Все выпуски

Рассматривается трехмерная бидиффузионная конвекция в бесконечном по горизонтали слое несжимаемой жидкости в окрестности точек бифуркации Хопфа, взаимодействующая с полем горизонтальной завихренности. Методом многомасштабных разложений получено семейство амплитудных уравнений, описывающее вариации амплитуды конвективных ячеек, форма которых задаётся как суперпозиция конечного числа конвективных валиков с различными волновыми векторами.

Для численного моделирования полученных систем амплитудных уравнений были разработаны несколько численных схем, основанных на современных ETD (exponential time differencing) псевдоспектральных методах. Написаны пакеты программ для моделирования валиковой конвекции, а также конвекции с ячейками квадратного и гексагонального типов. Численное моделирование показало, что конвекция имеет вид вытянутых "облаков" или "нитей". Было замечено, что в системе достаточно быстро развивается состояние диффузионного хаоса, когда первоначальное симметричное состояние разрушается, и конвекция становится нерегулярной как по пространству, так и по времени. При этом в некоторых областях возникают пиковые всплески завихренности.

Three-dimensional double-diffusive convection in a horizontally infinite layer of an uncompressible liquid interacting with horizontal vorticity field is considered in the neighborhood of Hopf bifurcation points. A family of amplitude equations for variations of convective cells amplitude is derived by multiple-scaled method. Shape of the cells is given as a superposition of a finite number of convective rolls with different wave vectors.

For numerical simulation of the obtained systems of amplitude equations a few numerical schemes based on modern ETD (exponential time differencing) pseudospectral methods have been developed. The software packages have been written for simulation of roll-type convection and convection with square and hexagonal type cells. Numerical simulation has showed that the convection takes the form of elongated “clouds” or “filaments”. It has been noted that in the system quite rapidly a state of diffusive chaos is developed, where the initial symmetric state is destroyed and the convection becomes irregular both in space and time. At the same time in some areas there are bursts of vorticity.

Рассматривается многомерное уравнение нелинейной диффузии типа пантографа с линейно растущим запаздыванием по времени и масштабированием по пространственным переменным в источнике (стоке). Предложено строить точные решения методом редукции с использованием двух анзацев с квадратичной зависимостью от пространственных переменных. Зависимость решения от пространственных переменных находится из системы алгебраических уравнений, а зависимость от времени находится из системы обыкновенных дифференциальных уравнений с линейно растущим запаздыванием аргумента. Приводится ряд примеров точных решений, как радиально симметричных, так и анизотропных по пространственным переменным.

We consider a multidimensional pantograph-type nonlinear diffusion equation with a linearly increasing time delay and scaling with respect to spatial variables in the source (sink). It is proposed to construct exact solutions by the reduction method using two ansatzes with a quadratic dependence on spatial variables. The dependence of the solution on spatial variables is found from a system of algebraic equations, and the dependence on time is found from a system of ordinary differential equations with a linearly increasing delay of the argument. A number of examples of exact solutions are given, both radially symmetric and anisotropic with respect to spatial variables.

Мы исследуем эволюцию осесимметричного двухслойного медленного течения вязкой жидкости со свободной границей, которое создается начальным рельефом границ слоев и скоростями на нижней границе. Каждый слой имеет постоянную плотность и вязкость. Предполагается, что верхний слой имеет меньшую плотность, чем нижний. На основе уравнений Рейнольдса построена система нелинейных параболических уравнений относительно поверхности и границы раздела слоев для описания этого течения. Принимая безразмерный скачок плотностей между слоями как малый параметр, мы применяем метод асимптотических разложений, чтобы выделить главное приближение для медленной эволюции уравнений движения на больших временах. Получено асимптотическое уравнение, связывающее смещения поверхности и границы раздела слоев со скоростями на нижней границе. На основе этого уравнения разработан алгоритм для расчета полей скоростей в слоях на больших временах. Для наглядного представления течения используются линии тока. Численные результаты показали устойчивость линий тока в верхнем слое при вариации скорости на нижней границе. В качестве геофизических приложений разработанный алгоритм используется для количественной оценки поля скоростей в коре под крупномасштабными кольцевыми структурами на Луне (верхний слой), создаваемого глубинными движениями в подстилающей мантии (нижний слой). Чтобы подтвердить достоверность результатов моделирования, мы сопоставляем рассчитанные поля скоростей с системами хребтов кольцевых структур, полученных из экспериментальных наблюдений. Модельное сравнение показало пространственную близость радиусов кольцевых хребтов и особых точек скорости течения на поверхности.

