Все выпуски

Новизна в том, что лицо, принимающее решение (ЛПР) в многокритериальной задаче при неопределенности, стремится не только по возможности увеличить гарантированные значения каждого из своих критериев, но и одновременно уменьшить гарантированные риски, сопровождающие такое увеличение. Предлагаемое исследование выполнено на стыке теории многокритериальных задач (МЗ) и принципа минимаксного сожаления (риска) (ПМС) Сэвиджа-Ниханса: из теории МЗ использованы понятие слабо эффективной оценки и сопровождающая теорема Ю.Б. Гермейера, а из ПМС - оценка значения функции сожаления в качестве риска по Сэвиджу-Нихансу. Рассмотрение ограничено интервальными неопределенностями: о них ЛПР известны лишь границы изменения, а какие-либо вероятностные характеристики отсутствуют (по тем или иным причинам). Введено новое понятие - сильно гарантированного по исходам и рискам решения (СГИР), максимального по Слейтеру; установлено его существование при «привычных» для математического программирования ограничениях (непрерывность критериев, компактность множеств стратегий и неопределенностей). В качестве приложения найден явный вид СГИР в задаче диверсификации вклада по рублевому и валютному депозитам.

The applicability and novelty of this research lies in that the decision-maker in a multicriteria problem aims not only to maximize guaranteed values of each criterion, but also to minimize the guaranteed risks accompanying the said maximization. The topic of the research lies at the interface of the multicriteria problem theory and the Savage-Niehans minimax regret principle: the concept of a weakly effective estimate has been derived from the MP theory, while estimation of risks with values of the Savage-Niehans regret function has been derived from the minimax regret principle. The scope of this research is limited to interval uncertainties: the decision-maker only knows the limits of the interval, and probabilistic characteristics are missing. A new term is introduced, namely, “strongly guaranteed solution under outcomes and risks”; its existence for “regular”-confined-strategies for the mathematical programming is established. As an example of a practical application, the problem of diversification of a multi-currency deposit is suggested and solved.

Рассматривается терминальная задача оптимизации нелинейной управляемой системы Гурса-Дарбу с полной каратеодориевской правой частью уравнения в случае, когда необходимо искать решения системы в классе функций с суммируемой в некоторой степени $p>1$ смешанной производной. Показывается, что если правая часть аффинна по производным и они в ней аддитивно отделены от управления, то вырождение поточечного принципа максимума (необходимого условия оптимальности первого порядка при игольчатом варьировании управления) всегда является сильным, то есть на особом управлении принципа максимума одновременно с принципом максимума вырождаются и условия оптимальности второго порядка. Приводятся необходимые условия оптимальности особых управлений в этой ситуации, обобщающие известные сходные условия, относящиеся к случаю решений с ограниченной смешанной производной и более гладких правых частей уравнений.

The paper deals with the terminal optimization problem connected with the Goursat-Darboux control system. The right-hand side of the differential equation is a full nonlinear Caratheodory function. We consider the case in which solutions of the Goursat-Darboux system necessarily belong to a class of functions with $p$-integrable (for some $p>1$) mixed derivatives. In our case a choice of this class is defined by boundary functions. We study singular controls in the sense of the pointwise maximum principle that are controls for which this principle is strong degenerate, i.e., degenerate together with second-order optimality conditions. It is shown that for strong degeneration of the pointwise maximum principle it is sufficient that right-hand side with respect to state derivatives is affine and these derivatives and control are separated additively. Necessary optimality conditions of the singular controls are given for this case. These conditions generalize similar necessary optimality conditions which were obtained for more smooth right-hand sides in the case of solutions with bounded mixed derivatives.

Изучается задача о малых движениях идеальной стратифицированной жидкости со свободной поверхностью, частично покрытой упругим льдом. Упругий лед моделируется упругой пластиной. Задача исследуется на основе подхода, связанного с применением так называемой теории операторных матриц. С этой целью вводятся гильбертовы пространства и некоторые их подпространства, а также вспомогательные краевые задачи. Начальная краевая задача сведена к задаче Коши для дифференциального уравнения второго порядка в некотором гильбертовом пространстве. После подробного изучения свойств операторных коэффициентов, отвечающих возникшей системе уравнений, доказывается теорема о сильной разрешимости полученной задачи Коши на конечном интервале времени. На этой основе доказана также теорема о существовании решения и исходной начально-краевой задачи.

We study the problem of small motions of an ideal stratified fluid with a free surface, partially covered with elastic ice. Elastic ice is modeled by an elastic plate. The problem is studied on the basis of an approach connected with application of the so-called operator matrices theory. To this end we introduce Hilbert spaces and some of their subspaces as well as auxiliary boundary value problems. The initial boundary value problem is reduced to the Cauchy problem for the differential second-order equation in Hilbert space. After a detailed study of the properties of the operator coefficients corresponding to the resulting system of equations, we prove a theorem on the strong solvability of the Cauchy problem obtained on a finite time interval. On this basis, we find sufficient conditions for the existence of a strong (with respect to the time variable) solution of the initial-boundary value problem describing the evolution of the hydrosystem.

