Все выпуски

Рассматривается билинейная управляемая система, заданная линейной стационарной системой дифференциальных уравнений с запаздыванием в состоянии. Исследуется задача назначения произвольного конечного спектра посредством стационарного управления. Требуется построить постоянный вектор управления таким образом, чтобы характеристический квазиполином замкнутой системы обращался в полином с произвольными наперед заданными коэффициентами. Получены условия на коэффициенты системы, при которых найден критерий разрешимости данной задачи назначения конечного спектра. Критерий выражен в терминах ранговых условий для матриц специального вида. Показана взаимосвязь этих ранговых условий со свойством согласованности усеченной системы без запаздывания. Получены следствия о стабилизации билинейной системы с запаздыванием. Результаты обобщают полученные ранее результаты о назначении спектра для линейных систем со статической обратной связью по выходу с запаздыванием и для билинейных систем без запаздывания. Полученные результаты переносятся на билинейные системы с запаздыванием с дискретным временем. Рассмотрен иллюстрирующий пример.

We consider a bilinear control system defined by a linear time-invariant system of differential equations with delay in the state variable. We study an arbitrary finite spectrum assignment problem by stationary control. One needs to construct constant control vector such that the characteristic quasi-polynomial of the closed-loop system becomes a polynomial with arbitrary preassigned coefficients. We obtain conditions on coefficients of the system under which the criterion was found for solvability of this finite spectrum assignment problem. This criterion is expressed in terms of rank conditions for matrices of the special form. Interconnection of these rank conditions with the property of consistency for truncated system without delay is shown. Corollaries on stabilization of a bilinear system with delay are obtained. The results extend the previously obtained results on spectrum assignment for linear systems with static output feedback with delay and for bilinear systems without delay. The results obtained are transferred to discrete-time bilinear systems with delay. An illustrative example is considered.

В работе рассматривается задача Коши для системы квазилинейных уравнений первого порядка специального вида. Система представлена в симметричном виде, фазовая переменная n-мерная. Рассматриваемая задача Коши получается из задачи Коши для одного уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана с помощью операции дифференцирования этого уравнения и краевого условия по переменной x_i. Предполагается, что гамильтониан и начальное условие принадлежат классу непрерывно дифференцируемых функций. Гамильтониан является выпуклым по сопряженной переменной.

В работе предложен новый подход к определению обобщенного решения системы квазилинейных уравнений первого порядка. Обобщенное решение рассматривается в классе многозначных функций с выпуклыми компактными значениями. Доказаны теоремы существования, единственности и устойчивости решения по начальным данным. Получено полугрупповое свойство для введенного обобщенного решения. Показано, что потенциал для обобщенного решения системы квазилинейных уравнений совпадает с единственным минимаксным/вязкостным решением соответствующей задачи Коши для уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана, а в точках дифференцируемости минимаксного решения его градиент совпадает с обобщенным решением исходной задачи Коши. На основе этой связи получены свойства обобщенного решения задачи Коши для системы квазилинейных уравнений. В частности, показано, что введенное обобщенное решение совпадает с супердифференциалом минимаксного решения соответствующей задачи Коши и однозначно почти всюду.

С помощью характеристик уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана описана структура множества точек, в которых минимаксное решение недифференцируемо.

Показано, что свойство обобщенного решения для одного квазилинейного уравнения со скалярной фазовой переменной, введенное О.А. Олейник, может быть распространено на случай рассматриваемой системы квазилинейных уравнений.

We consider the Cauchy problem for the system of quasi-linear first order equations of a special form. The system is symmetric, the state variable is n-dimensional. The considered Cauchy problem is deduced from the Cauchy problem for the Hamilton-Jacobi-Bellman equation by means of the operation of differentiation of this equation and the boundary condition with respect to the variable x_i. It is assumed that the Hamiltonian and the initial condition are continuously differentiable functions. The Hamiltonian is convex with respect to the adjoint variable.

The paper presents a new approach to the definition of the generalized solution of the system of quasi-linear first order equations. The generalized solution belongs to the class of multivalued functions with convex compact values. We prove the existence, uniqueness and stability theorems. The semigroup property for the proposed generalized solution is obtained. It is shown that the potential for generalized solutions of quasi-linear equations coincides with the unique minimax/viscosity solution of the corresponding Cauchy problem for the Hamilton-Jacobi-Bellman equation, and at the points of differentiability of the minimax solution its gradient coincides with the generalized solution of the Cauchy problem. Properties of the generalized solutions of the Cauchy problem for a system of quasi-linear equations are obtained on the basis of this connection. In particular, it is shown that the introduced generalized solution coincides with the superdifferential of the minimax solution of the Cauchy problem and is singlevalued almost everywhere.

