Все выпуски

В настоящей работе проведено исследование модели деформаций системы из $n$ стилтьесовских струн, расположенных вдоль геометрического графа-звезды, с нелинейным условием в узле. Соответствующая граничная задача имеет вид $$ \left\{\begin{array}{lll} -\left(p_iu_i^\prime\right)(x)+\displaystyle{\int_{0}^{x}}u_i\,dQ_i=F_i(x)-F_i(+0)-(p_iu_i')(+0),\quad i=1,2, \ldots, n,\\ \sum\limits_{i=1}^np_i(+0)u_i'(+0)\in N_{[-m,m]}u(0),\\ u_1(0)=u_2(0)=\ldots=u_n(0)=u(0),\\ (p_iu_i')(l_i-0)+u_i(l_i)\Delta Q_i(l_i)=\Delta F_i(l_i),\quad i=1,2,\ldots, n. \end{array} \right. $$ Здесь функции $u_i(x)$ определяют деформации каждой из струн; $F_i(x)$ описывают распределение внешней нагрузки; $p_i(x)$ характеризуют упругость струн; $Q_i(x)$ описывают упругую реакцию внешней среды. Скачок $\Delta F_i(l_i)$ равняется сосредоточенной в точке $l_i$ внешней силе; скачок $\Delta Q_i(l_i)$ совпадает с жесткостью упругой опоры (пружины), прикрепленной к точке $l_i$. Условие $\sum\limits_{i=1}^np_i(+0)u_i'(+0)\in N_{[-m,m]}u(0)$ возникает за счет наличия в узле ограничителя, представленного отрезком $[-m,m]$, на перемещение струн под воздействием внешней нагрузки, то есть предполагается, что $|u(0)|\leq m$. Здесь через $N_{[-m,m]}u(0)$ обозначен нормальный конус к $[-m,m]$ в точке $u(0)$. В работе проведен вариационный вывод модели; доказаны теоремы существования и единственности решения; проанализированы критические нагрузки, при которых происходит соприкосновение струн с ограничителем; приведена явная формула представления решения.

In the present paper we study a model of deformations for a system of $n$ Stieltjes strings located along a geometric graph-star with a nonlinear condition at the node. The corresponding boundary value problem has the form $$ \left\{\begin{array}{lll} -\left(p_iu_i^\prime\right)(x)+\displaystyle{\int_0^x}u_idQ_i=F_i(x)-F_i(+0)-(p_iu_i')(+0), \quad i=1,2, \ldots, n,\\ \sum\limits_{i=1}^np_i(+0)u_i'(+0)\in N_{[-m,m]}u(0),\\ u_1(0)=u_2(0)=\ldots=u_n(0)=u(0),\\ (p_iu_i')(l_i-0)+u_i(l_i)\Delta Q_i(l_i)=\Delta F_i(l_i), \quad i=1,2,\ldots, n. \end{array} \right. $$ Here the functions $u_i(x)$ determine the deformations of each of the strings; $F_i(x)$ describe the distribution of the external load; $p_i(x)$ characterize the elasticity of strings; $Q_i(x)$ describe the elastic response of the environment. The jump $\Delta F_i(l_i)$ is equal to the external force concentrated at the point $l_i$; the jump $\Delta Q_i(l_i)$ coincides with the stiffness of the elastic support (spring) attached to the point $l_i$. The condition $\sum\limits_{i=1}^np_i(+0)u_i'(+0)\in N_{[-m,m]}u(0)$ arises due to the presence of a limiter in the node represented by the segment $ [-m,m]$, on the movement of strings under the influence of an external load, thus it is assumed that $|u(0)|\leq m$. Here $N_{[-m,m]}u(0)$ denotes the normal cone to $[-m,m]$ at the point $u(0)$. In the present paper a variational derivation of the model is carried out; existence and uniqueness theorems for solutions are proved; the critical loads at which the strings come into contact with the limiter are analyzed; an explicit formula for the representation of the solution is presented.

Изложены базовые принципы линеаризации уравнений произвольной многокомпонентной механической системы. Описаны общие подходы к формированию специализированных численных методов интегрирования этих систем, которые основаны на классических методах прямого интегрирования уравнений динамики метода конечных элементов. Подробно рассматривается метод, базирующийся на известном неявном методе Ньюмарка. Выведены расчетные формулы метода, проведено краткое исследование на устойчивость. Кроме того, приведены примеры тестовых расчетов, выполненных с помощью специализированного метода Ньюмарка в программном комплексе динамического анализа многокомпонентных механических систем EULER.

The article covers the basic principles of the linearization of dynamic equations for an arbitrary multibody mechanical system. General approaches to the formation of specialized numerical methods for integrating multibody systems are described, which are based on classical methods of finite-element method for direct integration of the dynamic equations. The method based on the known implicit Newmark method is considered. The calculation formulae are derived and a brief study on stability is conducted. In addition, the examples of test calculation are given, which are performed using the Newmark specialized method by means of bundled EULER software for dynamic analysis of multibody mechanical systems.