Все выпуски

В конечномерном нормированном пространстве рассматривается дискретная игровая задача фиксированной продолжительности. Терминальное множество определяется условием принадлежности нормы фазового вектора отрезку с положительными концами. Множество, определяемое данным условием, названо в работе кольцом. Цель первого игрока заключается в том, чтобы в заданный момент времени привести фазовый вектор на терминальное множество. Цель второго игрока противоположна. В данной работе построены оптимальные управления игроков. Проведено компьютерное моделирование игрового процесса. Рассмотрена модификация исходной задачи, в которой у первого игрока в неизвестный момент времени происходит изменение в динамике.

In a normed space of finite dimension a discrete game problem with fixed duration is considered. The terminal set is determined by the condition that the norm of the phase vector belongs to a segment with positive ends. In this paper, a set defined by this condition is called a ring. The aim of the first player is to lead a phase vector to the terminal set at fixed time. The aim of the second player is the opposite. In this paper, optimal controls of the players are constructed. Computer simulation of the game process is performed. A modification of the original problem, in which at an unknown time there is a change in the dynamics of the first player, is considered.

Для динамической системы, подверженной воздействиям управления и помехи и содержащей последействие в управляющих силах, рассматривается задача об управлении с оптимальным гарантированным результатом для показателя качества, представляющего собой евклидову норму совокупности отклонений движения системы в заданные моменты времени от заданных целей. На основе функциональной трактовки, опирающейся на своеобразный прогноз движений, исходная задача сводится к вспомогательной дифференциальной игре для системы без запаздывания и с терминальной платой. Функция цены этой игры вычисляется на базе конструкции выпуклых сверху оболочек вспомогательных функций из метода стохастического программного синтеза, оптимальные стратегии строятся методом экстремального сдвига на сопутствующие точки. Рассматриваются иллюстрирующие примеры, приводятся результаты численных экспериментов.

For a dynamical system under control and disturbances, and with delay in control, the problem of control with the optimal guaranteed result is considered for a quality index which is the Euclidean norm of the set of deviations of a system motion at the given instants from the given targets. On the basis of a functional treatment basing on a proper prediction of the motion the problem is reduced to an auxiliary differential game for a system without delay and with a terminal quality index. The value of this game is calculated from the construction of upper convex hulls of auxiliary functions from the method of stochastic program synthesis, optimal strategies are formed by the method of an extremal shift to the corresponding points. Illustrating examples and results of numerical experiments are presented.

Доказывается принцип максимума для терминальной задачи оптимизации нелинейной управляемой системы Гурса–Дарбу с полной каратеодориевской правой частью уравнения при общих условиях, позволяющих искать решения системы в классе функций с суммируемой в некоторой степени смешанной производной.

The maximum principle in the terminal optimization problem for general nonlinear Goursat–Darboux system is proved. The right part of differential equation is Caratheodory function. We consider the case when a mixed derivative of system solution is summable function.

Рассматривается терминальная задача оптимизации нелинейной управляемой системы Гурса-Дарбу с полной каратеодориевской правой частью уравнения в случае, когда необходимо искать решения системы в классе функций с суммируемой в некоторой степени $p>1$ смешанной производной. Показывается, что если правая часть аффинна по производным и они в ней аддитивно отделены от управления, то вырождение поточечного принципа максимума (необходимого условия оптимальности первого порядка при игольчатом варьировании управления) всегда является сильным, то есть на особом управлении принципа максимума одновременно с принципом максимума вырождаются и условия оптимальности второго порядка. Приводятся необходимые условия оптимальности особых управлений в этой ситуации, обобщающие известные сходные условия, относящиеся к случаю решений с ограниченной смешанной производной и более гладких правых частей уравнений.

