Все выпуски

Пусть $T\in C^{2+\varepsilon}(S^{1}\setminus \{x_{b}\})$, $\varepsilon>0$, — гомеоморфизм окружности с одной точкой излома $x_{b}$, в которой $T'(x)$ имеет разрыв первого рода и обе односторонние производные в точке $x_{b}$ строго положительные, и иррациональным числом вращения $\rho _{T}$. Предположим, что разложение числа вращения $\rho _{T}$ в непрерывную дробь, начиная с некоторого номера, совпадает с золотым сечением, т.е. $\rho _{T}=[m_{1},m_{2},\dots,m_{l},\,m_{l+1},\ldots],…,m_{s}=1$, $s> l>0$. Поскольку число вращения иррациональное, отображение $T$ является строго эргодическим, т.е. обладает единственной вероятностной инвариантной мерой $\mu_{T}$. В работе А.А. Джалилова и К.М. Ханина доказано, что вероятностная инвариантная мера $\mu_{G}$ любого гомеоморфизма окружности $G\in C^{2+\varepsilon}(S^{1}\setminus \{x_{b}\})$, $\varepsilon>0$, с одной точкой излома $ x_{b}$ и иррациональным числом вращения $\rho _{G}$ является сингулярной относительно меры Лебега $\lambda$ на окружности, т.е. существует измеримое подмножество $A \subset S^{1}$ такое, что $\mu_{G}(A)=1$ и $\lambda(A)=0$. Мы построим термодинамический формализм для гомеоморфизмов $T_{b}\in C^{2+\varepsilon}(S^{1}\setminus \{x_{b}\})$, $\varepsilon>0$, с одним изломом в точке $x_{b}$ и числом вращения, равным золотому сечению, т.е. $\rho _{T}:=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$. Существенно используя построенный термодинамический формализм, мы изучили показатели сингулярности инвариантной меры $\mu_{T}$ гомеоморфизма $T$.

Let $T \in C^{2+ \varepsilon} (S^{1} \setminus \{x_{b} \})$, $\varepsilon> 0 $, be a circle homeomorphism with one break point $x_{b}$, at which $ T'(x) $ has a discontinuity of the first kind and both one-sided derivatives at the point $x_{b} $ are strictly positive. Assume that the rotation number $\rho_{T}$ is irrational and its decomposition into a continued fraction beginning from a certain place coincides with the golden mean, i.e., $\rho_{T}=[m_{1}, m_{2}, \ldots, m_{l}, \, m_{l + 1}, \ldots] $, $ m_{s} = 1$, $s> l> 0$. Since the rotation number is irrational, the map $ T $ is strictly ergodic, that is, possesses a unique probability invariant measure $\mu_{T}$. A.A. Dzhalilov and K.M. Khanin proved that the probability invariant measure $ \mu_{G} $ of any circle homeomorphism $ G \in C^{2+ \varepsilon} (S^{1} \setminus \{x_{b} \})$, $\varepsilon> 0$, with one break point $ x_{b} $ and the irrational rotation number $ \rho_{G} $ is singular with respect to the Lebesgue measure $ \lambda $ on the circle, i.e., there is a measurable subset of $ A \subset S^{1} $ such that $ \mu_ {G} (A) = 1 $ and $ \lambda (A) = 0$. We will construct a thermodynamic formalism for homeomorphisms $ T_{b} \in C^{2+ \varepsilon} (S^{1} \setminus \{x_{b} \})$, $\varepsilon> 0 $, with one break at the point $ x_{b} $ and rotation number equal to the golden mean, i.e., $ \rho_{T}:= \frac {\sqrt{5} -1}{2} $. Using the constructed thermodynamic formalism, we study the exponents of singularity of the invariant measure $ \mu_{T} $ of homeomorphism $ T $.

Хорошо известно, что преобразование ренормгруппы $\mathcal{R}$ имеет единственную неподвижную точку $f_ {cr}$ в пространстве критических $C^{3}$-гомеоморфизмов окружности с одной кубической критической точкой $x_{cr}$ и числом вращения равным золотому сечению $\overline{\rho}: =\frac{\sqrt{5} -1}{2}.$ Обозначим через $Cr(\overline{\rho})$ множество всех критических отображений окружности $C^ {1}$-сопряженных к $f_{cr}.$ Пусть $f\in Cr(\overline{\rho})$ и $\mu:=\mu_{f}$ --- единственная вероятностная инвариантная мера для $f.$ Зафиксируем $\theta \in (0,1).$ Для каждого $n\geq 1$ определим $c_{n}:=c_{n}(\theta)$ такое, что $\mu([x_{cr}, c_{n}]) = \theta\cdot\mu([x_{cr}, f^{q_{n}} (x_{cr})]),$ где $q_{n}$ --- время первого возврата линейного вращения $f_{\overline{\rho}}.$ Мы исследуем закон сходимости перемасштабированного точечного процесса времени попадания. Мы показываем, что предельное распределение сингулярно относительно меры Лебега.

