка ${u}''({x}) - {u}'({x}) = {f}[{u}({x})]$ и ${u}''({x}) + {f}[{u}({x})]{u}'({x}) + {u}({x}) = 0$ на промежутке $[-1, 1]$ с заданными граничными значениями ${u}[-1]$ и ${u}[1]$. Для решения этих задач используется псевдоспектральный метод, основанный на матрице дифференцирования Чебышева с точками Чебышева-Гаусса-Лобатто. Для нахождения приближенных решений построены две новые итерационные процедуры. В этой статье был использован язык программирования Mathematica версии 10.4 для представления алгоритмов, численных результатов и рисунков. В качестве примера численного моделирования исследовано известное уравнение Ван дер Поля и получены хорошие результаты. Впоследствии возможно применение полученных результатов к другим нелинейным системам, таким как уравнения Рэлея, уравнения Льенара и уравнения Эмдена-Фаулера.

Autonomous nonlinear differential equations constituted a system of ordinary differential equations, which often applied in different areas of mechanics, quantum physics, chemical engineering science, physical science, and applied mathematics. It is assumed that the second-order autonomous nonlinear differential equations have the types ${u}''({x}) - {u}'({x}) = {f}[{u}({x})]$ and ${u}''({x}) + {f}[{u}({x})]{u}'({x}) + {u}({x}) = 0$ on the range $[-1, 1]$ with the boundary values ${u}[-1]$ and ${u}[1]$ provided. We use the pseudospectral method based on the Chebyshev differentiation matrix with Chebyshev-Gauss-Lobatto points to solve these problems. Moreover, we build two new iterative procedures to find the approximate solutions. In this paper, we use the programming language Mathematica version 10.4 to represent the algorithms, numerical results and figures. In the numerical results, we apply the well-known Van der Pol oscillator equation and gave good results. Therefore, they will be able to be applied to other nonlinear systems such as the Rayleigh equations, the Lienard equations, and the Emden-Fowler equations.

В рамках методов и уравнений механики многофазных сред построена математическая модель образования газового гидрата при закачке метана в пласт конечной протяженности, насыщенный метаном и льдом. Изучаемая проблема сведена к проблеме нахождения двух подвижных границ фазовых переходов. На основе метода ловли фронта в узел пространственной сетки получены численные решения задачи. Найдены распределения по пространственной координате температуры, давления и гидратонасыщенности, а также приведена эволюция во времени координат границ фазовых переходов. Анализ результатов вычислительных экспериментов показал, что образование газогидрата метана может происходить как на фронтальной границе, так и в протяженной зоне. Установлено, что часть газогидрата, образовавшегося в протяженной области, может в дальнейшем разлагаться на газ и воду. В этом случае протяженная область гидратообразования будет вырождаться во фронтальную поверхность.

In the framework of the methods and equations of the mechanics of multiphase media, a mathematical model is constructed for the formation of gas hydrate during the injection of methane into a reservoir of finite length saturated with methane and ice. The problem under study is reduced to the problem of finding two moving boundaries of phase transitions. Based on the method of catching the front in the node of the spatial grid, numerical solutions of the problem are obtained. The distributions along the spatial coordinate of temperature, pressure, and hydrate saturation are found, and the time evolution of the coordinates of the phase transition boundaries is given. Analysis of the results of computational experiments has shown that the formation of methane gas hydrate can occur both at the frontal boundary and in the extended zone. It has been established that part of the gas hydrate formed in the extended region can be further decomposed into gas and water. In this case, the extended region of hydrate formation will degenerate into the frontal surface.