Все выпуски

В работе исследован процесс хаотизации фазового портрета в ограниченной задаче о вращении тяжелого твердого тела с закрепленной точкой. Указаны два дополняющих друг друга механизма хаотизации - рост гомоклинической структуры и развитие каскадов бифуркаций удвоения периода. Отмечено адиабатическое поведение системы на нулевом уровне интеграла площадей при стремлении энергии к нулю. Найдены меандровые торы, связанные с нарушением свойства закручивания рассматриваемого отображения.

The paper deals with a transition to chaos in the phase-plane portrait of a restricted problem of rotation of a rigid body with a fixed point. Two interrelated mechanisms responsible for chaotisation have been indicated: 1) growth of the homoclinic structure and  2) development of cascades of period doubling bifurcations.  On the zero level of the integral of areas, an adiabatic behavior of the system (as the energy tends to zero) has been noticed. Meander tori induced by the breakdown of the torsion property of the mapping have been found.

Рассматриваются периодические по времени возмущения асимметричного уравнения маятникового типа, близкого к интегрируемому стандартному уравнению математического маятника. Для автономного уравнения решается проблема предельных циклов, которая сводится к исследованию порождающих функций Пуанкаре-Понтрягина. Строится разбиение плоскости параметров на области с разным поведением фазовых кривых. Даются основные фазовые портреты для каждой области полученного разбиения. Для неавтономного уравнения изучается вопрос о структуре резонансных зон, к которому приводит решение задачи о синхронизации колебаний. Вычисляются усредненные уравнения маятникового типа, описывающие поведение решений исходного уравнения в индивидуальных резонансных зонах, и проводится их анализ. Устанавливается глобальное поведение решений в ячейках, не содержащих малых окрестностей невозмущенных сепаратрис. С помощью аналитического метода Мельникова и численного моделирования изучаются основные бифуркации неавтономного уравнения, связанные с возникновением негрубых гомоклинических кривых. На плоскости основных параметров строится бифуркационная диаграмма для отображения Пуанкаре, порожденного исходным уравнением, описывающая различные типы гомоклинических касаний сепаратрис седловой неподвижной точки. Обнаруживаются гомоклинические зоны (те области параметров, для которых существуют гомоклинические траектории к седловой неподвижной точки) с негладкими бифуркационными границами.

Time-periodic perturbations of an asymmetric pendulum-type equation close to an integrable standard equation of a mathematical pendulum are considered. For an autonomous equation, the problem of limit cycles, which reduces to the study of the Poincaré-Pontryagin generating functions, is solved. A partition of the parameter plane into domains with different behavior of the phase curves is constructed. Basic phase portraits for each domain of the obtained partition are given. For a nonautonomous equation, the question of the structure of the resonance zones, to which the solution of the problem of synchronization of oscillations leads, is studied. Averaged equations of the pendulum type, describing the behavior of solutions of the original equation in individual resonance zones, are calculated and analyzed. The global behavior of solutions in cells that do not contain small neighborhoods of unperturbed separatrices is ascertained. Using the analytical Melnikov method and numerical modeling, the basic bifurcations of the nonautonomous equation associated with the appearance of nonrough homoclinic curves are studied. On the plane of the main parameters, a bifurcation diagram for the Poincaré map generated by the original equation, describing different types of homoclinic tangencies of the separatrices of the saddle fixed point, is constructed. Homoclinic zones (those domains of parameters for which homoclinic trajectories to the saddle fixed point exist) with nonsmooth bifurcation boundaries are found.

В данной работе получена модель, описывающая движение точечных вихрей в идеальной несжимаемой жидкости на конечном плоском цилиндре. Подробно рассмотрен случай двух вихрей. Показано, что уравнения движения вихрей могут быть представлены в гамильтоновой форме и обладают дополнительным первым интегралом. Предложена процедура редукции на фиксированный уровень первого интеграла. Для полученной редуцированной системы построены фазовые портреты, указаны неподвижные точки и особенности системы.

In this work, a model that describes the motion of point vortices in an ideal incompressible fluid on a finite flat cylinder is obtained. The case of two vortices is considered in detail. It is shown that the equations of motion of vortices can be represented in Hamiltonian form and have an additional first integral. A procedure of reduction to a fixed level of the first integral is proposed. For the reduced system, phase portraits are constructed, fixed points and singularities of the system are indicated.