It is well known that the renormalization group transformation $\mathcal{R}$ has a unique fixed point $f_{cr}$ in the space of critical $C^{3}$-circle homeomorphisms with one cubic critical point $x_{cr}$ and the golden mean rotation number $\overline{\rho}:=\frac{\sqrt{5}-1}{2}.$ Denote by $Cr(\overline{\rho})$ the set of all critical circle maps $C^{1}$-conjugated to $f_{cr}.$ Let $f\in Cr(\overline{\rho})$ and let $\mu:=\mu_{f}$ be the unique probability invariant measure of $f.$ Fix $\theta \in(0,1).$ For each $n\geq1$ define $c_{n}:=c_{n}(\theta)$ such that $\mu([x_{cr},c_{n}])=\theta\cdot\mu([x_{cr},f^{q_{n}}(x_{cr})]),$ where $q_{n}$ is the first return time of the linear rotation $f_{\overline{\rho}}.$ We study convergence in law of rescaled point process of time hitting. We show that the limit distribution is singular w.r.t. the Lebesgue measure.

Рассматривается стационарная управляемая система в конечномерном эвклидовом пространстве и на конечном промежутке времени. Изучается задача о сближении управляемой системы с компактным целевым множеством на заданном промежутке времени. Один из подходов к решению рассматриваемой задачи о сближении основан на выделении в пространстве позиций множества разрешимости, т.е. множества всех позиций системы, из которых, как из начальных, разрешима задача о сближении. Конструирование множества разрешимости - самостоятельная сложная и трудоемкая задача, которую удается точно решить лишь в редких случаях. В настоящей работе рассматриваются вопросы приближенного конструирования множества разрешимости в задаче о сближении нелинейной стационарной управляемой системы. Эта задача, как известно, тесно сопряжена с задачей конструирования интегральных воронок и трубок траекторий управляемых систем. Интегральные воронки управляемых систем можно приближенно конструировать по (временным) шагам как наборы соответствующих множеств достижимости, поэтому одним из основных элементов разрешающей конструкции в настоящей работе являются множества достижимости. В работе предлагается схема приближенного вычисления множества разрешимости задачи о сближении управляемой стационарной системы на конечном промежутке времени. В основе этой схемы лежит сведение к приближенному вычислению множеств разрешимости конечного числа более простых задач - задач о сближении с целевым множеством в фиксированные моменты времени из заданного временного промежутка. При этом моменты времени должны выбираться достаточно плотно в упомянутом промежутке времени. В работе проведено математическое моделирование задачи о сближении механической системы «Трансляционный осциллятор с ротационным актуатором». Представлено графическое сопровождение решения задачи.

A time-invariant control system on a finite time interval in the finite-dimensional Euclidean space is considered. We discuss a problem of guidance with a compact target set for a control system on a given time interval. One way to solve the considered guidance problem is based on finding a solvability set in the phase space, namely, a set of all system positions from which, as from the initial ones, the guidance problem is solvable. The construction of the solvability set is an independent time-consuming problem which rarely has an exact solution. In this paper we discuss the approximate construction of a solvability set in the guidance problem for a time-invariant nonlinear control system. It is well-known that this problem is closely connected with the problem of constructing integral funnels and trajectory tubes of control systems. Integral funnels of control systems can be approximately constructed step-by-step as sets of corresponding attainability sets, therefore, attainability sets are considered to be the basic elements of the solving construction in this paper. Here, we propose a scheme of the solvability set approximate construction in a guidance problem for a time-invariant control system on a finite time interval. The basis of this scheme is reduction to the solvability sets approximate calculation of a finite number of simpler problems, namely, problems of guidance with the target set at fixed time moments from the given time interval. Wherein, the moments of time have to be chosen quite tightly in the mentioned time interval. As an example, we provide mathematical modeling of the guidance problem of the control system named “Translational Oscillator with Rotating Actuator” as well as the graphical support of the problem solution.