The structure of the set of points at which the minimax solution is not differentiable is described by using the characteristics of the Hamilton-Jacobi-Bellman equation.

It is shown that the property of the generalized solution of the quasilinear equation with a scalar state variable proposed by O.A. Oleinik, can be extended to the case of the system of quasi-linear equations under consideration.

Доказано, что линейная управляемая система $$ \dot x=A(t)x+B(t)u, \quad t\in\mathbb{R}, \quad x\in\mathbb{R}^n, \quad u\in\mathbb{R}^m, \qquad\qquad (1) $$ с коэффициентами в форме Хессенберга при достаточно широких условиях на коэффициенты обладает свойством равномерной полной управляемости в смысле Калмана. Показана существенность для некоторых полученных достаточных условий. Установлены следствия для квазидифференциальных уравнений. Исследуется задача о глобальном управлении асимптотическими инвариантами системы $$ \dot x=(A(t)+B(t)U)x, \quad t\in\mathbb{R}, \quad x\in\mathbb{R}^n, \qquad \qquad \qquad \qquad (2) $$ полученной замыканием системы $(1)$ обратной связью $u=Ux$. В известных результатах С.Н. Поповой ослабляются условия на коэффициенты. Для системы $(2)$ с коэффициентами в форме Хессенберга, с помощью результатов С.Н. Поповой, получены достаточные условия глобальной скаляризуемости и глобальной управляемости показателей Ляпунова, а в случае когда $A(\cdot)$ и $B(\cdot)$ - $\omega$-периодические и достаточные условия глобальной ляпуновской приводимости.

We prove that a linear control system $$ \dot x=A(t)x+B(t)u, \quad t\in\mathbb{R}, \quad x\in\mathbb{R}^n, \quad u\in\mathbb{R}^m, \qquad \qquad (1) $$ with matrix coefficients of the Hessenberg form is uniformly completely controllable in the sense of Kalman under rather weak conditions imposed on coefficients. It is shown that some obtained sufficient conditions are essential. Corollaries are derived for quasi-differential equations. We construct feedback control $u=Ux$ for the system $(1)$ and study the problem of global control over asymptotic invariants of the closed-loop system $$ \dot x=(A(t)+B(t)U)x, \quad t\in\mathbb{R}, \quad x\in\mathbb{R}^n. \qquad \qquad \qquad \qquad (2) $$ The conditions on coefficients are weakened in the known results of S.N. Popova. For the system $(2)$ with matrix coefficients of the Hessenberg form, the obtained results and the results of S.N. Popova are used to receive sufficient conditions for global reducibility to systems of scalar type and for global control over Lyapunov exponents and moreover, for global Lyapunov reducibility in the case of periodic $A(\cdot)$ and $B(\cdot)$.

Продолжаются исследования автора по теории правильных функций и *-интеграла. Изучается возможность представления правильной функции в виде суммы непрерывной справа и непрерывной слева функций ($rl$-представимости). Доказывается предельная теорема для *-интеграла, позволяющая приближать разрывные интегрируемую и интегрирующую функции последовательностями абсолютно непрерывных функций. Доказана новая теорема о $\delta$-корректности решения обыкновенного линейного дифференциального уравнения с обобщенными функциями в коэффициентах, определяемого с помощью квазидифференциального уравнения. Получена формула для вычисления полной вариации неопределенного *-интеграла от $\sigma$-непрерывной функции по функции ограниченной вариации, обобщающая известную формулу для полной вариации абсолютно непрерывной функции. Формула интересна и в случае неопределенного $RS$-интеграла.

This work continues the author's research on the theory of regulated functions and *-integral. The possibility to express a regulated function as a sum of right-continuous and left-continuous functions (called $rl$-representation) is studied. A limit theorem for the *-integral is proved. It allows approximating discontinuous integrands and integrators by sequences of absolutely continuous functions. A new result on $\delta$-correctness of the solution of an ordinary linear differential equation with generalized functions in coefficients is proved. This solution is defined via a quasi-differential equation. A formula for the total variation of an indefinite *-integral of a $\sigma$-continuous function with respect to a function of bounded variation is given. It generalizes the well-known formula for computing the total variation of an absolutely continuous function. The formula is also interesting in the case of an indefinite $RS$-integral.

