Все выпуски

В статье рассматриваются применения теории нормальных форм к вопросам термодинамики неидеальных сред, описываемых термическими уравнениями состояния. Исходя из фундаментального уравнения Гиббса-Дюгема, вводится понятие контактной эквивалентности таких уравнений. Приводятся основные результаты формальной теории нормальных форм для контактных систем с полиномиальным квазиоднородным невозмущенным гамильтонианом, формулируются определение нормальной формы контактного гамильтониана и теорема о нормализации. С точки зрения приложений, рассматриваются модели смеси неидеальных газов и классической водородной плазмы. Для уравнения состояния смеси неидеальных газов, заданного в форме вириального разложения, показывается, что оно контактно эквивалентно уравнению состояния смеси идеальных газов. Кроме того, приводятся явные формулы для одного из возможных нормализующих преобразований. Нетривиальность физических эффектов, вносимых в модель идеальной среды резонансными возмущениями, иллюстрируется на примере возмущенного уравнения модели Дебая-Хюккеля водородной плазмы. Для этой модели находятся младшие члены возмущения в нормальной форме, и объясняется их физический смысл.

Рассматривается движение близкой к автономной, периодической по времени гамильтоновой системы с двумя степенями свободы в окрестности тривиального равновесия, устойчивого в линейном приближении. Пусть значения параметров задачи таковы, что в системе реализуется одновременно двойной комбинационный резонанс третьего порядка и резонанс четвертого порядка. Решается вопрос о существовании и устойчивости резонансных периодических решений системы. Исследование проводится на примере задачи о движении динамически симметричного спутника (твердого тела) относительно центра масс в центральном ньютоновском гравитационном поле на слабоэллиптической орбите. В качестве невозмущенных рассматриваются периодические движения спутника, рождающиеся из его стационарных вращений на круговой орбите (гиперболоидальной и конической прецессий), для резонансных значений параметров. Проведена нормализация гамильтонианов возмущенного движения, определены положения равновесия приближенных (модельных) систем, методом Пуанкаре построены соответствующие резонансные периодические движения спутника в окрестности указанных невозмущенных движений, дана их геометрическая интерпретация. Выявлены неустойчивые периодические движения, а также движения, являющиеся устойчивыми для большинства (в смысле меры Лебега) начальных условий и формально устойчивыми.

Исследуются движения динамически симметричного спутника (твердого тела) относительно центра масс в центральном ньютоновском гравитационном поле на слабоэллиптической орбите в окрестности его стационарного вращения (цилиндрической прецессии). Рассматриваются значения параметров, для которых в предельном случае круговой орбиты одна из частот малых линейных колебаний равна единице, а другая нулю, и ранг матрицы коэффициентов линеаризованных уравнений возмущенного движения равен двум, а также малая окрестность этой резонансной точки в трехмерном пространстве параметров. Построены резонансные периодические движения спутника, аналитические по дробным степеням малого параметра (эксцентриситета орбиты центра масс спутника), проведен строгий нелинейный анализ их устойчивости. Методами КАМ-теории описаны двух- и трехчастотные условно-периодические движения спутника, с частотами разного порядка по малому параметру. Обсуждается ряд общетеоретических вопросов, касающихся рассматриваемого кратного параметрического резонанса в близких к автономным, периодических по времени гамильтоновых системах с двумя степенями свободы. Построено несколько качественно различных вариантов областей параметрического резонанса. Показано, что в общем случае характер нелинейных резонансных колебаний системы определяется системой первого приближения по малому параметру.

Рассматриваются движения близкой к автономной периодической по времени гамильтоновой системе с двумя степенями свободы в окрестности тривиального равновесия, устойчивого в линейном приближении. Предполагается, что в системе реализуется двойной, основной и комбинационный, резонанс третьего порядка, при этом комбинационный резонанс может быть сильным или слабым. В обоих случаях в полной нелинейной системе указанное равновесие неустойчиво. Проведена нормализация гамильтонианов возмущенного движения в членах до четвертого порядка включительно относительно возмущений с учетом имеющихся резонансов. Решен вопрос о существовании и числе положений равновесия соответствующих приближенных (модельных) систем, найдены достаточные и необходимые условия их устойчивости. Методом малого параметра Пуанкаре построены периодические движения исходных полных систем, рождающиеся из положений равновесия модельных систем. Решен вопрос об их устойчивости в линейном приближении. В частности, получены условия существования (в малой окрестности неустойчивого тривиального равновесия) устойчивых (в линейном приближении) периодических движений.

Рассматривается движение близкой к автономной, периодической по времени гамильтоновой системы с двумя степенями свободы в окрестности тривиального равновесия. Предполагается, что система зависит от трех параметров, один из которых мал, и при его нулевом значении система автономна. Пусть в автономном случае для некоторого набора двух других параметров обе частоты малых линейных колебаний системы в окрестности равновесия равны нулю и ранг матрицы коэффициентов линеаризованных уравнений возмущенного движения равен трем, двум или единице. Исследуется структура областей устойчивости и неустойчивости тривиального равновесия системы в окрестности резонансной точки трехмерного пространства параметров, изучается вопрос о существовании, числе и устойчивости (в линейном приближении) периодических движений системы, аналитических по целым или дробным степеням малого параметра. В качестве приложения построены периодические движения динамически симметричного спутника (твердого тела) относительно центра масс в окрестности его стационарного вращения (цилиндрической прецессии) на слабоэллиптической орбите в рассматриваемом случае двух нулевых частот, доказана их неустойчивость.