Все выпуски

Получены необходимые и достаточные условия разрешимости периодической краевой задачи для всех линейных функционально-дифференциальных уравнений второго порядка с заданной нормой функционального оператора.

Necessary and sufficient conditions for the unique solvability of the periodic boundary value problem for all linear second order functional differential equations with the given norm of the functional operators.

Работа посвящена вопросу об абсолютной непрерывности спектра двумерного обобщенного периодического оператора Шрёдингера $H_g+V=-\nabla g\nabla+V$, где непрерывная положительная функция $g$ и скалярный потенциал $V$ имеют общую решетку периодов $Λ$. Решения уравнения $(H_g+V)\varphi=0$ определяют, в частности, электрическое и магнитное поля для электромагнитных волн, распространяющихся в двумерных фотонных кристаллах. При этом функция $g$ и скалярный потенциал $V$ выражаются через диэлектрическую проницаемость $\varepsilon$ и магнитную проницаемость $\mu$ ($V$ также зависит от частоты электромагнитной волны). Диэлектрическая проницаемость $\varepsilon$ может быть разрывной функцией (и обычно выбирается кусочно-постоянной), поэтому возникает задача об ослаблении известных условий гладкости для функции $g$, обеспечивающих абсолютную непрерывность спектра оператора $H_g+V$. В настоящей работе предполагается, что коэффициенты Фурье функций $g^{\pm\frac12}$ при некотором $q\in[1, \frac43)$ удовлетворяют условию $\sum\left(|N|^\frac12\left|\left(g^{\pm\frac12}\right)_N\right|\right)^q<+\infty$ и скалярный потенциал $V$ имеет нулевую грань относительно оператора $-Δ$ в смысле квадратичных форм. Пусть $K$ - элементарная ячейка решетки $Λ$, $K^*$ - элементарная ячейка обратной решетки $\Lambda^*$. Оператор $H_g+V$ унитарно эквивалентен прямому интегралу операторов $H_g(k)+V$, где $k$ - квазиимпульс из $2\pi K^*$, действующих в $L^2(K)$. Последние операторы можно также рассматривать при комплексных векторах $k+ik'\in \mathbb{C}^2$. В статье используется метод Томаса. Доказательство абсолютной непрерывности спектра оператора $H_g+V$ сводится к доказательству обратимости операторов $H_g(k+ik')+V-\lambda$, $\lambda\in \mathbb{R}$, при определенным образом выбираемых комплексных векторах $k+ik'\in \mathbb{C}^2$ (зависящих от $g$, $V$ и числа $\lambda$) с достаточно большой мнимой частью $k'$.

The paper is concerned with the problem of absolute continuity of the spectrum of the two-dimensional generalized periodic Schrodinger operator $H_g+V=-\nabla g\nabla+V$ where the continuous positive function $g$ and the scalar potential $V$ have a common period lattice $\Lambda$. The solutions of the equation $(H_g+V)\varphi=0$ determine, in particular, the electric field and the magnetic field of electromagnetic waves propagating in two-dimensional photonic crystals. The function $g$ and the scalar potential $V$ are expressed in terms of the electric permittivity $\varepsilon$ and the magnetic permeability $\mu$ ($V$ also depends on the frequency of the electromagnetic wave). The electric permittivity $\varepsilon$ may be a discontinuous function (and usually it is chosen to be piecewise constant) so the problem to relax the known smoothness conditions on the function $g$ that provide absolute continuity of the spectrum of the operator $H_g+V$ arises. In the present paper we assume that the Fourier coefficients of the functions $g^{\pm\frac12}$ for some $q\in[1, \frac43)$ satisfy the condition $\sum\left(|N|^\frac12\left|\left(g^{\pm\frac12}\right)_N\right|\right)^q<+\infty$, and the scalar potential $V$ has relative bound zero with respect to the operator $-\Delta$ in the sense of quadratic forms. Let $K$ be the fundamental domain of the lattice $\Lambda$, and assume that $K^*$ is the fundamental domain of the reciprocal lattice $\Lambda^*$. The operator $H_g+V$ is unitarily equivalent to the direct integral of operators $H_g(k)+V$, with quasimomenta $k\in 2\pi K^*$, acting on the space $L^2(K)$. The last operators can be also considered for complex vectors $k+ik'\in \mathbb{C}^2$. We use the Thomas method. The proof of absolute continuity of the spectrum of the operator $H_g+V$ amounts to showing that the operators $H_g(k+ik')+V-\lambda$, $\lambda\in \mathbb{R}$, are invertible for some appropriately chosen complex vectors $k+ik'\in \mathbb{C}^2$ (depending on $g$, $V$, and the number $\lambda$) with sufficiently large imaginary parts $k'$.