Исследуется эволюция угла наклона оси вращения планеты в поле притяжения звезды и внешних планет, входящих в планетную систему. Считаем, что исследуемая планета является динамически-симметричным твердым телом $(A = B)$. Полагаем также, что сама планета и внешние планеты движутся по кеплеровским эллипсам вокруг звезды со средними движениями $\omega$ и $\omega_2,\ldots ,\omega_N$, где $N$ - число небесных тел, воздействующих на планету. В переменных Депри-Андуайе получена функция Гамильтона задачи в рамках спутникова приближения. Проведено осреднение функции Гамильтона по быстрым переменным вращательного и орбитального движений при условии отсутствия резонансов между быстрыми частотами указанных движений. Показано, что осредненная функция Гамильтона содержит, помимо классических параметров, параметры $D_i$, являющиеся функционалами на семействе орбит исследуемой планеты и внешних планет. Показано, что осредненная функция Гамильтона допускает разделение переменных и, как следствие, существует три первых интеграла в инволюции. При рассмотрении гравитационных моментов от внешних планет как малых возмущений, получены, с помощью интеграла энергии осредненных уравнений, явные приближенные формулы для угла нутации исследуемой планеты. Получены также приближенные формулы для возмущенного периода прецессии планеты. Проведены расчеты размаха колебаний по углу нутации планеты, возмущенного периода ее прецессии для частного случая планетной системы, состоящей из звезды, самой планеты и массивной внешней планеты (подобной Юпитеру) с симметрично расположенными орбитами, плоскости которых пересекаются под углом $\gamma$.

We investigate the evolution of the obliquity of a planet in the gravitational field of a star and other planets comprising a planetary system. The planet is assumed to be an axially symmetric rigid body ($A=B$). This planet and other planets move around the star along Keplerian ellipses with frequencies $\omega$ and $\omega_2,\ldots,\omega_N$, respectively, where $N$ is the number of celestial bodies (material points) affecting the planet. We derive Hamiltonian for the problem in the Depri-Andoyer variables in the satellite approximation. The Hamiltonian is averaged over the fast variables of the rotational and orbital motions, assuming that the motions are not resonant. The averaged Hamiltonian involves, in addition to the classic parameters, parameters $D_i$, that can be considered as functionals on the family of orbits of celestial bodies comprising the planetary system. The averaged Hamiltonian admits separation of variables, which implies the existence of three first integrals in involution. Regarding the gravitational torques of the other planets as small perturbations, we obtain from the energy integral of the averaged equations explicit approximate expressions for obliquity of the planet and its perturbed period of precession. We investigate numerically the amplitude of oscillations of the planet's obliquity and it's perturbed period of precession for a planetary system involving a star, the planet itself and another massive planet (similar to Jupiter), whose orbits satisfy certain symmetry conditions and orbital planes intersect at angle $\gamma$.

Исследуются движения динамически симметричного спутника (твердого тела) относительно центра масс в центральном ньютоновском гравитационном поле на слабоэллиптической орбите в окрестности его стационарного вращения (цилиндрической прецессии). Рассматриваются значения параметров, для которых в предельном случае круговой орбиты одна из частот малых линейных колебаний равна единице, а другая нулю, и ранг матрицы коэффициентов линеаризованных уравнений возмущенного движения равен двум, а также малая окрестность этой резонансной точки в трехмерном пространстве параметров. Построены резонансные периодические движения спутника, аналитические по дробным степеням малого параметра (эксцентриситета орбиты центра масс спутника), проведен строгий нелинейный анализ их устойчивости. Методами КАМ-теории описаны двух- и трехчастотные условно-периодические движения спутника, с частотами разного порядка по малому параметру. Обсуждается ряд общетеоретических вопросов, касающихся рассматриваемого кратного параметрического резонанса в близких к автономным, периодических по времени гамильтоновых системах с двумя степенями свободы. Построено несколько качественно различных вариантов областей параметрического резонанса. Показано, что в общем случае характер нелинейных резонансных колебаний системы определяется системой первого приближения по малому параметру.