The paper deals with the terminal optimization problem connected with the Goursat-Darboux control system. The right-hand side of the differential equation is a full nonlinear Caratheodory function. We consider the case in which solutions of the Goursat-Darboux system necessarily belong to a class of functions with $p$-integrable (for some $p>1$) mixed derivatives. In our case a choice of this class is defined by boundary functions. We study singular controls in the sense of the pointwise maximum principle that are controls for which this principle is strong degenerate, i.e., degenerate together with second-order optimality conditions. It is shown that for strong degeneration of the pointwise maximum principle it is sufficient that right-hand side with respect to state derivatives is affine and these derivatives and control are separated additively. Necessary optimality conditions of the singular controls are given for this case. These conditions generalize similar necessary optimality conditions which were obtained for more smooth right-hand sides in the case of solutions with bounded mixed derivatives.

Рассматривается линейная дифференциальная игра с импульсным управлением первого игрока. Возможности первого игрока определяются запасом ресурсов, который он может использовать при формировании своего управления. В отдельные моменты времени возможно отделение части запаса ресурсов, что может привести к «мгновенному» изменению фазового вектора, тем самым задача усложняется. Управление второго игрока стеснено геометрическими ограничениями. Вектограммы игроков описываются одним и тем же шаром с разными радиусами, зависящими от времени. Терминальное множество в игре определяется условием принадлежности нормы фазового вектора отрезку с положительными концами. Множество, определяемое данным условием, названо в работе кольцом. Цель первого игрока заключается в том, чтобы в заданный момент времени привести фазовый вектор на терминальное множество. Цель второго игрока противоположна. С помощью максимального стабильного моста, определенного авторами ранее, построены оптимальные управления игроков.

We consider a linear differential game with a pulse control of the first player. The abilities of the first player are determined by the stock of resources that the player can use when forming his control. At certain instants of time a separation of part of the resources stock is possible, which may implicate an “instantaneous” change of a phase vector, resulting in the complication of the problem. The control of the second player has geometrical constraints. The vectograms of the players are described by the same ball with different time-dependent radii. The terminal set of the game is determined by the condition of belonging the norm of a phase vector to a segment with positive ends. In this paper, a set defined by this condition is called a ring. The aim of the first player is to lead a phase vector to the terminal set at fixed time. The aim of the second player is opposite. With the maximal stable bridge, which has been defined by the authors previously, optimal controls of players are constructed.

Для задачи управления в условиях динамических помех изучается влияние, которое оказывает на оптимальный гарантированный результат сужение класса помех до программных помех. В частности, приводится пример задачи оптимального управления, в которой оптимальный гарантированный результат существенно изменяется при таком сужении множества допустимых помех.

The control problem under dynamical disturbance is considered. The example of the control system and the terminal type quality index, such that optimal guarantee decrease substantially while narrowing the set of allowed disturbances to the programm ones is given.

Исследуется задача последовательного обхода мегаполисов с условиями предшествования, ориентированная на применение в машиностроении при листовой резке деталей на машинах с ЧПУ. Имеется следующая особенность постановки: терминальная компонента аддитивного критерия содержит зависимость от стартовой точки. Данная особенность приводит к тому, что естественная процедура решения на основе динамического программирования должна применяться индивидуально для каждой точки старта. Целью исследования является построение оптимизирующего алгоритма для определения комплекса, включающего маршрут (способ нумерации мегаполисов), траекторию и точку старта. Предложенный алгоритм реализует идею направленного перебора точек старта. Алгоритм реализован в виде стандартной программы для ПЭВМ; решены модельные примеры.

The problem of sequential traversal of megapolises with precedence conditions is investigated; this problem is oriented to mechanical engineering — CNC metal cutting machines. There is the following setting singularity: the terminal component of additive criterion contains the dependence on the starting point. This singularity leads to the fact that the natural solution procedure based on dynamic programming must be applied individually for every starting point. The investigation goal consists in the construction of an optimizing algorithm for determining a complex including a route (a variant of megapolis numbering), a trajectory, and a starting point. The proposed algorithm realizes an idea of directed enumeration of starting points. This algorithm is realized as a program for PC; computations for model examples are made.