Рассматривается регуляризация принципа Лагранжа (ПЛ) в выпуклой задаче условной оптимизации с операторным ограничением-равенством в гильбертовом пространстве и конечным числом функциональных ограничений-неравенств. Целевой функционал задачи не является, вообще говоря, сильно выпуклым, а на множество ее допустимых элементов, которое также принадлежит гильбертову пространству, не накладывается условие ограниченности. Получение регуляризованного ПЛ основано на методе двойственной регуляризации и предполагает использование двух параметров регуляризации и двух соответствующих условий согласования одновременно. Один из регуляризирующих параметров «отвечает» за регуляризацию двойственной задачи, другой же содержится в сильно выпуклом регуляризирующем добавке к целевому функционалу исходной задачи. Основное предназначение регуляризованного ПЛ — устойчивое генерирование обобщенных минимизирующих последовательностей, аппроксимирующих точное решение задачи по функции и по ограничениям, для целей ее непосредственного практического устойчивого решения.

We consider the regularization of the Lagrange principle (LP) in the convex constrained optimization problem with operator constraint-equality in a Hilbert space and with a finite number of functional inequality-constraints. The objective functional of the problem is not, generally speaking, strongly convex. The set of admissible elements of the problem is also embedded into a Hilbert space and is not assumed to be bounded. Obtaining a regularized LP is based on the dual regularization method and involves the use of two regularization parameters and two corresponding matching conditions at the same time. One of the regularization parameters is «responsible» for the regularization of the dual problem, while the other is contained in a strongly convex regularizing addition to the objective functional of the original problem. The main purpose of the regularized LP is the stable generation of generalized minimizing sequences that approximate the exact solution of the problem by function and by constraint, for the purpose of its practical stable solving.

В данной работе исследуются различные разновидности показателей колеблемости (верхние или нижние, сильные или слабые) нулей, корней, гиперкорней, строгих и нестрогих знаков ненулевых решений линейных однородных дифференциальных систем на положительной полуоси. На множестве ненулевых решений систем установлены соотношения между этими показателями колеблемости. Доказано, что все сильные показатели колеблемости (в отличие от частот Сергеева смен знаков, нулей и корней, а также всех слабых показателей колеблемости), рассматриваемые как функции на множестве решений линейных однородных дифференциальных систем с непрерывными на полуоси коэффициентами, не являются остаточными (т.е. могут меняться при изменении решения на конечном отрезке). Кроме того, при любом наперед заданном натуральном $n\ge2$ приводится пример $n$-мерной дифференциальной системы, у которой все сильные показатели колеблемости некоторого решения не совпадают с соответствующими слабыми показателями. При этом все слабые и все сильные показатели на выбранном решении совпадают соответственно между собой. При доказательстве результатов настоящей работы отдельно рассмотрены случаи четности и нечетности $n$.

In this paper, we study various types of exponents of oscillation (upper or lower, strong or weak) of zeros, roots, hyperroots, strict and non-strict signs of non-zero solutions of linear homogeneous differential systems on the positive semi-axis. On the set of non-zero solutions of autonomous systems the relations between these exponents of oscillation are established. It is proved that all strong exponents of oscillations (unlike Sergeev's frequencies of sign changes, zeros and roots, as well as all the weak exponents of oscillations) considered as functions on the set of solutions to linear homogeneous $n$-dimensional differential systems with continuous coefficients on the semi-line are not residual (i.e. can be changed when changing solution on a finite interval). Besides, at any beforehand given natural $n\ge2$ we give the example of $n$-dimensional differential system, for some solution of which all strong oscillation exponents differ from corresponding weak exponents. In this case, all weak and all strong exponents on the chosen solution coincide with each other, respectively. When proving the results of this work, the case of parity and odd $n$ are considered separately.

Пусть $U$ — множество допустимых управлений, $T>0$ и задана шкала банаховых пространств $W[0;\tau]$, $\tau\in(0;T]$, такая, что множество сужений функций из $W=W[0;T]$ на $[0;\tau]$ совпадает с $W[0;\tau]$; $F[.;u]\colon W\to W$ — управляемый вольтерров оператор, $u\in U$. Ранее для операторного уравнения $x=F[x;u]$, $x\in W$, автором была введена система сравнения в форме функционально-интегрального уравнения в пространстве $\mathbf{C}[0;T]$. Было установлено, что для сохранения (относительно малых вариаций правой части) глобальной разрешимости операторного уравнения достаточно сохранения глобальной разрешимости указанной системы сравнения, а также установлены соответствующие достаточные условия. В данной статье рассматриваются дальнейшие примеры приложения этой теории: нелинейное волновое уравнение, сильно нелинейное волновое уравнение, нелинейное уравнение теплопроводности, сильно нелинейное параболическое уравнение.