The paper studies the motions of a dynamically symmetric satellite (rigid body) relative to the center of mass in the central Newtonian gravitational field on a weakly elliptical orbit in the neighborhood of its stationary rotation (cylindrical precession). We consider the values of the parameters for which, in the limiting case of a circular orbit, one of the frequencies of small linear oscillations is equal to unity and the other is equal to zero, and the rank of the coefficient matrix of the linearized equations of the perturbed motion is equal to two, as well as a small neighborhood of this resonant point in the three-dimensional space of parameters. The resonant periodic motions of the satellite, analytical in fractional powers of a small parameter (the eccentricity of the orbit of the satellite's center of mass), are constructed. A rigorous nonlinear analysis of their stability is carried out. The methods of KAM theory are used to describe two- and three-frequency conditionally periodic motions of a satellite, with frequencies of different orders in a small parameter. A number of general theoretical issues concerning the considered multiple parametric resonance in Hamiltonian systems with two degrees of freedom that are close to autonomous and periodic in time are discussed. Several qualitatively different variants of parametric resonance regions are constructed. It is shown that in the general case the nature of nonlinear resonant oscillations of the system is determined by the first approximation system in a small parameter.

Критически обсуждаются различные способы определения иррегулярных и регулярных сил в звездных системах. Наиболее удовлетворительным кажется определение Эддингтона, согласно которому регулярная сила - это сила притяжения сплошной гравитирующей среды, получающейся «размешиванием» вещества по системе. Интерес представляет также определение регулярной силы как математического ожидания случайной силы. Подчеркивается, что время пересечения τ_c, характерное время действия регулярных сил, определяет темп коллективных процессов в системе. Существенно, что регулярные силы могут приводить и, как правило, приводят к бесстолкновительной стохастизации. В этой связи рассматривается квазиэнтропия, среднее по фазовому пространству значение произвольной выпуклой функции от крупнозернистой функции распределения. Максимум квазиэнтропии для невращающихся систем возможен только при изотропном распределении скоростей. Приводятся найденные Антоновым выражения для ее первой и второй вариаций. Если вторая вариация положительна хотя бы для некоторого изменения плотности, то это означает, что данное состояние системы не является наивероятнейшим. Отсюда следует, что эволюция вдоль последовательности политропных шаров невозможна без поступления в систему дополнительной энергии. Напоминается классификация видов фазового размешивания в бесстолкновительных системах.

Кратко рассматривается проблема столкновительной релаксации в гравитирующих системах. Излагается подход к ее решению с точки зрения теории геодезических потоков с последующим усреднением по ансамблю, что требует знания закона распределения случайной силы. Чтобы избежать обрезания распределения Хольцмарка на малых прицельных расстояниях, использовано распределение случайной силы, найденное Петровской. В этом случае оказывается, что отношение эффективного времени стохастизации к времени пересечения пропорционально N^⅓/(ln N)^½, где N>>1 - число тел в системе. Полученная временная шкала столкновительной эволюции практически совпадает с шкалой, ранее предложенной Генкиным.

Various ways of definition of irregular (random) and regular (smoothed) forces in stellar systems are critically discussed. The most satisfactory is Eddington's one according to which the regular force is an attraction force of a continuous fluid resulting from spreading a stellar mass over a system. Also, a definition of the regular force as a mathematical expectation of a random force is of interest. It is emphasized that the crossing time, τ_c, a time scale of regular forces, characterizes the rate of collective processes in the system, including collisionless relaxation, that (as a rule) occurs in gravitating systems. The quasi-entropy, i.e., a result of averaging of an arbitrary convex function of a coarse-grained distribution function over the phase space, is discussed as a measure of collisionless stochastization. For non-rotating systems the maximum of quasi-entropy can be reached only for isotropic velocity distributions. Formulas for the first and second variations of quasi-entropy, found by Antonov, are given. If there exists the density variation so that the second variation of quasi-entropy is positive, then the present state of the system is not the most probable. It follows from this assertion that evolution along a sequence of polytropic spheres is not possible without some energy input to the system. We recall the classification of forms of the phase mixing in collisionless systems.

The problem of collisional relaxation in gravitating systems is briefly discussed. We state the approach to its analysis on the basis of studying geodesic flows and the ensemble averaging as the next step, which requires the knowledge of distribution of a random force. To avoid truncation of Holtsmark's distribution at small impact parameters the distribution of random force by Petrovskaya was used. In that case the ratio of the effective stochastization time to the crossing time is proportional to N^⅓/(ln N)^½, where N>>1 is the number of stars in the system. This evolutionary time scale is close to the one found earlier by Genkin.