Классическим свойством периодической функции на вещественной оси является возможность ее представления тригонометрическим рядом Фурье. Естественным аналогом условия периодичности в евклидовом пространстве $\mathbb{R}^m$ является постоянство интегралов от функции по всем шарам (или сферам) фиксированного радиуса. Функции с указанным свойством можно разложить в ряд Фурье по сферическим гармоникам, коэффициенты которого разлагаются в ряды по функциям Бесселя. Этот факт допускает обобщение на векторные поля в $\mathbb{R}^m$, имеющие нулевой поток через сферы фиксированного радиуса. В данной работе изучаются векторные поля с нулевым потоком через окружности фиксированного радиуса на плоскости Лобачевского $\mathbb{H}^2$. Получено описание таких полей в виде рядов по гипергеометрическим функциям. Результаты, полученные в работе, можно использовать при решении задач, связанных с гармоническим анализом векторных полей на областях в $\mathbb{H}^2$.

A classic property of a periodic function on the real axis is the possibility of its representation by a trigonometric Fourier series. The natural analogue of the periodicity condition in Euclidean space $\mathbb{R}^m$ is the constancy of integrals of a function over all balls (or spheres) of fixed radius. Functions with the indicated property can be expanded in a Fourier series in terms of spherical harmonics whose coefficients are expanded into series in Bessel functions. This fact can be generalized to vector fields in $\mathbb{R}^m$ with zero flux through spheres of fixed radius. In this paper we study vector fields which have zero flux through every circle of fixed radius on the Lobachevskii plane $\mathbb{H}^2$. A description of such fields in the form of series in terms of hypergeometric functions is obtained. These results can be used to solve problems concerning harmonic analysis of vector fields on domains in $\mathbb{H}^2$.

Получены необходимые и достаточные условия однозначной разрешимости периодической краевой задачи для функционально-дифференциального уравнения с монотонными операторами.

Necessary and sufficient conditions for the uniquely solvability of the periodic boundary value problem for functional differential equations are obtained.

Для общей краевой задачи функционально-дифференциального уравнения получены условия непрерывной зависимости решения от параметров. Результаты применены к исследованию корректности линейной общей краевой задачи для нелинейного дифференциального уравнения с отклоняющимся аргументом и непрерывной зависимости периодических решений управляемых систем от значений управления и отклонения аргумента.

Conditions for continuous dependence on parameters of solution of a general boundary value problem are obtained for a functional-differential equation. The results are applied to investigation of a correctness of a linear general boundary value problem for the nonlinear differential equation with divergentargument and to problem of continuous dependence of periodic solutions of controllable system on control and divergence values.

Для билинейной управляемой системы с периодическими коэффициентами получены достаточные условия равномерной глобальной асимптотической стабилизации нулевого решения. Доказательство основано на применении теоремы Красовского об асимптотической устойчивости в целом нулевого решения для периодических систем. Стабилизирующее управление построено по принципу обратной связи. Оно имеет вид квадратичной формы от фазовой переменной и является периодическим по времени.

Sufficient conditions for uniform global asymptotic stabilization of the origin are obtained for bilinear control systems with periodic coefficients. The proof is based on the use of the Krasovsky theorem on global asymptotic stability of the origin for periodic systems. The stabilizing control function is feedback control constructed as the quadratic form of the phase variables and depends on time periodically.

Рассматривается система реакции-диффузии с кубической нелинейностью, которая является бесконечномерным аналогом классической системы Рэлея и частным случаем системы Фитцью-Нагумо. Предполагается, что пространственная переменная изменяется на отрезке, на концах которого заданы однородные краевые условия Неймана. Известно, что в данном случае в системе Рэлея с диффузией существует пространственно-однородный автоколебательный режим, совпадающий с предельным циклом классической системы Рэлея. В настоящей работе показано существование счетного множества критических значений управляющего параметра, при которых возникают пространственно-неоднородные автоколебательные и стационарные режимы. Данные режимы устойчивы относительно возмущений, принадлежащих некоторым бесконечномерным инвариантным подпространствам системы, но неустойчивы во всем фазовом пространстве. Это свойство объясняет, почему в результате численных экспериментов при некоторых значениях параметра различным начальным условиям соответствуют нулевое, периодическое по времени или стационарное решение. Асимптотика вторичных решений построена методом Ляпунова-Шмидта. Явно найдены первые члены разложения, проанализированы формулы для общего члена асимптотики. Показано, что на инвариантных подпространствах происходит мягкая потеря устойчивости нулевого равновесия. Эволюция вторичных режимов при увеличении значений надкритичности исследована численно. Установлено, что с ростом значений надкритичности вторичные автоколебательные режимы постепенно сменяются стационарными. Амплитуда стационарных решений растет по мере увеличения надкритичности, а профиль асимптотически стремится к профилю меандра.