Let $U$ be the set of admissible controls, $T>0$, and let $W[0;\tau]$, $\tau\in(0;T]$, be a scale of Banach spaces such that the set of restrictions of functions from $W=W[0;T]$ to $[0;\tau]$ coincides with $W[0;\tau]$; let $F[.;u]\colon W\to W$ be a controlled Volterra operator, $u\in U$. Earlier, for the operator equation $x=F[x;u]$, $x\in W$, the author introduced a comparison system in the form of a functional integral equation in the space $\mathbf{C}[0;T]$. It was established that to preserve (under small perturbations of the right-hand side) the global solvability of the operator equation, it is sufficient to preserve the global solvability of the specified comparison system, and the corresponding sufficient conditions were established. In this paper, further examples of application of this theory are considered: nonlinear wave equation, strongly nonlinear wave equation, nonlinear heat equation, strongly nonlinear parabolic equation.

Исследуется асимптотическое поведение решений разностных уравнений, правая часть каждого из которых в данный момент времени зависит не только от значения в предыдущий момент, но и от случайного параметра, принимающего значения в заданном множестве $\Omega.$ Получены условия устойчивости по Ляпунову и асимптотической устойчивости положения равновесия, выполненные для всех значений случайных параметров и выполненные с вероятностью единица. Показано, что задача о сосуществовании стохастических циклов различных периодов имеет решение, которое существенно отличается от известного результата А.Н. Шарковского для детерминированного разностного уравнения, а именно - при определенных условиях из существования стохастического цикла длины $k$ следует существование цикла любой длины $\ell>k$.

We investigate the asymptotic behavior of solutions of difference equations. Their right-hand sides at given time depend not only on the value of state at the previous moment, but also on a random value from a given set $\Omega$. We obtain conditions of Lyapunov stability and asymptotic stability of the equilibrium for all values of random parameters and with probability one. We show that the problem of coexistence of stochastic cycles of different periods has a solution, which strongly differs from a known Sharkovsky result for a determined difference equation. Under some conditions, the existence of a stochastic cycle of length $k$ implies the existence of a cycle of any length $\ell>k$.

В данной работе исследуются различные разновидности показателей колеблемости (верхние или нижние, сильные или слабые) нулей, корней, гиперкорней, строгих и нестрогих знаков ненулевых решений линейных однородных автономных дифференциальных систем на положительной полуоси. На множестве ненулевых решений автономных систем установлены соотношения между этими показателями колеблемости. Полностью изучены спектры показателей колеблемости автономных систем. Оказалось, что они напрямую зависят от корней соответствующего характеристического многочлена системы. Как следствие, найдены спектры всех показателей колеблемости автономных систем с симметричной матрицей. Доказано, что они состоят из одного нулевого значения. Кроме того, дано полное описание главных значений показателей колеблемости таких систем. Эти значения для показателей колеблемости нестрогих знаков, корней и гиперкорней совпали с множеством модулей мнимых частей собственных значений матрицы системы, а показатели колеблемости строгих знаков могут состоять из нуля и наименьшего по модулю из мнимых частей комплексных корней соответствующего характеристического многочлена.

In this paper, we study various types of exponents of oscillation (upper or lower, strong or weak) of zeros, roots, hyperroots, strict and non-strict signs of non-zero solutions of linear homogeneous autonomous differential systems on the positive semi-axis. On the set of non-zero solutions of autonomous systems the relations between these exponents of oscillation are established. The spectra of the exponents of autonomous systems' oscillation are fully studied. It turned out that they directly depend on the roots of the corresponding characteristic polynomial of the system. As a consequence, spectra of all exponents of oscillation of autonomous systems with symmetric matrix are found. It is proved that they consist of a single zero value. In addition, a full description of the main values of the exponents of oscillation of such systems is given. These values for the exponents of oscillation of non-strict signs, roots and hyperroots coincided with the set of modules of imaginary parts of the system matrix's eigenvalues, and the exponents of oscillation of strict signs can consist of zero and the least, in absolute magnitude, imaginary part of the complex roots of the corresponding characteristic polynomial.