Исследуется система $N$ ротаторов с наложенной связью, заданной условием обращения в ноль суммы косинусов углов поворота. Сформулированы уравнения динамики и приведены результаты численного моделирования для случаев $N=3$, $4$ и $5$, которые отвечают геодезическим потокам на двумерном, трехмерном и четырехмерном многообразии в компактной области (в силу периодичности конфигурационного пространства по угловым переменным). Система из трех ротаторов демонстрирует хаос, характеризуемый наличием одного положительного показателя Ляпунова, а для систем из четырех и пяти элементов имеется, соответственно, два и три положительных показателя (гиперхаос). Реализован алгоритм, позволяющий вычислять секционную кривизну многообразия в ходе численного моделирования динамики в точках траектории. В случае $N=3$ кривизна двумерного многообразия отрицательна (за исключением конечного числа точек, где она нулевая), и реализуется геодезический поток Аносова. Для $N=4$ и $5$ расчеты показывают, что условие отрицательной секционной кривизны не выполнено. Также изложена методика и представлены результаты проверки гиперболичности на основе численного анализа углов между подпространствами векторов малых возмущений, причем в случае $N=3$ гиперболичность подтверждается, а для $N=4$ и $5$ нет.

A system of $N$ rotators is investigated with a constraint given by the condition of vanishing sum of the cosines of the rotation angles. Equations of the dynamics are formulated and results of numerical simulation for the cases $N=3$, $4$, and $5$ are presented relating to the geodesic flows on a two-dimensional, three-dimensional, and four-dimensional manifold, respectively, in a compact region (due to the periodicity of the configuration space in angular variables). It is shown that a system of three rotators demonstrates chaos, characterized by one positive Lyapunov exponent, and for systems of four and five elements there are, respectively, two and three positive exponents (“hyperchaos”). An algorithm has been implemented that allows calculating the sectional curvature of a manifold in the course of numerical simulation of the dynamics at points of a trajectory. In the case of $N=3$, curvature of the two-dimensional manifold is negative (except for a finite number of points where it is zero), and Anosov's geodesic flow is realized. For $N=4$ and $5$, the computations show that the condition of negative sectional curvature is not fulfilled. Also the methodology is explained and applied for testing hyperbolicity based on numerical analysis of the angles between the subspaces of small perturbation vectors; in the case of $N=3$, the hyperbolicity is confirmed, and for $N=4$ and $5$ the hyperbolicity does not take place.

Рассматривается движение близкой к автономной, периодической по времени гамильтоновой системы с двумя степенями свободы в окрестности тривиального равновесия. Предполагается, что система зависит от трех параметров, один из которых мал, и при его нулевом значении система автономна. Пусть в автономном случае для некоторого набора двух других параметров обе частоты малых линейных колебаний системы в окрестности равновесия равны нулю и ранг матрицы коэффициентов линеаризованных уравнений возмущенного движения равен трем, двум или единице. Исследуется структура областей устойчивости и неустойчивости тривиального равновесия системы в окрестности резонансной точки трехмерного пространства параметров, изучается вопрос о существовании, числе и устойчивости (в линейном приближении) периодических движений системы, аналитических по целым или дробным степеням малого параметра. В качестве приложения построены периодические движения динамически симметричного спутника (твердого тела) относительно центра масс в окрестности его стационарного вращения (цилиндрической прецессии) на слабоэллиптической орбите в рассматриваемом случае двух нулевых частот, доказана их неустойчивость.

We consider the motion of a near-autonomous, time-periodic two-degree-of- freedom Hamiltonian system in the vicinity of trivial equilibrium. It is assumed that the system depends on three parameters, one of which is small, and when it is zero, the system is autonomous. Suppose that in the autonomous case for a set of two other parameters, both frequencies of small linear oscillations of the system in the vicinity of the equilibrium are equal to zero, and the rank of the coefficient matrix of the linearized equations of perturbed motion is three, two, or one. We study the structure of the regions of stability and instability of the trivial equilibrium of the system in the vicinity of the resonant point of a three-dimensional parameter space, as well as the existence, number and stability (in a linear approximation) of periodic motions of the system that are analytic in integer or fractional powers of the small parameter. As an application, periodic motions of a dynamically symmetric satellite (solid) with respect to the center of mass are obtained in the vicinity of its stationary rotation (cylindrical precession) in a weakly elliptical orbit in the case of two zero frequencies under study, and their instability is proved.