We study the long-time evolution of axisymmetric free-surface two-layered creeping flow subject to the initial topography of its boundaries and bottom velocities. Each layer has uniform density and viscosity. The upper layer is assumed to have a smaller density than the lower layer. Based on lubrication approximation (the Reynolds equations) the nonlinear system of diffusion-type equations with respect to the surface and interface between the layers is obtained to describe this flow. Taking the dimensionless density contrast between the layers as a small parameter, we apply the method of asymptotic expansions to extract leading-term approximation for the slowly varying large-time evolution of the governing equations. An asymptotic equation relating both surface and interface displacement to the bottom velocities is derived. Based on this equation, we develop the algorithm to calculate velocity fields within layers for large time. Streamlines are used to visualize the flow. Numerical results reveal stability of the streamlines in the upper layer under variation of the bottom velocity. As geophysical applications, the developed algorithm is used to evaluate the velocity field in the crust (the upper layer) beneath the large-scale lunar multi-ring basins influenced by deep movements in the underlying mantle (the lower layer). To validate the results of modeling, we compare the calculated velocity fields with basin ridge systems obtained by experimental observations. The model comparison has shown proximity of radii of basin rings and critical points of the surface velocity.

В конечномерном евклидовом пространстве рассматривается задача преследования группой преследователей двух убегающих, описываемая линейной системой с простой матрицей в заданной временно́й шкале. Предполагается, что убегающие используют одно и то же управление. Преследователи действуют согласно квазистратегиям на основе информации о начальных позициях и предыстории управления убегающих. Множество допустимых управлений для каждого из участников представляет собой шар единичного радиуса с центром в начале координат, терминальные множества — начало координат. Целью группы преследователей является поимка двух убегающих. При исследовании в качестве базового используется метод разрешающих функций, позволяющий получить достаточные условия разрешимости задачи сближения за некоторое гарантированное время. В терминах начальных позиций и параметров игры получено достаточное условие поимки убегающих.

In a finite-dimensional Euclidean space, we consider the problem of pursuit of two evaders by a group of pursuers, described by a linear system with a simple matrix on a given time scale. It is assumed that the evaders use the same control. The pursuers employ quasistrategies based on information about the initial positions and control history of the evaders. The set of admissible controls for each participant is a ball of unit radius centered at the origin, and the terminal sets are the origin. The goal of the group of pursuers is to capture the two evaders. In the study, we use the method of resolving functions as a base one, which allows us to obtain sufficient conditions for the solvability of the approach problem in a certain guaranteed time. In terms of the initial positions and parameters of the game, a sufficient condition for capturing the evaders is obtained.

Пусть $H$ — банахово пространство, $T>0$, $\sigma\in[1;\infty]$ и задана шкала банаховых пространств $W[0;\tau]$, $\tau\in(0;T)$, индуцированная сужениями из пространства $W=W[0;T]$; $\mathcal{F}\colon L_\sigma(0,T;H)\to W$ — вольтерров оператор; $f[u]\colon W\to L_\sigma(0,T;H)$ — управляемый вольтерров оператор, зависящий от управления $u\in U$. Рассматривается уравнение вида $$ x=\mathcal{F}\bigl( f[u](x)\bigr),\quad x\in W. $$ Для этого уравнения устанавливаются признаки тотально (по множеству допустимых управлений) глобальной разрешимости при условии глобальной разрешимости некоторого функционально-интегрального неравенства в пространстве $\mathbb{R}$. Во многих частных случаях указанное неравенство может быть конкретизировано как задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения. Фактически, развивается аналогичный результат, доказанный автором ранее, на этот раз при других, более удобных для практического использования условиях (хотя и в более частной постановке). Отдельно рассматриваются случаи: 1) компактного вложения пространств и непрерывности операторов $\mathcal{F}$, $f[u]$ (такой подход автором ранее не использовался); 2) выполнения локально-интегрального аналога условия Липшица относительно указанных операторов. Во втором случае доказывается также единственность решения. В первом случае применяется теорема Шаудера, во втором — технология продолжения решения по времени, то есть продолжения вдоль вольтерровой цепочки. В качестве примера рассматривается нелинейное волновое уравнение в пространстве $\mathbb{R}^n$.