We consider a reaction-diffusion system with a cubic nonlinear term, which is a special case of the Fitzhugh-Nagumo system and an infinite-dimensional version of the classical Rayleigh system. We assume that the spatial variable belongs to an interval, supplemented with Neumann boundary conditions. It is well-known that in that specific case there exists a spatially-homogeneous oscillatory regime, which coincides with the time-periodic solution of the classical Rayleigh system. We show that there exists a countable set of critical values of the control parameter, where each critical value corresponds to the branching of new spatially-inhomogeneous auto-oscillatory or stationary regimes. These regimes are stable with respect to small perturbations from some infinite-dimensional invariant subspaces of the system under study. This, in particular, explains the convergence of numerical solution to zero, periodic or stationary solution, which is observed for some specific initial conditions and control parameter values. We construct the asymptotics for branching solutions by using Lyapunov-Schmidt reduction. We find explicitly the first terms of asymptotic expansions and study the formulas for general terms of asymptotics. It is shown that a soft loss of stability occurs in invariant subspaces. We study numerically the evolution of secondary regimes due to the increase of control parameter values and observe that the secondary periodic solutions are transformed into stationary ones as the control parameter value increases. Next, the amplitude of stationary solutions continues to grow and the solution asymptotically converges to the square wave regime.

Пусть $(U,\rho )$ - полное метрическое пространство, ${\mathcal R}^p({\mathbb R},U),$ $p\geqslant 1$, и ${\mathcal R} ({\mathbb R},U)$ - пространства (сильно) измеримых функций $f:{\mathbb R}\to U$, преобразования Бохнера ${\mathbb R}\ni t\mapsto f^B_l(t;\cdot )=f(t+\cdot )$ которых являются рекуррентными функциями со значениями в метрических пространствах $L^p([-l,l],U)$ и $L^1([-l,l], (U,\rho ^{ \prime }))$, где $l>0$ и $(U,\rho^{ \prime })$ - полное метрическое пространство с метрикой $\rho ^{ \prime }(x,y)=\min\{ 1, \rho (x,y)\} ,$ $x, y\in U.$ Аналогично определяются пространства ${\mathcal R}^p({\mathbb R},{\mathrm {cl}}\,_{ b}\, U)$ и ${\mathcal R} ({\mathbb R},{\mathrm {cl}}\,_{ b}\, U)$ функций (многозначных отображений) $F:{\mathbb R}\to {\mathrm {cl}}\,_{ b}\, U$ со значениями в полном метрическом пространстве $({\mathrm {cl}}\,_{ b}\, U, {\mathrm {dist}})$ непустых замкнутых ограниченных подмножеств метрического пространства $(U,\rho )$ с метрикой Хаусдорфа ${\mathrm {dist}}$ (при определении многозначных отображений $F\in {\mathcal R} ({\mathbb R}, {\mathrm {cl}}\,_{ b}\, U)$ рассматривается также метрика ${\mathrm {dist}} ^{ \prime }(X,Y)=\min\{ 1,{\mathrm {dist}}(X,Y)\} ,$ $X, Y\in {\mathrm {cl}}\,_{ b}\, U$). Доказано существование сечений $f\in {\mathcal R} ({\mathbb R},U)$ (соответственно $f\in {\mathcal R}^p ({\mathbb R},U)$) многозначных отображений $F\in {\mathcal R} ({\mathbb R},{\mathrm {cl}}\,_{ b}\, U)$ (соответственно $F\in {\mathcal R}^p({\mathbb R}, {\mathrm {cl}}\,_{ b}\, U)$), для которых множества почти периодов подчинены множествам почти периодов многозначных отображений $F$. Для функций $g\in {\mathcal R} ({\mathbb R},U)$ приведены условия существования сечений $f\in {\mathcal R} ({\mathbb R},U)$ и $f\in {\mathcal R}^p ({\mathbb R},U),$ для которых $\rho (f(t),g(t))=\rho (g(t),F(t))$ при п.в. $t\in {\mathbb R}$. В предположении, что для любого $\varepsilon >0$ существует относительно плотное множество общих $\varepsilon $-почти периодов функции $g$ и многозначного отображения $F$, также доказано существование сечений $f\in {\mathcal R} ({\mathbb R},U)$ таких, что $\rho (f(t),g(t))\leqslant \rho (g(t),F(t))+\eta (\rho (g(t),F(t)))$ при п.в. $t\in {\mathbb R}$, где $\eta :[0,+\infty ) \to [0,+\infty )$ - произвольная неубывающая функция, для которой $\eta (0) =0$ и $\eta (\xi )>0$ при всех $\xi >0$, при этом $f\in {\mathcal R}^p ({\mathbb R},U)$ в случае $F\in {\mathcal R}^p({\mathbb R},{\mathrm {cl}}\,_{ b}\, U).$ При доказательстве используется равномерная аппроксимация функций $f\in {\mathcal R} ({\mathbb R},U)$ элементарными функциями из пространства ${\mathcal R} ({\mathbb R},U)$ множества почти периодов которых подчинены множествам почти периодов функций $f$.

