Все выпуски

Данная работа посвящена постановке и исследованию однозначной разрешимости краевых задач (типа задачи Дарбу, задачи Трикоми) для нагруженного интегро-дифференциального уравнения третьего порядка с гиперболическим и параболо-гиперболическим оператором. Существование и единственность решения краевой задачи доказана методом интегральных уравнений. Задачи эквивалентным образом сводятся к интегральным уравнениям Вольтерра со сдвигом. При достаточных условиях на заданные функции и коэффициенты доказывается однозначная разрешимость полученных интегральных уравнений.

In this paper, the unique solvability of the boundary value problems (of a type similar to the Darboux problem and the Tricomi problem) of a loaded third order integro-differential equation with hyperbolic and parabolic-hyperbolic operators is proved by method of integral equations. The problem is similarly reduced to a Volterra integral equation with a shift. Under sufficient conditions for given functions and coefficients the unique solvability is proved for the solution of obtained integral equations.

Изучается одна краевая задача для дифференциального уравнения с частными производными четвертого порядка с младшим членом в прямоугольной области. Для решения задачи получена априорная оценка решения, из которой следует единственность решения задачи. Для доказательства существования решения задачи применяется метод разделения переменных. Разрешимость задачи сводится к интегральному уравнению Фредгольма второго рода относительно искомой функции, которое решается методом последовательных приближений. Найдены достаточные условия, обеспечивающие абсолютную и равномерную сходимость ряда, представляющего решение задачи, и рядов, полученных из него дифференцированием четыре раза по x и два раза по t.

In this paper we study a boundary value problem for the fourth order partial differential equation with the lowest term in a rectangular domain. For the solution of the problem a priori estimate is obtained. From a priori estimate the uniqueness of the solution of the problem follows. For the proof of the solvability of this problem we use the method of separation of variables. The solvability of this problem is reduced to the Fredholm integral equation of the second kind with respect to unknown function. Integral equation is solved by the method of successive approximations. We find the sufficient conditions for the absolute and uniform convergence of series representing the solution of the problem and the series obtained by differentiation four times with respect x and two times with respect to t.

Получены необходимые и достаточные условия разрешимости периодической краевой задачи для всех линейных функционально-дифференциальных уравнений второго порядка с заданной нормой функционального оператора.

Necessary and sufficient conditions for the unique solvability of the periodic boundary value problem for all linear second order functional differential equations with the given norm of the functional operators.

Рассматривается задача с данными на характеристиках для нагруженной системы гиперболических уравнений второго порядка в прямоугольной области. Исследуются вопросы существования и единственности классического решения рассматриваемой задачи, а также непрерывной зависимости решения от исходных данных. Предлагается новый подход к решению задачи с данными на характеристиках для нагруженной системы гиперболических уравнений второго порядка на основе введения новых функций. Путем введения новых неизвестных функций задача сводится к эквивалентному семейству задач Коши для нагруженной системы дифференциальных уравнений с параметрами и интегральным соотношениям. Предложен алгоритм нахождения приближенного решения эквивалентной задачи и доказана его сходимость. Установлены условия однозначной разрешимости задачи с данными на характеристиках для нагруженной системы гиперболических уравнений второго порядка в терминах коэффициентов системы.

We consider a problem with data on the characteristics for a loaded system of hyperbolic equations of the second order on a rectangular domain. The questions of the existence and uniqueness of the classical solution of the considered problem, as well as the continuity dependence of the solution on the initial data, are investigated. We propose a new approach to solving the problem with data on the characteristics for the loaded system of hyperbolic equations second order based on the introduction new functions. By introducing new unknown functions the problem is reduced to an equivalent family of Cauchy problems for a loaded system of differential with a parameters and integral relations. An algorithm for finding an approximate solution to the equivalent problem is proposed and its convergence is proved. Conditions for the unique solvability of the problem with data on the characteristics for the loaded system of hyperbolic equations of the second order are established in the terms of coefficient's system.

Исследуется задача мультипликативного управления для стационарной диффузионно-дрейфовой модели зарядки полярного диэлектрика. Роль управления играет старший коэффициент в уравнении модели, имеющий смысл коэффициента диффузии электронов. Глобальная разрешимость краевой задачи и локальная единственность ее решения, а также разрешимость экстремальной задачи доказана в предыдущих работах авторов. В настоящей работе для задачи управления выводится система оптимальности и устанавливаются условия локальной регулярности множителя Лагранжа. На основе анализа данной системы доказывается локальная единственность решения задачи мультипликативного управления для конкретных функционалов качества.

The multiplicative control problem for a stationary diffusion-drift model of charging a polar dielectric is studied. The role of control is played by a leading coefficient in the model equation, which has the meaning of the electron diffusion coefficient. The global solvability of the boundary value problem and the local uniqueness of its solution, as well as the solvability of the extremum problem under consideration, have been proved in the previous papers of the authors. In this paper, an optimality system is derived for the control problem and local regularity conditions for the Lagrange multiplier are established. Based on the analysis of this system, the local uniqueness of the multiplicative control problem's solution for specific cost functionals is proved.

Получены необходимые и достаточные условия однозначной разрешимости периодической краевой задачи для функционально-дифференциального уравнения с монотонными операторами.

Necessary and sufficient conditions for the uniquely solvability of the periodic boundary value problem for functional differential equations are obtained.