Let $H$ be a Banach space, $T>0$, $\sigma\in[1;\infty]$ and let $W[0;\tau]$, $\tau\in(0;T)$, be the scale of Banach spaces which is induced by restrictions from a space $W=W[0;T]$; $\mathcal{F}\colon L_\sigma(0,T;H)\to W$ be a Volterra operator (an operator with Volterra property); $f[u] \colon W\to L_\sigma(0,T;H)$ be a controlled Volterra operator depending on a control $u\in U$. We consider the equation as follows $$x=\mathcal{F}\bigl( f[u](x)\bigr),\quad x\in W.$$ For this equation we establish signs of totally (with respect to a set of admissible controls) global solvability subject to global solvability of some functional integral inequality in the space $\mathbb{R}$. In many particular cases the above inequality may be realized as the Cauchy problem associated with an ordinary differential equation. In fact, the analogous result which was obtained by the author formerly is developed, this time under other hypotheses, more convenient for practical usage (although in more particular statement). Separately, we consider the cases of compact embedding of spaces and continuity of the operators $\mathcal{F}$, $f[u]$ (such an approach has not been used by the author formerly), from one hand, and of local integral analogue of the Lipschitz condition with respect to that operators, from another hand. In the second case we prove also the uniqueness of solution. In the first case we use Schauder theorem and in the second case we apply the technique of solution continuation along with the time axis (id est continuation along with a Volterra chain). Finally, as an example, we consider a nonlinear wave equation in the space $\mathbb{R}^n$.

На основе упрощенных уравнений Навье-Стокса в длинноволновом приближении построена нелинейная модель двухслойного течения вязкой жидкости со свободной границей, создаваемого начальным рельефом границ слоев. Используя метод малого параметра, исследуется эволюция течения на больших временах и определяется зависимость между движением поверхности и границы раздела жидкости. Полученные результаты применяются для расчета профиля границы кора-мантия под крупномасштабной кольцевой структурой на Луне.

The nonlinear model based on the long-wave approximation of the Navier-Stokes equations is developed to investigate the evolution of free-surface two-layered creeping flow subjected by the initial topography of the surface and interface between layers. Using the method of asymptotic expansions for the governing equations, we study a long-time evolution of the flow and reveal the relation between the surface and interface displacements. The obtained results are applied to calculate the profile of the crust-mantle interface beneath the large-scale lunar basin.

В конечномерном евклидовом пространстве $\mathbb R^k$ рассматривается задача преследования группой преследователей одного убегающего с равными возможностями всех участников, описываемая в заданной временной шкале $T$ системой вида $$z_i^{\Delta} = u_i - v,$$ где $f^{\Delta}$ - $\Delta$-производная функции $f$ во временной шкале $T$. Множество допустимых управлений - шар радиусом единица с центром в начале координат. Терминальные множества - начало координат. Дополнительно предполагается, что убегающий в процессе игры не покидает пределы выпуклого многогранного множества с непустой внутренностью. Получены достаточные условия разрешимости задач преследования и уклонения. При исследовании в качестве базового используется метод разрешающих функций.

In the finite-dimensional Euclidean space $\mathbb R^k,$ the problem of pursuit of one evader by a group of pursuers with equal opportunities for all participants is considered, which is described in a given time scale $T$ by a system of the form $$z_i^{\Delta} = u_i - v,$$ where $f^{\Delta}$ is the $\Delta$-derivative of the function $f$ in the time scale $T$. The set of admissible controls is a ball of unit radius with the center at the origin. Terminal sets are the coordinate origin. Additionally, it is assumed that the evader does not leave the convex polyhedral set with a nonempty interior during the game. Sufficient conditions for the solvability of the pursuit and evasion problems are obtained. In the research, the method of resolving functions is used as the basic one.

Рассматривается задача Коши для уравнений Навье–Стокса над полосой ${\mathbb R}^3 \times [0,T]$ с временем $T>0$ в пространственно-периодической постановке. Доказывается, что задача индуцирует открытые инъективные отображения ${\mathcal A}_s\colon B^{s}_1 \to B^{s-1}_2$, где $B^{s}_1$, $B^{s-1}_2$ суть элементы шкал специально построенных функциональных пространств Бохнера–Соболева, параметризованных индексом гладкости $s \in \mathbb N$. Наконец, мы доказываем, что отображение ${\mathcal A}_s$ сюръективно тогда и только тогда, когда прообраз ${\mathcal A}_s ^{-1}(K)$ любого предкомпактного множества $K$ из образа отображения ${\mathcal A}_s$ ограничен в пространстве Бохнера $L^{\mathfrak s} ([0,T], L ^{{\mathfrak r}} ({\mathbb T}^3))$ с показателями Ладыженской–Проди–Серрина ${\mathfrak s}$, ${\mathfrak r}$.

We consider the initial value problem for the Navier–Stokes equations over ${\mathbb R}^3 \times [0,T]$ with time $T>0$ in the spatially periodic setting. We prove that it induces open injective mappings ${\mathcal A}_s\colon B^{s}_1 \to B^{s-1}_2$ where $B^{s}_1$, $B^{s-1}_2$ are elements from scales of specially constructed function spaces of Bochner–Sobolev type parametrized with the smoothness index $s \in \mathbb N$. Finally, we prove that a map ${\mathcal A}_s$ is surjective if and only if the inverse image ${\mathcal A}_s ^{-1}(K)$ of any precompact set $K$ from the range of the map ${\mathcal A}_s$ is bounded in the Bochner space $L^{\mathfrak s} ([0,T], L^{{\mathfrak r}} ({\mathbb T}^3))$ with the Ladyzhenskaya–Prodi–Serrin numbers ${\mathfrak s}$, ${\mathfrak r}$.