Let $(U,\rho )$ be a complete metric space and let ${\mathcal R}^p({\mathbb R},U),$ $p\geqslant 1$, and ${\mathcal R} ({\mathbb R},U)$ be the spaces of (strongly) measurable functions $f:{\mathbb R}\to U$ for which the Bochner transforms ${\mathbb R}\ni t\mapsto f^B_l(t;\cdot )=f(t+\cdot )$ are recurrent functions with ranges in the metric spaces $L^p([-l,l],U)$ and $L^1([-l,l],(U,\rho ^{ \prime }))$ where $l>0$, and $(U,\rho ^{ \prime })$ is the complete metric space with the metric $\rho ^{ \prime }(x,y)=\min \{ 1,\rho (x,y)\} ,$ $x, y\in U.$ Analogously, we define the spaces ${\mathcal R}^p({\mathbb R}, {\mathrm {cl}}\,_{ b}\, U)$ and ${\mathcal R} ({\mathbb R},{\mathrm {cl}}\,_{ b}\, U)$ of functions (multivalued mappings) $F:{\mathbb R}\to {\mathrm {cl}}\,_{ b}\, U$ with ranges in the complete metric space $({\mathrm {cl}}\,_{ b}\, U,{\mathrm {dist}})$ of nonempty closed bounded subsets of the metric space $(U,\rho )$ with the Hausdorff metric ${\mathrm {dist}}$ (while defining the multivalued mappings $F\in {\mathcal R} ({\mathbb R},{\mathrm {cl}}\,_{ b}\, U)$ the metric ${\mathrm {dist}} ^{ \prime }(X,Y)=\min \{ 1,{\mathrm {dist}}(X,Y)\} ,$ $X, Y\in {\mathrm {cl}}\,_{ b}\, U$, is also considered). We prove the existence of selectors $f\in {\mathcal R} ({\mathbb R},U)$ (accordingly $f\in {\mathcal R}^p({\mathbb R},U)$) of multivalued maps $F\in {\mathcal R} ({\mathbb R},{\mathrm {cl}}\,_{ b}\, U)$ (accordingly $F\in {\mathcal R}^p ({\mathbb R},{\mathrm {cl}}\,_{ b}\, U)$) for which the sets of almost periods are subordinated to the sets of almost periods of multivalued maps $F$. For functions $g\in {\mathcal R} ({\mathbb R},U),$ the conditions for the existence of selectors $f\in {\mathcal R} ({\mathbb R},U)$ and $f\in {\mathcal R}^p({\mathbb R},U)$ such that $\rho (f(t),g(t))=\rho (g(t),F(t))$ for a.e. $t\in {\mathbb R}$ are obtained. On the assumption that the function $g$ and the multivalued map $F$ have relatively dense sets of common $\varepsilon $-almost periods for all $\varepsilon >0$, we also prove the existence of selectors $f\in {\mathcal R} ({\mathbb R},U)$ such that $\rho (f(t),g(t))\leqslant \rho (g(t),F(t))+\eta (\rho (g(t),F(t)))$ for a.e. $t\in {\mathbb R}$, where $\eta :[0,+\infty ) \to [0,+\infty )$ is an arbitrary nondecreasing function for which $\eta (0)=0$ and $\eta (\xi )>0$ for all $\xi >0$, and, moreover, $f\in {\mathcal R}^p({\mathbb R},U)$ if $F\in {\mathcal R}^p({\mathbb R},{\mathrm {cl}}\,_{ b}\, U).$ To prove the results we use the uniform approximation of functions $f\in {\mathcal R} ({\mathbb R},U)$ by elementary functions belonging to the space ${\mathcal R} ({\mathbb R},U)$ which have the sets of almost periods subordinated to the sets of almost periods of the functions $f$.