Данная статья посвящена созданию модели подводного робота, приводящегося в движение с помощью расположенных внутри него роторов. Подобная конструкция не имеет подвижных элементов, взаимодействующих с окружающей средой, что минимизирует негативное воздействие на нее и повышает бесшумность движения робота в жидкости. Несмотря на многочисленные дискуссии о возможности и эффективности движения за счет перемещения внутренних масс, большое количество работ, опубликованных в последнее время, подтверждает актуальность исследований. В статье представлен обзор работ, направленных на изучение движения на основе перемещения внутренних масс. Предложена конструкция безвинтового подводного робота, перемещающегося за счет вращения внутренних роторов, для проведения теоретических и экспериментальных исследований. При проведении теоретических исследований модель представляет собой полый эллипсоид с расположенными внутри тремя роторами, оси вращения которых взаимно ортогональны. Для предложенной модели безвинтового подводного робота получены уравнения движения в виде классических уравнений Кирхгофа.

The paper is devoted to the development of a model of an underwater robot actuated by inner rotors. This design has no moving elements interacting with an environment, which minimizes a negative impact on it, and increases noiselessness of the robot motion in a liquid. Despite numerous discussions on the possibility and efficiency of motion by means of internal masses' movement, a large number of works published in recent years confirms a relevance of the research. The paper presents an overview of works aimed at studying the motion by moving internal masses. A design of a screwless underwater robot that moves by the rotation of inner rotors to conduct theoretical and experimental investigations is proposed. In the context of theoretical research a robot model is considered as a hollow ellipsoid with three rotors located inside so that the axes of their rotation are mutually orthogonal. For the proposed model of a screwless underwater robot equations of motion in the form of classical Kirchhoff equations are obtained.

В работе рассматриваются результаты решения задачи стационарного течения вязкой несжимаемой жидкости в плоском канале с обратным уступом и прогреваемой нижней стенкой в широком диапазоне числа Рейнольдса $100\leqslant \text{Re}\leqslant 1000$ и параметра расширения потока $1.11 \leqslant ER \leqslant 10$. Исследование выполнено путем численного интегрирования системы двумерных уравнений Навье-Стокса в переменных «скорость-давление» на равномерных сетках с шагом 1/300. Достоверность полученных результатов подтверждается их сравнением с литературными данными. Приводятся подробные картины течения и перегрева жидкости в зависимости от двух основных параметров задачи: $\text{Re}$ и $ER$. Показывается, что с одновременным ростом параметров $\text{Re}$ и $ER$ существенно усложняется структура течения - увеличиваются количество вихрей и их размеры вплоть до образования вихря за уступом с двумя центрами вращения. Также показывается, что характерная высота зоны прогрева течения слабо зависит от $\text{Re}$ и $ER$ и в конечном счете ближе к выходу из канала составляет приблизительно половину его высоты. Для всех центров вихрей определяются их основные характеристики: координаты, экстремумы функции тока, завихренности. Анализируется сложное немонотонное поведение профилей коэффициентов трения, сопротивления и теплоотдачи (числа Нуссельта) по длине канала. Показывается, что эти коэффициенты в одинаковой степени сильно зависят как от числа Рейнольдса, так и от параметра расширения канала, достигая своих максимальных значений при максимальных значениях $\text{Re}$ и $ER$.

The paper deals with the results of solving the problem of steady-state flow of a viscous incompressible fluid in a plane channel with a backward-facing step and a heated bottom wall for the Reynolds number in the range $100\leqslant \text{Re}\leqslant1000$ and the expansion ratio of a plane channel in the range $1.11 \leqslant ER \leqslant 10$. The study was carried out by numerical integration of the 2-D Navier-Stokes equations in velocity-pressure formulation on uniform grids with a step which equals to 1/300. Correction of the results is confirmed by comparing them with the literature data. Detailed flow patterns and fields of stream overheating depending on two basic parameters of the problem $\text{Re}$ and $ER$ are demonstrated. It is shown that with the increase of parameters $\text{Re}$ and $ER$ the structure of flow becomes much more complicated, that is, there is an increase of the number of vortices and their sizes up to the formation of a vortex behind the backward-facing step with two centers of rotation. It is also stated that the typical height of the heating zone of the flow depends weakly on $\text{Re}$ and $ER$ and eventually, near the exit of the channel, equals approximately half of the channel height. For all centers of vortices their main characteristics are defined: location, extremums of stream function, vorticity. Complex nonmonotonic behaviors of the coefficients of friction, hydrodynamic resistance and heat transfer (Nusselt number) along the channel are analyzed. It is shown that these coefficients strongly depend both on Reynolds number and on expansion ratio, reaching the maximum values at the maximum values of $\text{Re}$ and $ER$.