Разработана нелинейная модель трехслойного течения со свободной границей на основе упрощенных уравнений вязкой жидкости в длинноволновом приближении. Проведено асимптотическое исследование модели, которое показало существование двух различных режимов эволюции течения на малых и больших временах. Получено уравнение, связывающее смещения границ слоев на больших временах, не зависящее от предыстории течения. Модельные результаты используются для изучения поведения глубинной границы под крупномасштабной кольцевой структурой на Луне в зависимости от изменения геометрических физических параметров модели.

The nonlinear model based on the long-wave approximation of the Navier–Stokes equations is developed to study the free-surface three-layered creeping flow. An asymptotic study of the governing equations reveals two different modes of evolution at a short and long time. The relation between layers’ boundaries is obtained that is independent of a pre-history of the flow. The obtained results are applied to study a behavior of the deep interface beneath the large-scale lunar basin under the variation of geometrical and physical model’s parameters.

Критически обсуждаются различные способы определения иррегулярных и регулярных сил в звездных системах. Наиболее удовлетворительным кажется определение Эддингтона, согласно которому регулярная сила - это сила притяжения сплошной гравитирующей среды, получающейся «размешиванием» вещества по системе. Интерес представляет также определение регулярной силы как математического ожидания случайной силы. Подчеркивается, что время пересечения τ_c, характерное время действия регулярных сил, определяет темп коллективных процессов в системе. Существенно, что регулярные силы могут приводить и, как правило, приводят к бесстолкновительной стохастизации. В этой связи рассматривается квазиэнтропия, среднее по фазовому пространству значение произвольной выпуклой функции от крупнозернистой функции распределения. Максимум квазиэнтропии для невращающихся систем возможен только при изотропном распределении скоростей. Приводятся найденные Антоновым выражения для ее первой и второй вариаций. Если вторая вариация положительна хотя бы для некоторого изменения плотности, то это означает, что данное состояние системы не является наивероятнейшим. Отсюда следует, что эволюция вдоль последовательности политропных шаров невозможна без поступления в систему дополнительной энергии. Напоминается классификация видов фазового размешивания в бесстолкновительных системах.

Кратко рассматривается проблема столкновительной релаксации в гравитирующих системах. Излагается подход к ее решению с точки зрения теории геодезических потоков с последующим усреднением по ансамблю, что требует знания закона распределения случайной силы. Чтобы избежать обрезания распределения Хольцмарка на малых прицельных расстояниях, использовано распределение случайной силы, найденное Петровской. В этом случае оказывается, что отношение эффективного времени стохастизации к времени пересечения пропорционально N^⅓/(ln N)^½, где N>>1 - число тел в системе. Полученная временная шкала столкновительной эволюции практически совпадает с шкалой, ранее предложенной Генкиным.

Various ways of definition of irregular (random) and regular (smoothed) forces in stellar systems are critically discussed. The most satisfactory is Eddington's one according to which the regular force is an attraction force of a continuous fluid resulting from spreading a stellar mass over a system. Also, a definition of the regular force as a mathematical expectation of a random force is of interest. It is emphasized that the crossing time, τ_c, a time scale of regular forces, characterizes the rate of collective processes in the system, including collisionless relaxation, that (as a rule) occurs in gravitating systems. The quasi-entropy, i.e., a result of averaging of an arbitrary convex function of a coarse-grained distribution function over the phase space, is discussed as a measure of collisionless stochastization. For non-rotating systems the maximum of quasi-entropy can be reached only for isotropic velocity distributions. Formulas for the first and second variations of quasi-entropy, found by Antonov, are given. If there exists the density variation so that the second variation of quasi-entropy is positive, then the present state of the system is not the most probable. It follows from this assertion that evolution along a sequence of polytropic spheres is not possible without some energy input to the system. We recall the classification of forms of the phase mixing in collisionless systems.

The problem of collisional relaxation in gravitating systems is briefly discussed. We state the approach to its analysis on the basis of studying geodesic flows and the ensemble averaging as the next step, which requires the knowledge of distribution of a random force. To avoid truncation of Holtsmark's distribution at small impact parameters the distribution of random force by Petrovskaya was used. In that case the ratio of the effective stochastization time to the crossing time is proportional to N^⅓/(ln N)^½, where N>>1 is the number of stars in the system. This evolutionary time scale is close to the one found earlier by Genkin.