Доказано, что линейная управляемая система $$ \dot x=A(t)x+B(t)u, \quad t\in\mathbb{R}, \quad x\in\mathbb{R}^n, \quad u\in\mathbb{R}^m, \qquad\qquad (1) $$ с коэффициентами в форме Хессенберга при достаточно широких условиях на коэффициенты обладает свойством равномерной полной управляемости в смысле Калмана. Показана существенность для некоторых полученных достаточных условий. Установлены следствия для квазидифференциальных уравнений. Исследуется задача о глобальном управлении асимптотическими инвариантами системы $$ \dot x=(A(t)+B(t)U)x, \quad t\in\mathbb{R}, \quad x\in\mathbb{R}^n, \qquad \qquad \qquad \qquad (2) $$ полученной замыканием системы $(1)$ обратной связью $u=Ux$. В известных результатах С.Н. Поповой ослабляются условия на коэффициенты. Для системы $(2)$ с коэффициентами в форме Хессенберга, с помощью результатов С.Н. Поповой, получены достаточные условия глобальной скаляризуемости и глобальной управляемости показателей Ляпунова, а в случае когда $A(\cdot)$ и $B(\cdot)$ - $\omega$-периодические и достаточные условия глобальной ляпуновской приводимости.

We prove that a linear control system $$ \dot x=A(t)x+B(t)u, \quad t\in\mathbb{R}, \quad x\in\mathbb{R}^n, \quad u\in\mathbb{R}^m, \qquad \qquad (1) $$ with matrix coefficients of the Hessenberg form is uniformly completely controllable in the sense of Kalman under rather weak conditions imposed on coefficients. It is shown that some obtained sufficient conditions are essential. Corollaries are derived for quasi-differential equations. We construct feedback control $u=Ux$ for the system $(1)$ and study the problem of global control over asymptotic invariants of the closed-loop system $$ \dot x=(A(t)+B(t)U)x, \quad t\in\mathbb{R}, \quad x\in\mathbb{R}^n. \qquad \qquad \qquad \qquad (2) $$ The conditions on coefficients are weakened in the known results of S.N. Popova. For the system $(2)$ with matrix coefficients of the Hessenberg form, the obtained results and the results of S.N. Popova are used to receive sufficient conditions for global reducibility to systems of scalar type and for global control over Lyapunov exponents and moreover, for global Lyapunov reducibility in the case of periodic $A(\cdot)$ and $B(\cdot)$.

В работе рассматривается краевая задача для нелинейного эволюционного уравнения в частных производных, приведенная в перенормированном виде. Данная краевая задача возникает в механике роторных систем и описывает поперечные колебания вращающегося ротора постоянного сечения из вязкоупругого материала, концы которого шарнирно закреплены. Изучен вопрос об устойчивости нулевого состояния равновесия, найдено критическое значение скорости вращения ротора, при превышении которого возникают незатухающие колебания. Найдены точные решения изучаемой краевой задачи в виде одномодовых по пространственной переменной и периодической по времени функций. Выведены условия устойчивости таких решений, а также в ряде случаев дан анализ условий устойчивости. В работе показано отсутствие многомодовых периодических по времени решений. Проанализированы базовые, но важные с прикладной точки зрения частные случаи данной нелинейной краевой задачи. Все результаты анализа нелинейной краевой задачи носят аналитический характер. Их вывод опирается на качественную теорию бесконечномерных динамических систем.

We consider a boundary-value problem for the nonlinear evolution partial differential equation, given in renormalized form. This problem appears in rotary system mechanics and describes the transverse vibrations of the rotating rotor of a constant cross-section from a viscoelastic material whose ends are pivotally fixed. The question of the stability of the zero equilibrium state is studied, the critical value of the rotor speed is found, above which continuous oscillations occur. Exact solutions of the boundary-value problem are found in the form of single-mode functions with respect to the spatial variable and functions periodic in time. The stability conditions for such solutions are derived, and in some cases an analysis of the stability conditions is given. The paper shows the absence of multimode time-periodic solutions. The basic and important (from an applied point of view) particular cases of this nonlinear boundary-value problem are analyzed. All the results of the analysis of a nonlinear boundary-value problem are analytical. Their conclusion is based on the qualitative theory of infinite-dimensional dynamical systems.