Рассматриваются вопросы разрешимости краевых задач для линейных функционально-дифференциальных уравнений. Предлагаются утверждения, позволяющие получать условия существования единственного решения, неотрицательности функции Грина и фундаментального решения однородного уравнения. Для применения этих утверждений требуется задать «эталонную» краевую задачу, обладающую соответствующими свойствами, и определить некоторый оператор по приведенному правилу через операторы, порожденные исследуемой и «эталонной» задачами. Если спектральный радиус этого оператора меньше 1, то рассматриваемая краевая задача однозначно разрешима. Аналогично: для получения условий неотрицательности функции Грина и фундаментального решения требуется определить по приведенному в работе правилу специальный оператор и проверить его положительность. Рассмотрен пример применения полученных утверждений к конкретной краевой задаче с интегральным краевым условием для уравнения, содержащего отклонения в аргументе неизвестной функции и ее производной.

We consider the issues of solvability of boundary value problems for linear functional-differential equations. Statements allowing one to obtain conditions for the existence of a unique solution and for non-negativity of the Green's function, and to obtain a fundamental solution to the homogeneous equation are suggested. In order to apply these statements, one needs to define a “reference” boundary value problem that possesses the corresponding properties and to define an operator by means of the operators generated by the problem under study and the “reference” problem according to the given rule. If the spectral radius of this operator is less than 1, then the boundary value problem under consideration is uniquely solvable. Similarly, in order to obtain conditions for the nonnegativity of the Green's function and the fundamental solution, it is required to determine a special operator by the rule given in the paper and to verify its positivity. An example of application of the statements obtained to a particular boundary value problem with an integral boundary condition for the equation containing argument deviations to the unknown function and to its derivative is considered.

В данной работе изучаются прямая начально-краевая задача и обратная задача определения коэффициента одномерного уравнения в частных производных со многими дробными производными Римана–Лиувилля. Исследована однозначная разрешимость прямой задачи и получены априорные оценки ее решения в весовых пространствах, которые будут использованы при изучении обратной задачи. Далее обратная задача эквивалентно сводится к нелинейному интегральному уравнению. Для доказательства однозначной разрешимости этого уравнения используется принцип неподвижной точки.

This work studies direct initial boundary value and inverse coefficient determination problems for a one-dimensional partial differential equation with multi-term orders fractional Riemann–Liouville derivatives. The unique solvability of the direct problem is investigated and a priori estimates for its solution are obtained in weighted spaces, which will be used for studying the inverse problem. Then, the inverse problem is equivalently reduced to a nonlinear integral equation. The fixed-point principle is used to prove the unique solvability of this equation.

Пусть Q есть дифференциальный оператор порядка m − 1, 2 ≤ m ≤ n, для которого (a, b) будет промежутком неосцилляции, причём оператор Грина G : L[a, b] → Wⁿ[a, b] краевой задачи Lx = f, l_i(x) = 0, i = 1, . . . , n обладает свойством обобщённой выпуклости: QGP > 0 для некоторого линейного гомеоморфизма P лебегова пространства L[a, b]. Найдены условия, при которых возмущённая краевая задача Lx = PVQx+f, l_i(x) = 0, i = 1, . . . , n также однозначно разрешима в соболевском пространстве Wⁿ[a, b] и её оператор Грина Ĝ наследует свойство G, а именно QĜP > 0.

Let Q be a differential operator of order m − 1, 2 ≤ m ≤ n, for which (a, b) is the interval of nonoscillation, and the Green’s operator G : L[a, b] → Wⁿ[a, b] of boundary value problem Lx = f, l_i(x) = 0, i = 1, . . . , n has the property of generalized convexity: QGP > 0 for some linear homeomorphism P of Lebesgue space L[a, b]. Under some conditions, we prove, that the perturbed boundary value problem Lx = PVQx+f, l_i(x) = 0, i = 1, . . . , n is also uniquely solvable in the Sobolev space Wⁿ[a, b] and the Green’s operator Ĝ inherits the property of G, that is QĜP > 0.

Рассматриваются структурные, аппроксимативные и спектральные свойства нётеровых операторов индекса n и (−n), действующих между банаховыми пространствами B и D, где D изоморфно прямой сумме пространства B и конечномерного пространства E размерности n. Раскрыта роль теоремы С.М. Никольского о фредгольмовом операторе в изучении указанных свойств, а также в вопросе разрешимости уравнений с краевыми неравенствами. В случае сепарабельного гильбертова пространства B для однозначно разрешимых краевых задач предлагается основанная на разложении Э. Шмидта компактного оператора схема дискретизации, которая позволяет применить абстрактный вариант теоремы Рябенького–Филиппова о связи аппроксимации, устойчивости и сходимости.

There are considered the structural, approximated and spectral properties of Fredholm operators of index n and (−n), acting between Banach spaces B and D, where D is isomorphic to the direct sum of B and finite–dimensional space E of dimension n. There is demonstrated the role of S.M. Nikol’skii theorem on Fredholm operator in the study of these properties as well as in the issue of solvability equations with boundary inequalities. For boundary value problems which are uniquely solvable, in the case of a separable Hilbert space B, based on Schmidt decomposition for a compact operator a scheme of discretization is proposed, and it allows application of an abstract version of Ryaben’kii–Filippov theorem on the relationship of approximation, stability and convergence.