Получены новые достаточные условия экспоненциальной стабилизируемости допустимого процесса квазилинейной управляемой системы с неполной обратной связью. Получены следствия для управляемой системы, описываемой квазилинейным дифференциальным уравнением n-го порядка с наблюдателем.

New sufficient conditions of exponential stabilization of quasilinear control system with incomplete feedback are received. Consequences for the control system described by quasilinear differential equation of n-th order with the observer are obtained.

В работе рассматривается модель химической кинетики, для которой вывод уравнений не опирается на закон действующих масс, а строится на основе таких принципов, как геометрическая вероятность, а также совместная вероятность для двух событий. Для этой модели строится обобщение на случай реакции-диффузии в гетерогенной среде, а также учитывается конвекционный и диффузионный перенос тепловой энергии. Построение данного обобщения проводится по альтернативной методике на основе систем обыкновенных дифференциальных уравнений и без перехода к частным производным. По своему описанию этот подход близок к методу конечных объемов, но в отличие от него для описания диффузии применяются статистические упрощения и принцип геометрической вероятности. Подобный альтернативный вариант позволяет значительно упростить численную реализацию итоговой модели, а также упростить ее качественный анализ методами теории динамических систем. Помимо этого, также значительно повышается эффективность параллельной реализации численного метода для итоговой модели. Дополнительно к этому мы также рассмотрим приложение модели для описания эталонного примера кинетики с квазипериодическим режимом, а также рассмотрим алгоритм перевода стандартных моделей с размерными кинетическими константами к ее формализму.

The paper considers a model of chemical kinetics for which the derivation of equations does not rely on the law of mass action, but is rather based on such principles as geometric probability and joint probability. For this model a generalization is constructed for the case of reaction-diffusion systems in heterogeneous medium, with respect to the convective and diffusive transfer of heat. The construction of this generalization is carried out by an alternative methodology, which is based fully on systems of ordinary differential equations, without a transition to partial derivatives. The description of this new method is a bit similar to the finite volume method, except that it uses statistical simplifying positions and geometric probability to describe diffusion processes. Such approach allows us to greatly simplify the numerical implementation of the resulting model, as well as to simplify its quantitative analysis by dynamical systems theory methods. Moreover, the efficiency of parallel implementation of the numerical method is increased for the resulting model. In addition, the author considers an application of this model for the description of some example reaction with quasi-periodic regime, as well as an algorithm for the transition from standard models with dimensional kinetic constants to its formalism.

Рассматривается задача оптимизации гарантированного результата для управляемой системы, описываемой обыкновенным дифференциальным уравнением, и функционала качества, непрерывно зависящего от траектории движения системы. Значения управления и помехи ограничены в каждый момент компактными множествами. Предполагается, что помеха порождается некоторой неизвестной заранее функцией типа Каратеодори, то есть функцией непрерывной по пространственной переменной при каждом значении временной переменной и измеримой по временной переменной при каждом значении пространственной. Оптимальное управление ищется в классе стратегий управления с полной памятью о движении системы и о реализовавшемся управлении.

Показано, что для достаточно широкого семейства управляемых систем оптимальный гарантированный результат в классе стратегий с полной памятью совпадает с оптимальным гарантированным результатом в классе квазистратегий. Для этого семейства управляемых систем построена разрешающая стратегия, допускающая численную реализацию. Приводится иллюстрирующий пример для нелинейной управляемой системы.

The problem of the optimization of a guaranteed result for the control system, described by an ordinary differential equation, and a continuous payoff functional, is considered. At every moment the values of the control and of the disturbance are in the given compact sets. The actions of the disturbance are assumed to be generated by an unknown function of the Caratheodory type, i.e. by the function continuous with respect to the spatial variable for every value of time variable and measurable with respect to the time variable for every value of spatial one. The actions of control are formed by the strategies with full memory.

It is demonstrated, that for a class of control systems the optimal guaranteed result in this problem is equal to the value of the lower game, i.e. to the value of the optimal guaranteed result in the class of quasi–strategies. The optimal strategy with full memory, that allows numerical implementation, is provided. An illustrative nonlinear example is given.