Все выпуски

Для нахождения решений гиперболического уравнения Аллена-Кана использован метод первого интеграла, который следует из известной теоремы Гильберта о нулях. Получены точные аналитические решения в виде бегущей волны, определяющие полный класс решений гиперболического уравнения Аллена-Кана. Показано, что в этом классе существует два подкласса решений: подкласс непрерывных решений и подкласс разрывных решений с сингулярностью в начале координат. Такая неединственность решений ставит вопрос об устойчивом аттракторе, то есть о решении бегущей волны, к которому будут стремиться нестационарные состояния, определяемые гиперболическим уравнением Аллена-Кана. Найденные решения включают в себя как частный случай полученные ранее решения для параболического уравнения Аллена-Кана в виде конечного числа $\tanh$-функций.

To obtain solutions of the hyperbolic Allen-Cahn equation, the first integral method, which follows from well-known Hilbert Null-theorem, is used. Exact analytical solutions are obtained in a form of traveling waves, which define complete class of the hyperbolic Allen-Cahn equation. It is shown that two subclasses of solutions exist within this complete class. The first subclass exhibits continual solutions and the second subclass is represented by solutions with singularity at the origin of coordinate system. Such non-uniqueness of solutions stands a question about stable attractor, i.e., about the traveling wave to which non-stationary solutions may attract. The obtained solutions include earlier solutions for the parabolic Allen-Cahn equation in a form of finite number of $\tanh$-functions.