Все выпуски

Проведен обзор моделей, приводящих к неинтегрируемому уравнению Островского и его обобщениям, не имеющим точных уединенно-волновых решений. Приведен краткий вывод уравнения Островского для продольных волн в геометрически нелинейном стержне, лежащем на упругом основании. Показано, что в случае осесимметричного распространения пучка продольных волн в физически нелинейной цилиндрической оболочке, взаимодействующей с нелинейно-упругой средой, для компоненты перемещения возникает обобщенное уравнение Буссинеска-Островского шестого порядка. Построено точное кинкоподобное решение этого уравнения, установлена связь с обобщенным нелинейным уравнением Шрёдингера и найдено решение последнего уравнения в форме устойчивой солитоноподобной бегущей волны с монотонно затухающими или колебательными хвостами.

An overview of models that lead to the nonintegrable Ostrovsky equation and its generalizations having no exact solitary-wave solutions is given. A brief derivation of the Ostrovsky equation for longitudinal waves in a geometrically nonlinear rod lying on an elastic foundation is performed. It is shown that in the case of axially symmetric propagation of longitudinal waves in a physically nonlinear cylindrical shell interacting with a nonlinear elastic medium the displacement component obeys the generalized sixth-order Boussinesq-Ostrovsky equation. We construct an exact kink-like solution of this equation, establish a connection with the generalized nonlinear Schrödinger (GNLS) equation and find the steady travelling wave solution of the GNLS in the form of simple soliton with monotonic or oscillating tails.

Рассматривается движение частиц вязкой несжимаемой жидкости, вызванное распространением по свободной поверхности волны малой амплитуды. Получены уравнения движения жидких частиц при наличии бегущей или стоячей волны на поверхности бесконечно глубокого слоя. При распространении бегущей волны траектории имеют вид спирали, центр которой соответствует состоянию покоя. Влияние вязкости проявляется как в уменьшении амплитуды колебаний со временем, так и в отличии формы траекторий частиц, находящихся вблизи свободной поверхности и при заглублении. В случае стоячей волны движение каждой частицы происходит по отрезкам, длина которых с течением времени уменьшается. Направление движения изменяется от вертикального в пучностях до горизонтального в узлах.

The motion of the particles of a viscous incompressible fluid caused by the proliferation of free surface waves of small amplitude is considered. The equations of motion of fluid particles in the presence of a traveling or a standing wave on the surface of an infinitely deep layer are obtained. At the propagation of a traveling wave the trajectories are spirals the centers of which correspond to a state of rest. The effect of viscosity is manifested as a decrease in the amplitude of oscillations over time, as well as by the fact that the trajectories of particles near the free surface and at burial are of different form. In the case of a standing wave the motion of each particle goes at intervals the length of which decreases with time. The direction of motion changes from the vertical at the antinodes to the horizontal at the nodes.

Для нахождения решений гиперболического уравнения Аллена-Кана использован метод первого интеграла, который следует из известной теоремы Гильберта о нулях. Получены точные аналитические решения в виде бегущей волны, определяющие полный класс решений гиперболического уравнения Аллена-Кана. Показано, что в этом классе существует два подкласса решений: подкласс непрерывных решений и подкласс разрывных решений с сингулярностью в начале координат. Такая неединственность решений ставит вопрос об устойчивом аттракторе, то есть о решении бегущей волны, к которому будут стремиться нестационарные состояния, определяемые гиперболическим уравнением Аллена-Кана. Найденные решения включают в себя как частный случай полученные ранее решения для параболического уравнения Аллена-Кана в виде конечного числа $\tanh$-функций.

To obtain solutions of the hyperbolic Allen-Cahn equation, the first integral method, which follows from well-known Hilbert Null-theorem, is used. Exact analytical solutions are obtained in a form of traveling waves, which define complete class of the hyperbolic Allen-Cahn equation. It is shown that two subclasses of solutions exist within this complete class. The first subclass exhibits continual solutions and the second subclass is represented by solutions with singularity at the origin of coordinate system. Such non-uniqueness of solutions stands a question about stable attractor, i.e., about the traveling wave to which non-stationary solutions may attract. The obtained solutions include earlier solutions for the parabolic Allen-Cahn equation in a form of finite number of $\tanh$-functions.

Рассматривается двухслойная система, состоящая из слоя пористой среды конечной толщины и слоя однородной жидкости над ним. Пористый слой ограничен снизу твердой стенкой, верхняя граница жидкости рассматривается как недеформируемая. Исследуется влияние процесса вымывания растворенной примеси, содержащейся в жидкости, заполняющей слой пористой среды, на устойчивость стационарного плоскопараллельного течения однородной жидкости над ним. Пористая среда описывается моделью Бринкмана с условиями Ошоа-Тапия-Уитейкера на границе раздела потоков. Получено точное и приближенное решение для профиля концентрации примеси. В приближении «замороженного» распределения концентрации найден квазистационарный профиль скорости течения в системе. Проведено численное исследование линейной задачи устойчивости течения в широком диапазоне различных параметров задачи. При достижении достаточной скорости течения в системе развиваются колебательные возмущения, приводящие к развитию бегущих волн на границе раздела. Показано, что учет конвективного и диффузионного транспорта примеси практически не оказывает влияния на структуру нейтральных кривых и критические числа Рейнольдса.

A two-layer system consisting of a porous layer of finite thickness and a uniform fluid layer on top is considered. A rigid wall bounds the porous layer from below, while the upper fluid surface is assumed to be undeformable. We study the process of admixture extraction from the porous layer and its influence on the stability of the stationary plane-parallel flow above it. We describe a porous layer using a Brinkman model with interface boundary conditions by Ochoa-Tapia-Whitaker. We obtain an exact and an approximate solution for the concentration profile. The quasistationary velocity profile is obtained using “frozen” concentration distribution. We solve a linear stability problem for the plane-parallel stationary flow in a wide range of system parameters. Oscillatory instability evolved in the system at the sufficient flow velocity corresponds to traveling waves near the interface. We show that the convective and diffusion transport practically does not affect the structure of neutral stability curves and Reynolds numbers.