Рассматривается регуляризация классических условий оптимальности (КУО) — принципа Лагранжа и принципа максимума Понтрягина — в выпуклой задаче оптимального управлении с функциональными ограничениями типа равенства и неравенства. Управляемая система задается линейным функционально-операторным уравнением второго рода общего вида в пространстве $L^m_2$, основной оператор правой части уравнения предполагается квазинильпотентным. Целевой функционал задачи является сильно выпуклым. Получение регуляризованных КУО в итерационной форме основано на использовании метода итеративной двойственной регуляризации. Основное предназначение получаемых в работе регуляризованных принципа Лагранжа и принципа максимума Понтрягина в итерационной форме — устойчивое генерирование минимизирующих приближенных решений в смысле Дж. Варги. Регуляризованные КУО в итерационной форме формулируются как теоремы существования в исходной задаче минимизирующих приближенных решений. Они «преодолевают» свойства некорректности КУО и являются регуляризирующими алгоритмами для решения оптимизационных задач. В качестве иллюстративного примера рассматривается задача оптимального управления, связанная с гиперболической системой дифференциальных уравнений первого порядка.

We consider the regularization of the classical optimality conditions (COCs) — the Lagrange principle and the Pontryagin maximum principle — in a convex optimal control problem with functional constraints of equality and inequality type. The system to be controlled is given by a general linear functional-operator equation of the second kind in the space $L^m_2$, the main operator of the right-hand side of the equation is assumed to be quasinilpotent. The objective functional of the problem is strongly convex. Obtaining regularized COCs in iterative form is based on the use of the iterative dual regularization method. The main purpose of the regularized Lagrange principle and the Pontryagin maximum principle obtained in the work in iterative form is stable generation of minimizing approximate solutions in the sense of J. Warga. Regularized COCs in iterative form are formulated as existence theorems in the original problem of minimizing approximate solutions. They “overcome” the ill-posedness properties of the COCs and are regularizing algorithms for solving optimization problems. As an illustrative example, we consider an optimal control problem associated with a hyperbolic system of first-order differential equations.

Пусть $V$ — сепарабельное рефлексивное банахово пространство, непрерывно вложенное в гильбертово пространство $H$ и плотное в нем; $X=L_p(0,T;V)\cap L_{p_0}(0,T;H)$; $U$ — заданное множество управлений; $A\colon X\to X^*$ — заданный вольтерров оператор, радиально непрерывный, мотонный и коэрцитивный (вообще говоря, нелинейный). Для задачи Коши, связанной с управляемым эволюционным уравнением вида \[x^\prime+Ax=f[u](x),\quad x(0)=a\in H;\quad x\in W=\{ x\in X\colon x^\prime\in X^*\},\] где $u\in U$ — управление, $f[u]\colon \mathbf{C}(0,T;H)\to X^*$ — вольтерров оператор ($W\subset\mathbf{C}(0,T;H)$), доказана тотально (по множеству допустимых управлений) глобальная разрешимость при условии глобальной разрешимости некоторого функционально-интегрального неравенства в пространстве $\mathbb{R}$. Во многих частных случаях указанное неравенство может быть конкретизировано как задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения. Фактически, развивается аналогичный результат, доказанный автором ранее для случая линейного оператора $A$ и $V=H=V^*$. Отдельно рассматриваются случаи компактного вложения пространств, усиления условия монотонности и совпадения тройки пространств $V=H=H^*$. В последних двух случаях доказывается также единственность решения. В первом случае применяется теорема Шаудера, в остальных — технология продолжения решения по времени (то есть продолжения вдоль вольтерровой цепочки). Приводятся конкретные примеры задания оператора $A$.

Let $V$ be a separable reflexive Banach space being embedded continuously in a Hilbert space $H$ and dense in it; $X=L_p(0,T;V)\cap L_{p_0}(0,T;H)$; $U$ be a given set of controls; $A\colon X\to X^*$ be a given Volterra operator which is radially continuous, monotone and coercive (and, generally speaking, nonlinear). For the Cauchy problem associated with controlled evolutionary equation as follows $$x^\prime+Ax=f[u](x),\quad x(0)=a\in H;\quad x\in W=\{x\in X\colon x^\prime\in X^*\},$$ where $u\in U$ is a control, $f[u]\colon \mathbf{C}(0,T;H)\to X^*$ is Volterra operator ($W\subset\mathbf{C}(0,T;H)$), we prove totally (with respect to a set of admissible controls) global solvability subject to global solvability of some functional integral inequality in the space $\mathbb{R}$. In many particular cases the above inequality may be realized as the Cauchy problem associated with an ordinary differential equation. In fact, a similar result proved by the author earlier for the case of linear operator $A$ and identity $V=H=V^*$ is developed. Separately, we consider the cases of compact embedding of spaces, strengthening of the monotonicity condition and coincidence of the triplet of spaces $V=H=H^*$. As to the last two cases, we prove also the uniqueness of the solution. In the first case we use Schauder theorem and in the last two cases we apply the technique of continuation of solution along with the time axis (i.e., continuation along with a Volterra chain). Finally, we give some examples of an operator $A$ satisfying our conditions.